立体几何
安徽理(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为
第（）题图
（A）48(B)32+8(C)48+8(D)80
4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线∥；
北京理5.如图，AD、AE、BC分别与圆O切于点D、E、F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：
①；
②；
③.
其中正确的结论的序号是()
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
①正确。由条件可知，BD=BF，CF=CE，可得。
②正确。通过条件可知，AD=AE。由切割定理可得。
③错误。连接FD（如下图），若，则有。通过图像可知
，因而错误。答案选A.
7.某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
B.C.D.
【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是
16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，
（1）求证平面C；
（2）若，求PB与AC所成角的余弦值
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
福建理15．。
20.（本小题满分12分）
如图，⊥底面ABCD，AB⊥AD，
点E在线段AD上，CE∥AB。
（Ⅰ）求⊥平面PAD；
，∠CDA＝45°，
求四棱锥P－ABCD的体积
（Ⅱ）。
广东理7如图l—3．某几何体的正视(主视图)平行四边形，侧视图(左视图)和形，则几何体的体积为
B.C.D.
解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且，是圆上一点使得，则.
18.（本小题满分13分）
如图5，在椎体中，是边长
为1的棱形，且,,
分别是的中点，
（1）证明：;
（2）求二面角的余弦值.
注:本题也可以,继而可证明第(1)问,并可进一步得到AD,DE,DF两两垂直,从而建立空间直角坐标系,再解决第(2)问.总的说来,本题用传统方法,还更简单.
湖北文7.设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是
A.比大约多一半；B.比大约多两倍半；C.比大约多一倍；D.比大约多一杯半
D
湖北文18.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长
为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,.
(I)求证：；
(II)求二面角的大小。
湖南文４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案：D
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，
其体积。
19．（本题满分12分）
如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．
（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．
解析：（I）因为
又内的两条相交直线，所以
（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．
在
在
湖南理11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，
,垂足为D,与相交与点F，则的长为。
答案：
解析：由题可知，，,得,，
又，所以.
湖南理19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点．
（I）证明：
（II）求二面角的余弦值．
解：（I）连接，因为,为的中点，所以.
又因为内的两条相交直线，所以而，所以。
（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.
在平面中，过作连接,则有，
从而，所以是二面角的平面角．
在
在
在
在,所以。
故二面角的余弦值为。
江苏16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF//平面PCD；
（2）又
直线EF//平面PCD
（2）连接BD为正三角形
F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以，平面BEF⊥平面PAD.
解析：本题主要考查空间想象能力和推理论证能力、考查平面的表示,直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定及性质，容易题.
附加：A．选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与）．圆的弦交圆于点（不在上）求证：为定值
江西理8.已知，，是三个相互平行的平面，平面，之间的距离为，平面，之间的距离为，直线与，，分别相交于，，，那么“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为∥∥，当时不难推出，同时当时也可以推出，∴“”是“”的充分必要条件
21.（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足，求该正四面体的体积.
【解析】
（1）如图所示，取的三等分点，，的中点，的中点，过三点，，作平面，过三点，，作平面，因为∥,∥,所以平面∥平面，再过点，分别作平面，与平面平行，那么四个平面，，，依次相互平行，由线段被平行平面，，，截得的线段相等知，期中每相邻两个平面间的距离相等，故，，，为所求平面.
（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为，以的中心为坐标原点，以直线为轴，直线为轴建立如图的右手直角坐标系，
则，，，
令，为的三等分点，为的中点，有
，,所以，，
设平面的法向量为，有，即
所以，.因为，，，相邻平面之间的距离为1，所以点到平面的距离
，解得
由此可得，边长为的正四面体满足条件.
所以所求正四面体的体积.
解法二：如图，现将此正四面体置于一个正方体中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体），，分别是，的中点，和是两个平行平面，若其距离为1，则正四面体即为满足条件的正四面体.右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为，若，则有，
据，得，
于是正四面体的棱长，其体积.
（即等于一个棱长为的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）
江西文9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）
答案：D左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
辽宁理8．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是A．AC⊥SBB．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
12已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥SABC的体积为
A． B． C． D．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，
所以CD//AB.…………5分
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F四点共圆…………10分
辽宁文10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为
A．B．C．D．18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．
18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ.………………6分
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分
全国Ⅰ理（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的俯视图可以为
D
（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
（22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC,
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
全国Ⅰ文(7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A）3a2（B）6a2（C）12a2（D）24a2
B
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱
①②③⑤
（18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。
(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.
所以HA=HB=.
因为APB=ADR=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+.……..9分
所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=……..12分
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于
E点，证明：
（Ⅰ）=。
（Ⅱ）=BE·CD。
山东理
11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是
(A)3(B)2(C)1(D)0
【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
19.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠?ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
【解析】（Ⅰ)连结AF,因为EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，
EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证∽,
所以,即,即,又M为AD
的中点,所以,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF是平行四边形,故GM∥FA,又因为ＧＭ平面ＡＢＦＥ,FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.
（Ⅱ）取AB的中点O,连结CO,因为ＡＣ＝ＢＣ,所以CO⊥AB,
又因为ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，CO平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,
又ＥＡ∩AB=A,所以CO⊥平面ＡＢＦＥ,在平面ABEF内,过点O作OH⊥BF于H,连结CH,由三垂线定理知:CH⊥BF,所以为二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的平面角.
