高中数学排列组合精华提炼
依兰高中数学组刘岩
【加法原理】
做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法.
【乘法原理】
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m1(m2(m3(…(mn种不同的方法.
【排列】
从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
【排列数】
定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.
【排列数公式】
或（其中m≤nm,n(Z）
全排列、阶乘的意义：
规定：0!=1
【组合】
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
注：1．不同元素2．“只取不排”——无序性3．相同组合：元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）
⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）
【组合数】
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．
例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有种组合．
又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：
关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算呢？
【组合数公式的推导】
⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：
组合：排列：
由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以：．
⑵推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：＝
【组合数公式】
或
注：我们规定
【组合数性质】
等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n(m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n(m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n(m个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．
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