数学建模方法与技巧

数学建模方法与技巧 一．     数学的重要性： 学了这么多年的书，感觉最有用的就是数学课了，相信还是有很多人和我一样的想法的 。 大家回想一下：有什么课自始至终都用到？我想了一下只有数学了，当然还有英语。 特别到了大学，学信号处理和通信方面的课时，更是感到了数学课的重要性。计算机： 数据结构，编程算法....哪个不需要数学知识和思想。有这样的说法，数学系的人学计 算机才是最牛的。信号与系统：这个变换那个变换的。通信：此编码彼编码的。数字图 像与模式识别：这个概率论和数理统计到处都是。线性代数和矩阵论也是经常出现。 二．     数学的学习方法： 最重要的是遇到问题首先不畏惧，然后知道类似的问题别人是如何处理，我们是否可以 借鉴，然后再比较我们的问题和已有的问题有何异同，已有的方法有什么不足，我们应 从哪里着手考虑新方法。思考路线比具体推导更重要。数学并非说得越玄乎越显水平。 真正的理解在于抓住实质，"如果你还觉得某个东西很难、很繁、很难记住，说明你还沉 迷于细节，没有抓住实质，抓住了实质，一切都是简单的。"这是概率之父Kolmogorov的 名言。我们平时在学习数学时，也时刻问自己，能不能向一个外行讲清楚这是怎么回事 ，如果不能，说明我们自己还没有真正理解。数学推导的功夫应该是在课下通过大量的 练习得到的，在课下花的时间要远大于课上的时间。 三．     数学软件介绍： 在当今30多个数学类（为区别于文字处理和作图类而加的修饰词）科技应用软件中，就 软件数学处理的原始内核而言，可分为两大类。一类是数值计算（Number Crunching） ）型软件，如Matlab， Xmath，MLAB等。这类软件对大批数据具有较强的管理、计算和 可视化能力，运行效率高。另一类是数学分析（Math Analysis）型软件，如Mathemati ca、Maple，Macsyma等。它们以符号计算见长，并可得到解析符号解和任意精度解，但 处理大量量数据时运行效率较低。经过多年的国际竞争，MATLAB已经占据了数值型软件 市场的主导地位，处于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica，Macsyma位居符号软件的 前三名（见IEEE Spectrum）。 在国际流行的科技应用软件中，Mathcad 别具特色。该 软件的开发商Mathsoft公司一开始就把面向教学和办公作为Mathcad的市场目标。在对待 数值计算、符号分析、文字处理、图形能力的开发商，不以专业水准为追求，而尽力集 各种功能于一体。MathWorks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数值计算和图视能力 的基础商，又率先在专业水平上开拓其符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控 制能力，精心营造适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB。 对电子系同学最常用的软件而且基本上唯一使用的数学软件就是matlab了。Matlab 5.3 版本（最新版本6.0版）完全安装，包括帮助、以及各种工具箱一共竟需要1G多硬盘空间 。当然，这一个G的容量并不是被各种垃圾文件所充斥，相反的，它是由无数在Matlab系 统上运行的函数文件所占据。由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。1984年，计算 数学家Steve Bangert、Steve Kleiman、John Little、Cleve Morer在原来 FORTRAN程 序的基础上开发了一个解决线性系统计算问题的C语言程序，他们给它起了个响亮的名字 Matlab(Matrix Laboratory)。从此以后，Matlab系统便一发而不可收拾，成千上万的软 件工程师、计算科学家、和各种应用领域的科技工作人员加入了Matlab的开发者的行列 。他们把各自科研、应用领域中的常用算法用Matlab系统提供的编程语言做成程序集， 于是就产生了Matlab的特色之一："工具箱系统"(Toolbox)。在Matlab5.3 中大约有几十 个工具箱，其中包括通信，信号系统分析、离散信号分析、优化、偏微分方程、小波变 换、地图、财经、电力系统、神经网络，数值计算等等。工具箱中每一个函数都是采用 了该领域中最先进的高效算法，无数这样的函数文本文件组成了Matlab这个巨无霸，由 此可见，Matlab对于解决工程问题是极其具有优越性的。是我们电子系学生的最爱。上 面介绍了Matlab的主要特色之一：工具箱。下面来谈谈它的另一个特色，就是与其他语 言和编译器之间的接口。这个问题一直是关于Matlab的最热门的话题。原因很简单，1. Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平台上才能运行，这样限制 了这些程序的使用范围，即如果想应用这些程序，你首先必需在你的计算机上安装一个 多达几百兆的Matlab，给使用带来了不便。另外，由于Matlab采用的是逐行解释的方式 来执行代码，因此运行速度比编译为exe 的二进制文件要慢，因此，利用编译器，把m文 件变为二进制的exe或dll文件，会大大缩短计算时间. 尽管Matlab是一个完善的系统， 但毕竟术业有专攻，各种语言的可视化编程环境(如VC，C++Builder，Delphi等)在用户 界面设计和其他系统功能方面具有Matlab不能比拟的快捷和高效，因此，如何把Matlab 强大的数值计算功能与可视编程集成环境IDE结合起来，开发用户操作方便、计算功能完 备、运行快捷的应用程序便成为程序开发者的最大愿望。Matlab中包含了大量的矩阵运 算、数值运算函数、图形操作函数、用户图形界面函数等等，用他可以象C语言一样书写 函数流程，而且开发WIN图形界面的用户程序。Matlab强大的功能、方便的操作给它赢得 了世界上最流行的数学软件的桂冠。难怪在网上大家奔走相告"出国前一定要把Matlab学 好"。 四．     其他数学软件简介（也算开开眼界尽管基本上不用（除了第一个外））： 1．      Matcom：Matcom是MathTools开发的一个m文件解释器（即将Matlab中的编程语 言解 释为C语言），不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产 生C源代码，供其他高级语言编译器使用。Matcom所实现的在C语言中直接书写类似于ma tlab语句的功能，带来了以下几个明显的优点：一，是利用Matcom编制的程序可以在任 何不安装 Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍；三是实现了Ma tlab强大的计算功能与各种C编译器界面设计 的完美组合。