映雪的萤1.168 / 待分类1 / 康托尔,G

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康托尔,G

2012-04-22  映雪的萤1...

对数Logarithm 若 )。b叫做以a为底N的对数,记作 。当a=10时称作常用对数,当a=e时,称作自然对数。

对数的发明是16世纪末至17世纪初的事。当时在自然科学领域特别是天文学方面经常遇到十分复杂的数值计算,数学家们为了寻求化简计算的方法而发明了对数。一般认为,对数是由苏格兰数学家纳皮尔和瑞士工程师比尔吉彼此独立地发明的。但在此之前,在法国数学家许凯(15世纪)和德国数学家施蒂费尔(1487—1567)的工作中就孕育了对数的思想。他们研究等比数列与等差数列之间的关系,特别是施蒂费尔将这两种数列加以对比,指出,等比数列各项的乘、除、乘方、开方运算、相当于等差数列相应各项的加、减、乘、除运算。但是他们都没有进一步发展这种思想。

比尔吉是瑞士的一位工程师,他曾担任著名天文学家开普勒的助手,因此经常接触复杂的天文计算,于是产生了化简数值计算的强烈愿望。他受施蒂费尔工作的影响,考虑等差数列

0,10,20,…,10n和与之对应的等比数列

由此建立了一种对数体系,于1620年发表在《等差数列和等比数列表》中。不难看出,比尔吉所造的对数表,把对数的底取为 ,与现在自然对数的底e相差甚小。

比尔吉发明对数的时间大约在1610年,但他推迟了发表的时间,而 理就是用加减法来代替乘除法。纳皮尔发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独特的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理(见[《奇妙的对数表的描述》]),后人称他发明的对数为纳皮尔对数,记为 ,它与自然对数的关系为

10为底的常用对数,是由另一位英国数学家布里格斯首先采用的。在他1624年出版的《对数算术》中,载有14位的常用对数表。他还制作了正弦、正切对数表。荷兰数学家兼出版商弗拉克补充了布里格斯的对数表,他出版的几种对数表(包括三角函数对数表)很快在欧洲普及。弗拉克还最早阐明对数首数的意义。

关于以e为底的自然对数的准确涵义,是由英国一位数学教师斯佩德尔(J.Speiodell)首先指出的,他在1619年出版了关于对数的著作,包含1—1000的自然对数表。

对数传到中国的时间是17世纪中叶,中国数学家薛风祚和波兰传教士穆尼阁合作的《比例对数表》是我国最早的对数著作。

代数基本定理fundamentaltheorem of algebra)关于多项式根的定理,即一个次数不小于1的复系数多项式f(x)在复数域内有一根。由此推出,一个n次复系数多项式f(x)在复数域内恰有n个根(重根按重数计算)。

这个定理最早在荷兰数学家吉拉尔的论著《代数新发现》(1629)中给出,他推测并断言n次多项式方程有n个根,但是没有给出证明。欧拉在1742年在给朋友的信中断定:任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾给出代数基本定理的证明,但他们的证明都不完全。高斯在1799年给出了第一个实质性的证明,但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明(1814—1815,1816,1848—1850)。高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前,代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域上的,因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。

number)最基本的数学概念之一。通常包括自然数、整数、有理数、实数、复数以及在它们的基础上形成的其他概念,例如代数数、超越数、四元数、八元数等等。

数的观念具有悠久的历史,尤其是自然数观念的产生当在史前时期。在我国史前文化遗存的陶器刻符中就有数字,说明早已形成数的观念了。数的观念产生的详情现在已无法追溯,但严谨的数的理论,尤其是自然数理论,却直到19世纪末才建立起来。

一般认为,原始人在用匹配法计数及考察动作的顺序时产生了自然数概念,与自然数概念产生的同时也产生了自然数的运算——算术四则运算,在一定程度上可以说,自然数概念的完善也依赖着数的运算。进行除法运算,即求解方程 ab为自然数,方程未必有自然数解,要使它恒有解,即使除法运算得以顺利运行,数的概念就要由自然数扩张到正有理数。巴比伦的泥板、古埃及的纸草书中就已有了自然数和分数,中国古代的《周髀算经》给出了分数运算的方法。可见在人类进入文明之初就已有了自然数和分数(即正有理数的概念)。