设ＡＢ=２ＥＦ=,因为∠?ACB=，ＡＣ＝ＢＣ=,CO=,,连结FO,容易证得FO∥EA且,所以,所以OH==,所以在中,tan∠?CHO=,故∠?CHO=,所以二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小为.
（A）
（B）
（C）
（D）
【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．
【精讲精析】选A由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，
即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是
.
B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=．
【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．
【解】因为，
所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,
所以，在Rt△AEB中，．
【答案】
陕西文
B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．
【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．
【解】因为，
所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以．
【答案】2
（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。
（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（2?）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．
【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴?当Δ?ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DBＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.
∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由（1）知，DA,,,
DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,
∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是
上海理
7.若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为.
上海文
已知是底面边长为1的正四棱柱，高，求
（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四面体的体积.
20、解：⑴连，∵，
∴异面直线与所成角为，记，
∴异面直线与所成角为。
⑵连，则所求四面体的体积
。
四川理
3．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A），（B），（C），，共面（D），，共点，，共面，与所成角为90°，选B．
15．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大，的表面积与圆柱的侧面积之差是
答案：2πR2
解析：如图，设求的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积时，S取最大值，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差．
四川文
15．如图，半径为的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大，的表面积与圆柱的侧面积之差是π
解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积，当时，S取最大值，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差．
天津理
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．
【解】．
几何体是由一个正四棱锥和一个长方体组合而成．
设几何体的体积为，正四棱锥的体积为，长方体的体积为．
则．
14．如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点．若，．则的值为．
【解】．
因为四边形是圆的内接四边形，
所以，又，
所以．
于是．
因为，，所以，
从而，于是，
．
天津文
11．如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点．若，．则的值为．
【解】．
因为四边形是圆的内接四边形，
所以，又，
所以．
于是．
因为，，，所以，．
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．
【解】．
设几何体的体积为，则．
19．（本小题满分分）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，，，．
（Ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
【解】（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以．
故为异面直线与所成的角．
因为，所以．故．
在中，，，所以．
因此．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
（Ⅱ）过点作，交于，
则，又，
所以．从而．
又，且．
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知，可得，即为的中点．
取的中点，连接．则．
因为，所以．
过点作，交于．
则为二面角的平面角．
连接，可得．
所以，从而．由已知可得．
由，，可得．
在中，．
所以二面角的正切值为．
浙江理3．下列命题中错误的是D
A．如果平面⊥平面，那么平面内一定直线平行于平面
B．如果平面垂直于平面，那么平面内一定存在直线垂直于平面
C．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面
D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
．一个球的球心到过球面上AB、C三点的截面的距离等于球半径的一半，若，则球的体积为.
20．（本小题满分15分）
如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF＝，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－，BP⊥平面，点P为垂足.
（Ⅰ）求△ACP的面积；
（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值.
20．（本小题满分1分）
内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连结BM，则∠BMP为二面角－EF－的平面角.以点P为坐标原点，以直线PM为x轴，射线PB为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.
在Rt△BMC中,由∠BCM＝，CB=4，得
CM=，BM=2.
在Rt△BMP中,由∠BMP＝，BM=2，得
MP=1，BP=.
故P（0,0,0），B（0，0,），C（－1,－，0），M（－1,0,0）.
由∠ACM＝，得A（1,－4，0）.
所以=（1,,0），=（2,－,0）,
则－10,cos∠ACP=－,sin∠ACP=.
因此S△ACP＝.………………………………………………………7分
（Ⅱ）解：＝（1,－4,－），＝（0,－2,0）,24,
cos<>=,所以AB与EF所成角的正切值为.…15分
方法二：
（Ⅰ）解：如图，在平面内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足,连结BM，则∠BMP为二面角－EF－的平面角.
在Rt△BMC中,由∠BCM＝，CB=4，得
CM=，BM=2.
在Rt△BMP中,由∠BMP＝，BM=2，得MP=1.
在Rt△CMP中,由CM=，MP=1，得
CP=，cos∠PCM＝，sin∠PCM=.
故sin∠ACP=sin（－∠PCM）＝.所以S△ACP＝.…7分
（Ⅱ）解：如图，过点A作AQ∥EF，交MP于点Q,
则∠BAQ是AB与EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ.
在△BMQ中,由∠BMQ＝，BM＝MQ＝2，得BQ=2.
在Rt△BAQ中,由AQ＝AC＋CM＝4，BQ=2，得
tan∠BAQ=.因此AB与EF所成角的正切值为.……15分
浙江文（4）若直线不平行于平面，且，则 A．内直线与异面 B．内不存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交
（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上．
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）已知，，，．求二面角的大小．
，
又平面ABC，，得
因为，所以平面PAD，故
（Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM。
因为平面BMC，所以APCM。故为二面角B—AP—C的平面角。
在，在
，
在中，，所以
在
又
故，同理，因为
所以，即二面角B—AP—C的大小为
重庆理（9）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为C
（A）（B）(C)1(D)[来源:学|科|
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，(Ⅱ)小问7分.）
如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，。
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
(Ⅱ)若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.
题（19）图
第1页
B
C
G
A
O
D
E
F
3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
o
N
M
z
x
y
()
主（正）视图
俯视图
B
A
F
C
E
C
B
P
A
E
F
（第20题图）
x
y
z
C
B
P
A
E
M
z
F
C
B
P
A
E
M
Q
F
|
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