2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟，考试结束后，将
本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长。
球的体积公式：，其中R是球的半径。
球的表面积公式：，其中R是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只
1．设集合M={x|}，N={x|1≤x≤3},则M∩N=
A．[1,2） B．[1,2] C．（2,3] D．[2,3]
2．复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为
A．0 B． C．1 D．
4．不等式的解集是
A．[-5，7] B．[-4，6]
C． D．
5．对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的
充分而不必要条件B．必要而不充分条件
充要条件D．既不充分也不必要
6若函数(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
3 B．2 C． D．
7．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．636万元B．655万元C．677万元D．72万元
8已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
B． C． D．
9．函数的图象大致是
10．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
6 B．7 C．8 D．9
11．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是
A．3B．2C．1D．0
，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若λ∈R），（μ∈R），且则称，调和分割，已知则下面说法正确的是
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．，D可能同时在线段AB上
D．，D不可能同时在线段AB的延长线上
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是
14．若展开式的常数项为60，则常数的值为.
15设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时，.
16已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点.
ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（I）求的值；
（II）若cosB=，b=2，的面积S。
18．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠?ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．
21．（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．
22．（本小题满分14分）
已知动直线与椭圆C:交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
16．2
三、解答题
17．解：
（I）由正弦定理，设
则
所以
即，
化简可得
又，
所以
因此
（II）由得
由余弦定理
解得a=1。
因此c=2
又因为
所以
因此
18．解：（I）设甲胜A的事件为D，
乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。
因为
由对立事件的概率公式知
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。
又由（I）知是两两互斥事件，
且各盘比赛的结果相互独立，
因此
由对立事件的概率公式得
所以的分布列为：
0 1 2 3 P 0．1 0．35 0．4 0．15 因此
19．（I）证法一：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，，
所以∽
由于AB=2EF，
因此，BC=2FC，
连接AF，由于FG//BC，
在中，M是线段AD的中点，
则AM//BC，且
因此FG//AM且FG=AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM//FA。
又平面ABFE，平面ABFE，
所以GM//平面AB。
证法二：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，，
所以∽
由于AB=2EF，
因此，BC=2FC，
取BC的中点N，连接GN，
因此四边形BNGF为平行四边形，
所以GN//FB，
在中，M是线段AD的中点，连接MN，
则MN//AB，
因为
所以平面GMN//平面ABFE。
又平面GMN，
所以GM//平面ABFE。
（II）解法一：
因为，
又平面ABCD，
所以AC，AD，AE两两垂直，
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，
不妨设
则由题意得A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），
所以
又
所以
设平面BFC的法向量为
则
所以取
所以
设平面ABF的法向量为，
则
所以
则，
所以
因此二面角A—BF—C的大小为
解法二：
由题意知，平面平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，
因为AC=BC，
所以，
则平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
则
所以为二面角A—BF—C的平面角。
由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。
在直角梯形ABFE中，连接FH，
则，又
所以
因此在中，
由于
所以在中，
因此二面角A—BF—C的大小为
20．解：（I）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因为
所以
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
21．解：（I）设容器的容积为V，
由题意知
故
由于
因此
所以建造费用
因此
（II）由（I）得
由于
当
令
所以
（1）当时，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以
因为在椭圆上，
因此 ①
又因为
所以 ②
由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得
，
其中
即 …………（）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以
又
整理得且符合（）式，
此时
综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，
由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知
所以
所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为
所以
即当且仅当时等号成立。
因此|OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
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