中国人最先引进负数概念,《九章算术·方程》的“正负术”进一步给出了负数的加减运算法则。如果说《九章算术》还限于负整数的话,宋元时人们解高次方程就涉及到负有理数。印度人先提出零的概念(公元5世纪)和符号“0”(公元9世纪)。中国古人由于使用算筹记数从而形成了独特的零的概念和记号(公元12世纪),其后,中国人开始了完整地认识整个有理数的过程。从解方程的角度看,中国古人一般不考虑负数解;第一个承认方程可以有负数解的是印度人婆什迦罗(12世纪),西方则是许凯在1484年给出二次方程的一个负根,后来才承认负数是数。

人们对(正)无理数的认识比对负数的认识早得多。当然,开始认识的只是一部分无理数,首先是一些非平方数的(正的)平方根。最著名的是古希腊的毕达哥拉斯学派(公元前6世纪)发现等腰直角三角形直角边和斜边的长度不可公度,即直角边长为1的等腰直角三角形的斜边之长不是有理数。据说,他们还证明了这一点。这一点是严格的逻辑证明的结果。这是古希腊数学的一个特点。为了与毕达哥拉斯学派的“万物皆数(整数及其比)”观点相协调,他们有意避开了非平方数的开方计算问题。中国古人很早就会作开方(开平方、开立方)运算,三国时刘徽已认识到开方不尽数,并且认识到可从不足和过剩两方面逼近开方不尽数,他的算法相当于给出两种开方近似公式: ,并创用十进分数逐次逼近法。印度人也早就认识到开方不尽数,婆什迦罗等人把无理数视为与有理数一样的数,统一进行处理,这是一大成就。中世纪后期,东方数学传入欧洲,欧洲数学向代数学转化,方程理论成为中心研究课题。16世纪中叶,塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等人解决了三次、四次方程的求解问题。这时,由于解高次方程的需要,人们经常遇到开方不尽数,但对其认识却较缓慢,施蒂费尔(16世纪)虽然运用过形式复杂的无理数,但认为它们不是真正的数,甚至帕斯卡、巴罗等数学家也认为不尽根 是“不可解释的”,直到沃利斯、斯蒂文(17世纪)等人才承认无理数是一种实在的数。虽然如此,由于实际的数学工作的需要,在16~17世纪,人们在实际的数学计算中,已承认正数的任何次方根的存在,对某些无理数的研究已达到相当充分的程度。

研究方程求解,免不了要遇到负数开偶次方的问题。1484年,许凯首先注意到这一问题,在解二次方程 时得到根 ,他认为这是不可能的。1545年,卡尔达诺认真研究了这种情况,他给出负数开平方的运算方法,并引入最早的虚数记号,但称这种数为“诡辩量”,并怀疑其运算的合法性。1637年,笛卡儿在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称,和“实数”相对应。但怎样理解虚数,又产生了很大的争议。1797年,韦塞尔给出虚数的几何解释;1799年,高斯提出“复数”概念并给出复数的几何表示法;1801年,他系统使用i表示 (最先是欧拉采用的,但未流行),并用a+bi(a,b为实数)表示复数。后来,高斯又提出用实数的有序对(a,b)表示a+bi,用纯代数方法定义了复数的运算。这一思想由哈密顿于1837年发表出来。人们把数的概念扩张到复数。

哈密顿认真研究了从实数扩张到复数的过程。类比于此,他于1843年提出“四元数”的概念:把复数的有序对(α,β)定义为一个四元数。其后不久,凯莱又用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为“超复数”。于是产生了两个问题:数的概念的扩张的准则是什么?数的概念能否无限制地扩张下去?人们深入研究了这个问题,1867年,汉克尔提出了数的扩张原则(“固本原则”),大意是:数的概念的扩张是为了满足某种代数运算的需要;扩张的结果必须保持原来的运算都能继续进行(保持各种算律);扩张所得的新数集中必有一个子集与原来的数集同构。他指出,复数是满足固本原则进行扩张所能得到的最大的数集,六种代数运算可在复数范围内自由实施,n次代数方程在复数域内有n个根;再向超复数扩张,就不能满足固本原则了:四元数的乘法不满足交换律;八元数的乘法既不满足交换律,又不满足结合律。如果舍弃更多的运算性质,超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。

从自然数到复数构成了通常所说的“数系”,即包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统,这些数之间有如下关系:

整数

分数

有理数

无理数

实数

虚数

复数

自然数

负整数

 

 

 

 

 

18世纪数学分析的大发展促使人们对分析基础的研究,分析基础问题最根本的就是实数理论的问题。19世纪初开始,人们开始努力于建立实数理论,而实数理论,本质上就是无理数的定义问题。

