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[xxsx./编者按]北京教育学院张丹老师是小学数学教育教学研究的一位资深专家，今年张老师就小学数学教学方面发表了一系列文章，《以数的运算为例 谈整体把握小学数学课程》是张老师的又一力作，凤凰教育网转载于此，目的是让我们的老师能了解目前小学数学研究方向和高度。 另张老师的文章发表后，华东师范大学教授、课程标准研制组组长、我国著名的数学教育家张奠宙先生针对张老师的文章，谈了自己的看法，凤凰教育网也另文进行转载，同时，张丹老师也对张教授的文章进行了回应，凤凰教育网也进行转载，目的是让我们老师全方位了解这方面的研究情况。(凤凰教育网小学数学QQ讨论群：65043004)
我国数学课 程一直将数的运 算作为小学数 学的主要内容，重视培养学 生的运算能力，并且取 得了很多优秀的成绩和宝贵的经验。 但长期以来，一些人对运算能力的理解并不全面， 将其仅仅等同于运算技能 （即算得又对又快）， 并且由于考试等原因对运算难度和速度的要求越来越高。 在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快？ 当然，基本的运算技能是必需的，但“基本”的标准是什么？ 学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？ 还有哪些有价值的内容？ 实际上，数的运算和运用运 算解决问题 是具有天然联系的，因此《义务教育数学课程标准（实 验稿）》（以下简称《标准》）将其整合在一起。于是，数的运算就包括如下几条主线：第 一，数的运算的意义及四 则运算之间的 关系 ；第 二， 获得 运算 的结 果（ 包 括估 算、 精 确计算）；第 三，运 算律及运 算性质 ；第四， 运用 运算解 决实际问题。限于文章篇幅，本文将集中阐述“获得运算的结果”中有关精确计算的内容。 进一步，我和我的团队认为，精确计算 的学习又可以细分为四条 线索：第一，计算 方法的探索及算理的理解；第二，计算法则的形成与内化；第三，计算法则的熟练；第四，使用计算器进行计算。 本文将集中于前三条线索。 一、计算方法的探索及算理的理解 （http://xxsx./Html/6/Menu/4/Article/590/） 二、计算法则的内化与形成 （http://xxsx./Html/6/Menu/4/Article/591/）
三、计算法则的熟练 使用“熟练”一词，并不是说要求学生对于所有的计算法则的使用都必须达到一定的速度，而是指形成必要的计算技能，从而在以后遇到此类计算时，学生能“自动地”使用法则。理想的教学是当学生面对精确计算的题目时，能够 回忆起法则进行“自动 ”的运算，而当询问 法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确地加以表达。 那么，如何在新课程背 景和要求下， 科学地培养 学生的运算技能呢？提出如下几条建议。 1.首先应以《标准》为依据。 《标准》 对于学生的计算技能给出了明确要求。第一，是内容方面的要求。 如对于自然数的笔算，明确规定“能计算三位数的加减法 ”， “能笔算三位数乘 两位数的乘法， 三位数除以两位数的除法”，“会进行简单的四则混合运算（以两步为主，不超过三步）”。 第二，是对速度的要求。 下表是《标准》给出的评价建议：
在《标准》修订时，又明确了 100 以内加减法口算的速度要求，即每分 3~4 题。 2.有效利用学生的困难和错误。 谈到科学地培养学生计算技能的问题，不能回避的问题是如何面对学生的困难和错误。 实际上，越来越多的老师对学生的困难和错误采取了更为理解的态度，并力图去发现其中的原因和积极成分，把困难和错误当成资源来利用。 这里，想再次强调教师要深入了解学生的想法，准确诊断学生困难和错误的原因。 教师不能将学生的困难和错误简单地归为“粗心”，而要通过访谈等手段了解学生的真实想法。 这里举一个案例（详见本刊 2007 年第 9 期《让知识成为学生真正的营养》一文）。 清华大学附属小学的张红老师在教学小数除 以小数之前 ， 对学生进行 了学前调研，发现学生在计算“8.54÷0.7”时，27% 的学生不能自觉想到将其转化为小数除 以整数，67.6% 的学生 在转化时出现了困难。 