我现在最喜欢用的就是在vc 上作界面来方便用户操作，用Matcom库实现算法计算，这样相得益彰，用这种方法编成 的程序，操作方便简洁，计算图形功能强大，速度快。 2．      Mathmatica：最令人着迷的是它的完美的符号运算功能。所谓符号运算是指它 所处 理的对象不仅仅是常见的数字（如12或3.14），而是一些带有代数符号的表达式，我们 在代数中曾经学过运用代数的运算规则，对一个含有符号的表达式进行恒等变换，一个 函数就是一种规则或者说映射，比如定义如下一个规则，我们就可以运用这法则将下式 变换。而Mathematica正是具有这种类似人类思维的功能，它能不断学会并记忆各种变化 规则，并把这些各式各样的变化应用到各种表达式上，无论形式多么复杂，总能得到我 们想得到的带有代数符号的结果。而在C语言或其他编程语言中，对于一个符号，必须先 声明，然后赋值才能使用。因此它所表达的含意是有限的，而Mathematica完全抛开了这 种限制，一个符号可以表示任意对象，没有类型限制，真正实现了"代数"中的"代"字。 Mathematica象一个不知疲倦的公式推导家，它能在一秒钟之内将一个复杂的函数关系复 合上万次，它能在各种复杂表达式形式中找到最简单的。Mathematica对于大一、大二的 同学可能是一个福音，对于大家在高等数学、线性代数中常碰到的对表达式求极限、微 分、定积分、不定积分、级数、向量代数等内容在Mathematica都有内部函数来直接计算 结果。当然，希望大家还是自己动手练一练公式推导的基本功，把Mathematica当作一个 检验工具是无可厚非。Mathematica4.0中， 系统函数涵盖了微积分、线性代数、概率、 几何、图论、组合数学、数论数学、特殊函数等绝大多数常用数学分支。 3．      Mathcad 8.0，Maple 5： 著名的符号运算数学软件，与Mathematica 类似，内 存管 理较好，SAS 6.12 统计学专业软件，压缩文件100多M（最权威的统计软件）。 4．      其他：SPSS 8.0 社会科学统计软件包；Lindo/Lingo 50线性、非线性规划软件 ；A nsys 5.4 权威的有限元法（FEM）计算软件，安装文件约200~300M ；Algo 有限元法软 件包；Statistics 统计软件 ；Datafit 数值拟合专业软件 ；Origin 6.0   微软的数据 分析绘图软件，可以与Excel数据库通讯；Netlib 网络并行计算库 ；Isoft 电磁仿真软 件 ；Auto 非线性动力系统计算软件 ；Flexpde 2.10 求解偏微分方程的数值软件；Te cplot 8.0流速与值线流体力学 ；RATS 数值分析软件。 一、是数学建模竞赛 数学建模竞赛就是这样。它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数 学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的 计算机竞赛，它涉及物理，化学，生物，电子，农业，管理等各学科，各领域的知识， 但也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。它涉及各学科，各领域，但又不受任何一个具 体的学科，领域的局限。它要用到各方面的综合的知识，但还不限此。选手们不只是要 有各方面的知识，还要有驾域这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无 止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竞赛，即要比赛各方面 的综合知识，也比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。在这 个意义上看，它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点 也就是不纯，综合就是不纯。纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国 大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。特别是近若干年来我 国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名 度，在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知 识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷，计算能力的强弱等。试题都 是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独 立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机(器) 。考 题都有标准答案。当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与 否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果，对每个选手的 答案给出分数，按分数高低来判定优劣。 尽管也要对参赛的团体(代表一个国家，地区 或学校)计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比 赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛 而不相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜主要靠 每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。 这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对于培养数学家和数 学专门人才，起了很大的作用。 