课时40．中考压轴题(3)
例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒t＞0当t=2时，AP=1_，点Q到AC的距离是__；
在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；不必写出t的取值范围在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
当DE经过点C?时，请写出t的值
解：作QF⊥AC于点F，如图AQ=CP=t.
∴AP=3-t
∵∠AFQ=∠C=90°，∠A=∠A
∴△AQF∽△ABC，且BC==4
∴，即
∴QF=t
∴S=(3-t)·t
即S=-t2+t
(3)四边形QBED能成为直角梯形①当DE∥QB时，如图∵DE⊥PQ
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形
∴∠AQP=90°
∴△APQ∽△ABC
∴即解得
②当PQ∥BC时，如图∵DE⊥PQ
∴DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形
∴∠APQ=90°
∴△AQP∽△ABC
∴即解得
(4)t=或t=
分析：
①点P由C向A运动，DE经过点C如图方法连接QC，作QG⊥BC于点G2=QG2+CG2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2
由PC2=QC2，得t2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2
解得
方法二，∴∴∠B=∠BCQ，∴∴AQ=BQ=，∴t=
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图2=QG2+CG2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2
由PC2=QC2，得(6-t)2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2
解得
例2如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO.
(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由.
(2)令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由.
(3)在(2)的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由.
解：(1)EO＞EC.理由如下：
由折叠知，EO=EF
在Rt△EFC中，EF为斜边，EF＞EC
∴EO＞EC
(2)m为定值
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO-EC)=CO·(EO-EC)
S四边形CMNO=CO·CM=CO·|CE-EO|=CO·(EO-EC)
∴m==1
(3)∵CO=1，CE=，QF=
∴EF=EO=1-==QF
∴cos∠FEC=，∴∠FEC=60°
∴∠FEA=∠OEA=(180°-60°)÷2=60°
∴∠EAO=30°，△EFQ为等边三角形，EQ=
作QI⊥EO于I，则EI=EQ=，IQ=EQ=
∴IO=，∴Q(，)
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)，Q(，)，m=1
∴可求得b=-，c=1
∴抛物线解析式为y=x2-x+1
(4)如图，由(3)得，AO=EO=
当x=时，y=()2-×+1=＜AB
∴P点坐标为(，)
∴BP=1-=
若△PBK与△AEF相似，由(3)得：∠BPK=30°或60°.
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=60°时，RT==
②当∠RTP=30°时，RT=PR=2
∴T1(0，1)，T2(0，-)，T3(0，)，T4(0，-)
(注：点K也可以在点B的右边，因此点T可以在R的下方)
例3如图，x轴交于A(m-2，0)，B(m+2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC.
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4
∴C(m，-2)
把C(m，-2)代入y=a(x-m)2-4a
解得a=
∴抛物线的解析式为：y=(x-m)2-2
(2)∵m为小于零的常数
∴将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，可以使顶点在坐标原点.
(3)由(1)得D(0，m2-2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形.
∵△BOD为直角三角形
∴只能OD=OB
∴m2-2=|m+2|
①当m+2＞0时，解得m=4或m=-2(舍去)
②当m+2＜m=0(舍去)或m=-2(舍去)
③当m+2=0时，即m=-2时，B、O、D三点重合(舍去)
综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形.
例4如图，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位)，点E的运动时间为t(秒).
(1)求点C的坐标；
(2)当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式；
(3)求(2)中S的最大值；
(4)当t＞0时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围.
解：(1)由题意，得，解得
∴C(3，)
(2)根据题意，得AE=t，OE=8-t.
∴点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t
∴PQ=(8-t)-t=10-2t
当MN在AD上时，10-2t=t，解得t=.
当0＜t≤时，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t.
当≤t＜5时，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100.
(3)当0＜t≤时，S=-2t2+10t=-2(t-)2+
∴当t=时，S最大值=.
当≤t＜5时，S=(10-2t)2=4(t-5)2
∵≤t＜55时，S随t的增大而减小.
∴当t=时，S最大值=.
∵＞
∴S的最大值为
(4)4＜t＜或t＞6
分析：
①当PQ在点C的右边时：
∵OA=8
∴t＞4
由，解得x＞
∴t＜
∴4＜t＜
②当PQ在点C的左边时：
由，解得x＜2
∴t＞6
例5如图，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为O的三角形)，解答下列问题：
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是_6_秒；
(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是_8_秒；
(3)求与之间的函数关系式.
解：(3)①如图，当0≤x＜3时.
y=S△APQ=AP·AQ·sin60°=·x·2x·=x2
②如图，当3≤x＜6时.
y=S△APQ=AP·CQ·sin60°=·x·(12-2x)·=-x2+3x
③当6≤x≤9时，设PQ与AC交于点O.
过Q作QE∥CB，则△CQE为等边三角形.
∴QE=CE=CQ=2x-12
∵QE∥CB，∴△COP∽△EOQ
∴
∴OC=CE=(2x-12)
y=S△AOP=S△ACP-S△COP
=·AC·CP·sin60°-·OC·CP·sin60°
=×6×(x-6)×-×(2x-12)×(x-6)×
=-x2+x-15
第(2)小步分析：
如图，当△APQ是等边三角形时，∠PAQ=60°
∴易得△ADQ≌△ACP
∴DQ=CP
∴18-2x=x-6
解得x=8
例6矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A(6，0)、C(0，-3)，直线y=-x与BC边相交于D点.
(1)求点D的坐标；
(2)若抛物线y=ax2-x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标.
解：(1)点D的坐标为(4，-3).
(2)把A(6，0)代入y=ax2-x
得36a-×6=0，解得a=
∴y=x2-x
(3)抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.
∵OA∥CB
∴∠P1OM=∠CDO
∵∠OP1M=∠DCO=90°
∴△P1OM∽△CDO
∵抛物线的对称轴x=3
∴P1(3，0)
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.
∵对称轴平行于y轴
∴∠P2MO=∠DOC
∵∠P2OM=∠DCO=90°
∴△P2MO∽△DOC
∴点P2也符合条件，∠OP2M=∠CDO
∵P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°
∴△P2P1O≌△DCO
∴P1P2=CD=4
∵点P2在第一象限
∴P2(3，4)
∴符合条件的点P有两个，分别是P1(3，0)、P2(3，4)
图5
D
Q
P
B
C(E)
)
A
G
P2
P1
G
M
A
x
A
6
B
D
C
O
y
x
A
6
B
D
C
O
y
图4
D
Q
P
B
C(E)
)
A
图3
D
E
Q
P
B
C
A
图2
D
E
Q
P
B
C
A
F
E
)
图1
D
Q
P
B
C
)
A
D
E
Q
P
B
C
A
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