1821年柯西用有理数序列的极限定义无理数,但依他的定义,该极限应是预先确定的数,只不过要求它与序列中的项之差趋于零而已。这实际上是一个循环定义。无理数的算术定义,必须在逻辑上无矛盾才行。康托尔在1872年用有理数的“基本序列”来定义无理数,把有理数基本序列的集合关于一种等价关系(具有同一极限)的等价类叫做实数,所有实数构成的集合记为R。对有理数a,令序列{a,a,…}所在的等价类与之相对应,就能在实数集中找到一个子集Q()与有理数,集Q同构,Q()的元素也称为有理数,不是有理数的实数称为无理数。同一年,戴德金采用了对有理数进行划分的方法定义无理数,他还进一步证明了实数的连续性。外尔斯特拉斯于1860年提出了用递增有界数列来定义实数的思想,在1872年,他的学生利萨克正式发表了他的定义。

1844年刘维尔开创了超越数研究。1874年,随着康托尔引入“可数”概念,人们发现,作为代数方程的根的无理数只是无理数的极小的部分,“几乎所有”的实数都是超越数。

由上述,人们在有理数的基础上定义出无理数,有理数本身却是未加严格定义的,定义无理数的需要无疑促进了对有理数的研究。1860年,外尔斯特拉斯在一次讲课时,用自然数的有序对定义出正有理数,用另一类型的自然数对定义负整数,再用一对正负整数来定义负有理数,稍加改进,就是现代采用的有理数定义方法。外尔斯特拉斯认为,只要承认自然数,建立数的理论就不需要进一步的公理了。他认为,自然数的本质和属性不能再作逻辑分析了。持这种观点的典型代表是克罗内克,1886年,他曾说过:“上帝创造了自然数,其余都是人做的工作。”但在19世纪末数学基础的研究中,人们还是要求证明自然数的无矛盾性的——即对自然数加以准确的逻辑分析和定义。1889年,皮亚诺运用集合论思想给出了自然数的一个定义。他的定义是所谓“序数”定义;康托尔等人还给出自然数的“基数”定义,当然,二者是等价的。至此,人们对数的认识划过了一个巨大的圆圈(从自然数到自然数),达到了新的层次。

三角函数trigonometric function)亦称圆函数。是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称。在平面上直角坐标系OXY中,与x轴正向夹角为a的动径上取点PP的坐标是(x,y),OP=r,则正弦函数sina=y/r,余切函数ctga=x/y,正割函数seca=r/x,正切函数tga=y/x,余切函数ctga=x/y,正割函数seca=r/x,余割函数cseca=x/y,历史上还用过正矢函数vera=r-x,余矢函数coversa=r-y等等。这8种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备。正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长,公元前2世纪古希腊天文学家希帕雷斯就制造过这种弦表,公元2世纪托勒密又造30°—90°每隔半度的正弦表。5世纪时印度最早引入正弦概念,还给出正弦函数表,记载于《苏利耶历数书》(约400)中。该书还出现了正矢函数,现在已很少使用它了。约510年印度数学家阿耶波多考虑了余弦概念,传到欧洲后有多种名称,17世纪后才统一。正切和余切函数由日影的测量而引起,9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表、10世纪的艾布瓦法又单独编了第一个正切表。哈巴什还首先提出正割和余割概念,艾布瓦法正式使用。到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正、余弦,正、余切,正、余割6种函数,并附有正割表。他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数。1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数,令圆半径为1,并创用许多三角函数符号。至此现代形式的三角函数开始通行,不断发展至今。

几何作图问题problem of geometric construction)指只允许有限次地使用某种特定的工具,画出适合所给条件的图形的问题。由于几何作图所使用的工具受一定的限制,因此按指定的方法不一定能画出所求的图形。若按指定方法能画出所求图形时,称这个问题为作图可能问题。如果虽然所求的图形实际是存在的,但按指定的方法画不出图形,则称该问题是作图不可能问题。又所求图形实际上不存在,则称该问题是不成立的。

