话题二、 图形的测量——渗透度量意识，掌握测量方法
吴正宪（北京教育科学研究院）
王彦伟（北京东城区教师研修中心）
张 杰（北京东城区教育研修学院）
一、如何以“图形的测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。
（一） 使学生体会建立统一度量单位的重要性
在教学长度单位的认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位？原来的教学中学生就是直接认识长度单位，学习度量单位有什么价值？下面以人教版教材为例谈一谈：二年级学生第一次学习长度单位，教材呈现的例 1 ，并没有上来就认识厘米，而是创设了一个活动的情境：让学生测量数学书封面，有的学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测量。这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。然后例 2 是开始学习厘米的认识。
《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。” 这种要求对面积、体积的单位也同样适用。
度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现发现不同的方法，不同单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。
例如， 海淀区中关村三小 鲍海影 老师执教的《厘米的认识》一课，学生在活动中充分体会了统一度量单位的重要性。
鲍 老师创设了一个情境，先鼓励学生采用不同的办法去测量相同的长度，有的学生用手量，有的用自己的铅笔量，还有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了不同的测量工具，所得的结论，当然是不同的了。比如说，有的同学测量的是三扎长，有的同学可能测量的是五根铅笔这么长，还有的同学测量的是 15 块橡皮那么长。
学生通过交流发现，当同学们你说你的结果，我说我的结果，彼此间就无法交流。通过这个活动让学生深刻地体会到度量单位需要统一，否则它会给生活带来不便。 这时，学生有一个共同的心里需求，即要使测量结果让大家都接受，就必须要有一个公认的标准单位。学生产生了这种需求，然后再来学习长度单位。
建立标准度量单位，有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准单位的意义有客观地认识。教材这样编排，不仅突出了统一单位的重要性，也体现了一种数学的文化内涵，揭示了度量单位是怎么发生发展，又是怎么推动社会的前进的。
《 2011 版数学课程标准》特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体长度的过程，让学生去体会建立统一度量单位的重要性。所以教师在教学实践中，应该坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好，让学生经历完整“度量单位”的从形成到产生的过程。 由此看来， 关于让学生体会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。
（二）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟
《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。 进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解。长度（类似的，面积、体积）
单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的
实际意义。
例如，生活中哪些物体的长度大约为 1 米 ， 1 厘米 的长度可以用什么熟悉的
物体来估计，哪些物体的重量大约是 1 千克 ，哪些物体的体积大约是 1 立方米等。
对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身高为 175 （ ），应当选择 cm 而不是 mm 作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。
再如“北京到南京的铁路长约 1000 （ ）”，引导学生学会选择合适的度量单位；要用实物感知度量单位的大小，如“ 一米 约相当于（ ）根铅笔长”，强化学生对度量单位地感知；还应关注不同维度度量单位之间的联系，例如，理解 1 平方分米 =100 平方厘米，可以借助图形（ 10 × 10 的方格，每个方格为 1 平方厘米），也可以借助等式 1 平方分米 =1 分米× 1 分米 = 10 厘米 × 10 厘米 =100 平方厘米，避免学生死记硬背单位之间的换算关系。
总之，在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了…学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。
二、 如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法 ， 积累数学活动经验， 培养学生的空间观念 。
关于规则图形的度量公式， 《标准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题；探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。
《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想（如微积分的思想）。
同时，课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
那么，在教学图形测量这部分内容时，如何渗透数学思想呢？下面结合一些具体案例来阐述。
1. 以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、 “极限”、“函数”和“积分”的数学思想。
在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。
圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，是学生第一次了解π这个无理数 , 是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等问题，因此对圆的周长以及面积的探索具有一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会 ” 转化 ” 、“极限”和“函数”的思想。
案例 1 ：圆的周长公式的推导
化曲为直 -------- 转化思想
我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直径的关系呢？
老师给每组同学准备了不同的实物：有圆纸片、纸杯或硬币。
拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据（尤其是周长的数据）？（讨论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直）
活动二： 在圆的周长教学中，向学生介绍 “ 割圆术 ” ，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。
然后又化曲为直： 割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
活动三： 测量寻找周长与直径的关系 ------- 函数思想
在测量圆的周长和直径填写数据的过程中，感受直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。
通过课件形象直观的演示周长和直径的关系，体会函数思想。
案例 2 ：圆的面积公式的推导
圆面积的探究活动
活动设计 : 学生利用手中学具，独立探究，小组合作，探索圆面积的计算方法。
核心问题：给学生提供几张圆形的纸片，小组合作探究，如何计算圆的面积？
这一活动的设计，给了学生充分的探究空间。通过对学生情况的把握，以及学生所经历的前面一系列认识和周长的教学活动，可以充分相信学生有自主探究的能力。通过 圆面积的探究活动，使学生在亲身经历中体会转化的研究方法和极限的重要数学思想。
圆转化成学过的图形 -------- 转化思想 ( 课件演示 )
通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。同时在度量图形的过程中组织学生进行大量的操作性活动，有利于学生积累基本的数学活动经验。
掌握规则图形的周长、面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，以往我们的教学将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形周长、面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生灵活运用多种策略和方法解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，发展空间观念也是大有好处的。
学生在操作活动中，经历探索从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，在体验解决问题方法多样性的过程中创新意识也得到发展。
三、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。
估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。
估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形度量知识的掌握，以及需要具有一定的空间观念。
估测的意识和能力是在实践中发展起来的。 《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”， 并给出具体的实践任务 “测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。 这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。
《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等。
教材在学生积累了足够的实际测量经验后，为学生提供了先估测再实测的练习，让学生比较估测与实际测量所得结果的差别，从而修正自己的估测策略。
案例 : 测量不规则图形的面积
图中每个小方格为 1 个面积单位，试估计曲线所围成的面积。
如图一 :
教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合 , 最后累加起来 , 用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。但是这种估算不规则图形面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。充分体现该题的数学教育价值。
教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，再进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？” 教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有 75 个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有 113 个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。 由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。
如图二：
在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。
教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？ 试一试！ ” 对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值，同时巧妙地渗透极限思想。
如图三 :
以往我们在教授“数方格”时，没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。上面“寻找区间”的设计则注重了学生估算意识和方法的培养，特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮 助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。 通过对 上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。 特别是通过教师引导学生将 方格等分成更小的方格，使估计值更 逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。
最后回顾一下“图形的测量”中的几个核心理念：
1. 使学生体会建立统一度量单位的重要性；
2. 使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟；
3. 在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量；
4. 重视估测及其简单应用；
5. 帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养空间观念。
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