题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总成绩 得分 阅卷人 复核人
得分 一、填空题（共15分，每小题3分）
1.设三阶行列式，则元素2的代数余子式的值为________.
2.已知，，则.
3.设阶矩阵的各行元素之和均为零，且，则齐次线性方程组的通解为____________________.
4.设，，则矩阵的秩___3_____.
5.设为阶正交矩阵，=.
得分 二、选择题（共15分，每小题3分）
1.下列矩阵不是初等矩阵的是(C).
(A)；(B)；(C)；(D).
2.向量能由线性表示是向量组线性相关的(B).
(A)必要条件；(B)充分条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分也非必要条件.
设向量与向量正交，则（A）.
(A)3；(B)2；(C)1；(D)0.
4.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于(B).
(A)；(B)；(C)；(D).
5.二次型的矩阵为(C).
(A)；(B)；(C)；(D).
得分 三、（9分）求解矩阵方程，其中，.
解：
，故可逆，且.
得分 四、（8分）设向量组线性相关，而向量组线性无关，证明：(1)向量能由线性表示；(2)向量不能由线性表示.
证：(1)由向量组线性无关，知向量组线性无关，而向量组线性相关，故能由线性表示.
(2)假设向量能由向量组线性表示，比如.由向量能由线性表示，设，则，这与向量组线性无关矛盾，故向量不能由向量组线性表示.
得分 五、（9分）求向量组，，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.
解：对进行初等行变换，得
于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为，且有，.
得分 六、（9分）求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.
.
解：
可见，齐次方程组的基础解系中含有1个解向量，故方程组的通解为，.
得分 七、（9分）设矩阵有一个特征向量，求、和对应的特征值.
解：由，知，从而.
得分 八、（9分）用Schmidt正交化方法将向量组，，规范正交化.
解：取，，
，
再将它们单位化，得，，，则即为所求.
得分 九、（9分）求正交变换将二次型化为标准形.
解：二次型的矩阵为，由，知特征值为，，故二次型的标准形为.
对于，解方程组，即，得到特征向量；
对于，解方程组，即，得到特征向量.单位化，得，.
令，则所求正交变换为，即.
得分 十、（8分）已知实矩阵满足条件：
(1),其中是的代数余子式；
(2).证明：.
证明：因为，所以，且，又，因此，
所以或，
将按第1行展开得，又因为，所以，故可得.
年级：2010 专业：工科、经济各专业课程号：1101181006
2010-2011学年第二学期本科试卷
课程名称:线性代数(B）
第6页（共6页）
第5页（共6页）
学院:专业:学号:姓名:
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学院
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