在几何作图问题中,最古老、最重要的是尺规作图问题,即作图只允许使用直尺(没有刻度,只能作直线的尺)和圆规,亦称为初等作图问题。历史上最早明确提出尺规限制的是古希腊数学家伊诺皮迪斯,以后逐渐成为一种公约。到公元前300年左右,欧几里得在《几何原本》中用公设的形式规定下来,沿用至今。最著名的几何作图问题是古希腊雅典智人学派提出的三大问题:①三等分任意角;②倍立方,求作一立方体,使其体积是一已知立方体体积的两倍;③化圆为方,求作一正方形,使其面积等于一已知圆。2000多年来,许多数学家为了解决这些问题投入了大量精力,但收效甚微。直到17世纪建立解析几何学后,尺规作图的可能性才有了准则。尺规作图问题归结为通过两点作直线和以一点为圆心作通过另一点的圆,从而归结为确定若干个点的问题。因此把问题用解析方法表示可以明确作图的可能性与不可能性。1837年法国数学家旺策尔证明了三等分任意角和倍立方问题是尺规作图的不可能问题。1882年德国数学家林德曼证明了圆周率π的超越性,同时证明了化圆为方问题是尺规作图不可能问题。1895年德国数学家克莱因总结了前人的研究结果,出版了《几何三大问题》一书,给出三大问题不可能用尺规作图的简明证法,彻底解决了这三个问题。对于几何作图,人们追求用最少的工具画出尽可能多的图形,因此许多人研究只用直尺或只用圆规的几何作图,得到一系列结果,其中有代表性的有:丹麦数学家莫尔1672年证明了,如果把作直线解释为求直线上的两个点,则仅用圆规就可以解决一切尺规作图问题。1797年意大利数学家马斯凯罗尼重新发表了这一结果,流传开来,后人称为马斯凯罗尼圆规问题。1822年法国数学家庞斯列指出,给出一个圆与其圆心时,只用直尺就可以解决任何尺规作图问题。1833年瑞士数学家施泰纳完成了该定理的证明,后人称为施泰纳直尺问题。还有一些数学家研究限定其他条件的尺子和圆规的几何作图,例如1952年德国数学家比贝尔巴赫用直角尺和圆规解决了三等分任意角和倍立方问题;1979年美国数学家佩多提出“生锈圆规”(即开口固定的圆规)的两个作图问题,我国数学工作者张景中等人在这方面得到一系列成果。此外,有时图形虽是作图可能的,但作图法非常复杂。因此不实用,所以有许多种具有相当精度的近似作图法可以使用,如等分圆周等。

函数function)函数是数学中最基本最重要的概念之一。在历史上,函数概念的出现与解析几何的产生有密切联系。14世纪的法国数学家奥雷姆用图线表示依时间t而变化的量x为“纬度”,在平面上建立了点与点之间的对应。在16世纪,英国数学家哈里奥特用直角坐标的概念求出曲线的代数方程。后来费马取两相交点直线,并以到两直线的距离来规定点的位置,从而导出圆锥曲线的方程。17世纪上半叶,笛卡儿把变量引入了数学,他指出了平面上的点与实数对(x,y)之间的对应关系。当动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依赖并同时发生变化,其关系可由包含xy的方程式给出。相应的方程式就揭示了变量xy之间的关系。以上这些工作都孕育了函数的思想。

“函数”作为数学术语是莱布尼茨首先采用的。他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念。起初他用函数一词表示x的幂(即x,x2,x3,…),后来他又用函数表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量。现在一般把莱布尼茨引用的函数概念的最初形式看作是函数的第一个定义。把函数理解为幂的同义语,可以看作是函数概念的解析的起源;用函数表示某些几何量,可以看作是函数概念的几何的起源。

随着数学的发展,函数的定义不断地改进和明确。以下按时间顺序列举一些有代表性的函数概念的原始定义,从中我们可以看出函数的概念是如何随着数学的发展而不断扩张的。

约翰·伯努利(1718):“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量。”

欧拉(1748):“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。”

欧拉(时间不详):“在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的yx间的关系。”

欧拉(1775):“如果某些量以如下方式依赖于另一些量,即当后者变化时,前者本身也发生变化,则称前一些量是后一些量的函数。”

拉格朗日(1797):“所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式,这些量以任意方式出现在表达式中。表达式中可以有(也可以没有)其它一些被视为具有给定和不变的值的量,而函数的量值可以取所有可能的值。因此,在函数中,我们仅考虑那些假定是变化的量而不去关心可能包含在其中的常数。……一般地,我们用字母fF放在一个变量的前面以表示该变量的任意一个函数,即表示依赖于这个变量的任何一个量,它按照一种给定的规律随着那个变量一起变化。”