特别有意思的是，在随后教师对学生的访谈中， 发现了学生在处理 商的小数点位置时 出现了较大的困难。 一部分学生认 为商的小数点应该 与被除数的小数点对齐，得到 1.22 ；另一部分学生把被 除数和除数同时扩大 10 倍， 将算式 转化为 85.4÷7 并得 到答案12.2 后， 又画蛇添足地将答 案的小数点往左 移动了一位。 如果教师不了解学生的真正困难，设计有效的活动帮助学生克服困难，学生可 能只会机械记住 法则。于是，为了帮助学生克服 困难，教师在课堂上让 学生探索“5.1÷0.3 ”，当出现困难时，教师为学生 准备了三道提示问题： 温馨提示 1 ：铅笔每支 0.3 元，小红有 5.1 元钱，她能买几支铅笔？ 温馨提示 2：一 条彩带长 5.1 米，如 果每 0.3 米剪成一段，可以剪几段？ 温馨提 示 3：如 图 6，5.1 里面 有多少个 0.3， 你能圈圈看吗？
在教师的引导下， 学生借助生 活原型（提 示1和提示 2 ）和直观模型（提示 3）发现最终的答案应该是 17 而不是 1.7 。 图 7 是利用直观模型的解释：5.1 里面有 51 个0.1 ，0.3 里面 有 3 个 0.1，看 5.1 里面 有多少 个 0.3， 实际上就是看 51 里面有多少个 3，结果为 17。
3.合理地设计练习。 要形成一定的运算技能， 必要的练习是不可少的。练习的设计包括练习的题目、练习的形式、练习的数量、练习的时间等的合理安排。 考虑到小学生的认知特点，教师应采取丰富多彩的练习形式，以激发学生的学习兴趣。 比如，可以安排有趣的“数学黑洞”问题。 在这样的问题中，学生既进行了减法的练习，同时也发现了有趣的规律。 这里要特别强调的 是，在练习的同时，教 师可以将基本技能的获 得与其他思维能力的培养有机结合起来。 根据运算技能形成的各阶段的特点，教师可以适当地 分配练习的次数和时间， 并非练习的次数越多 、时间越长，练习的效果就越好。 比如，有些教师总结了合理安排练习次数和时间的经验：“我们提出了交错训练，也就是说把计算的练习安排在了平时的每一天，和我们要讲的新知识结合在一起……一般来讲，在计算教学的一段时 间，讲完算理和算法以后 ，每天早晨我们会做 四到六道计算题，课堂当中可以做一两道题。 这样随着时间的拉 长，练习的量会逐渐地减 少，比如说在以后就 可能是一 周练习两到三次，一次一 两道题，这样基本一 个月下来，错题率就能保证在2％左右。 4.注意对数和运算意义等的深入理解。 学生在计算中的 困难和错误往 往与其对于 数和运算的意义理解不深是有关系的。 比如对于整数加减法的竖式运算， 运算的关键是“相同计 数单位相加 减”，如果学生对于位值制不理解的话， 在计算中就会出现困难。又如分数 运算，在学习分数的加减 运算时，学生 需要理解分数的“度量意义”（分数是分数单位的“累积”）；在学习分数的 乘除运算时，学生又需 要理解分数的“ 运作意义”（如乘 5.进行必要的研究。 为了科学地培养 学生的运算 技能， 教师还 需要进行必要的研究。 比如学生技能形成的主要阶段，学生的常见困难和 错误，运算技能的关键点 ，运算中的 重点题目等。 其实 ，只要教师能做有心人 ，从教学中的“ 小处”入手， 以小寓大，会发现日常教 学中有许多可以 研究的问题。 这里引用张天孝老师的一个研究：“比 如，100 以内两位数 加一位数进位加 法共 369 道题，对进 位加法本身来说，这些题的口算训练价值是等同的。 但对后继学习 （多位 数乘法计 算）的 作用来 说， 口算训 练价 值就不一样。 在多位数乘法计算中，涉及的两位数加一位数进位加法共 60 道题 ，占总题量的 16％ ，对这 60 道题就应增加训练量。 如 748×7，要用到 28＋5、49＋3 两道口算题。 ”
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，相当于除以3再乘2）。 因此，一方面，教师要加强对于 数的意义和运算意义 理解的教学 ； 另一方面，当 学生计算出现困难或错误时 ，教师要注意 学生是否理解相应的数和运算的意义。