傅立叶(1822):“一般地,函数f(x)代表一系列的值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标x的值,有同样多个纵坐标f(x)。所有的纵坐标都有具体的数值,或是正数,或是负数,或是零。我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律;它们以任意一种方式一个接一个地出现,其中的每一个对象是作为单独的量而给定的。”

柯西(1823):“如果在一些变量之间有这样的关系,使得当其中之一的值被给定时,便可得出其它所有变量的值。此时,我们通常认为这些变量由它们之中的一个表出,于是这一个量称为独立变量,其它被独立变量所表示的量就称为这个变量的函数。”

狄利克雷(1837):“让我们假定ab是两个确定的值,x是一个变量,它顺序变化取遍ab之间所有的值。于是,如果对每个x,有唯一的一个有限的y以如下方式与之对应:即当x连续地通过区间从a到达b时,y=f(x)也类似地顺序变化,那么y称为该区间中x的连续函数。而且,完全不必要求y在整个区间中按同一规律依赖于x;确实没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系。按几何概念讲,xy可想象为横坐标和纵坐标,一个连续函数呈现为一条连贯的曲线,ab之间的每个横坐标,曲线上仅有一个点与之对应。”

黎曼(1851):“我们假定z是一个变量,它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每一个值,都有未定量W的唯一的一个值之对应,则称WZ的函数,……。”

汉克尔(1870):“f(x)称作x的一个函数,如果对于某个区间内的每一个x的值都是唯一的和确定的f(x)的一个值与之对应。而且,f(x)从何而来,如何确定,是否由量的解析运算或其它什么方式得到,这些都无关紧要,所需的只是f(x)的值在各处都是唯一确定的。”

戴德金(1887):“系统S上的一个映射蕴含了一种规则,按照这种规则,S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象,它称为s的映象,记作Φ(s)。我们也可以说,Φ(s)对应于元素s,Φ(s)由映射Φ作用于s而产生或导出;s经映射Φ变换成Φ(s)。”

皮亚诺(1911):“函数是一种特殊的关系。根据这种关系,变量的每一个值都对应着唯一的一个值。我们可以用符号来定义它:定义:函数=关系 这就是说,一个函数是一个关系u,使得当两对数y;xzx(第二个元素相同)满足u时,必然有y=z,无论x,y,z可能是什么。”

凯里(1917):“一般而论,两类数之间的一个对应可称做一个函数关系,如果第一类中的每一个数都有第二类中的一个数与之对应。跟第一类中的数相应的变量称为独立变量,跟第二类中的数相应的变量称为应变量。因此,我们可以说,独立变量和应变量之间存在一个函数关系,或象通常所说,称应变量是独立变量的函数……”

库拉托夫斯基(1912):“集合(a,b)={{a},{a,b}}称为一个序偶。设f是一个序偶的集合,如果当(x,y)∈f且(x,z)∈fy=z,则f称为一个函数。”

布尔巴基(1939):“设EF是两个集合,它们可以不同,也可以相同。E中的一个变元xF中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系,如果对每一个xE,都存在唯一的yF,它满足跟x的给定关系。”

微分中值定理mean value theorem for derivatives)微分中值定理在微积分理论中具有重要作用,它有许多不同的形式。

1691年,法国数学家罗尔在关于代数方程解法的论著中,证明了:在多项式方程f(x)=0的两个相邻的实根之间,f′(x)=0至少有一个实根。后来人们把这个定理推广到可微函数,并称为罗尔定理。

微分学中最重要的中值定理是拉格朗日定理:可微函数y=f(x)的平均变化率,必定等于变化区间的某个中间点处的瞬时变化率。1797年,法国数学家

拉格朗日在研究泰勒级数时,得到下述形式的中值定理

f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)  a<c<b)。

然后他用这个定理来推导泰勒定理。柯西在他的《无穷小分析教程概论》(1823)中定义导数时也利用这个结果,他称之为平均值定理,形为

Δf=f(xx)-f(x)

  =f′(x+θΔx)Δx(0<θ<1)后人把这个定理推广到更一般的情形:对于[ab]上连续,(ab)内可微的函数f(x)、g(x),存在a<ξ<b,使得

f′(ξ)[g(b)-g(a)]= g′(ξ)[fb)-f(a)],称为柯西中值定理。

现代微积分中的洛必达法则和泰勒公式都属于不同形式的微分中值定理,前者由法国数学家洛必达在他的《无穷小分析》(1696)中给出,但来源于约翰·伯努到,后者由英国数学家泰勒在1712年得到。

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