随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于 自然科学各个领域，各学科，而且渗透到经济，军事，管理以至于社会科学和社会活动 的各个领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要在各部门中从事实际工作的人善于 运用数学知识及数学大思维放法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益 和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就象在学校里做数学应用题) ，而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别 的学科，领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实 际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用 现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂 在一起的问题，不是"干净的"数学，而是"脏"的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里 等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的问题进行分析 ，发现其中的可用数学语来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这 就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并 不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的 。既然是仿造，就不是真的，只能是"假冒"，但不能是"伪劣"，必须真实地反映所模仿 的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起像飞机 就行了，可以摆在展览馆供人参观，照相，但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理，就 得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞 机有相同之处。但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机，可见 ，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言(可能 包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系，空间形式等。这种模仿当然是近似 的，但又要尽可能的逼真。实际问题中的许多因素，在建立数学模型时你不可能，也没 有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次 要因素，数学模型建立起来后，实际问题化成数学问题，就可以用数学工具，数学方法 去解答。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们(也 包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发 展。例如，开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模 型)，牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它，但当时的数学工具是不够用的，这使了 微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行 大量计算。这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学 理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而计算 机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真 正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法 或数据方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢?不是。既然数学模型只能近似地反映实 际问题中的关系和规律，到底反应的好不好，还需要接受检验。如果数学模型建立的不 好，如果没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得 出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察，看它是否合理，是否可行。如果不 符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行 ，才算是得到一个解答，可以先付诸实施，但是，十全十美的答案是没有的，已得到的 答案一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进;或者暂停告一段 落，待将来有新的情况和要求后再作该进。 上面所说的建立数学模型来解决问题的过程，是各行各业各个领域大量需要的，也是我 们的学生在走上工作单位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知 识和解数学题的能力，而需要多方面的综合能力。社会对具备这种能力的人的需求，比 对数学专门人才的需求要多的多。因此，在学校里就应当努力陪养和提高学生在这方面 的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触 实际工作，得到锻炼，获得知识及其他各方面的能力)去参与解决问题的全过程。这些实 际问题并不限于某一方面，可以涉及非常广泛的，并不固定的范围。这样来促进应用人 才的培养。 二、数学模型的基础 1．      数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同: 的角度可以有不同的定义 。不过我们可以给出如下定义。: "数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作 的一个抽象的、简化的结构。" : 具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数 学及其它:数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特 征及其内在联系的数学结构表达式。 2．建立数学模型的方法和步骤 第一、   模型准备   (问题的提出与分析) 首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特 征。 第二、   模型假设与符号说明 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设 ，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法 欠佳的行为，: 所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次 ，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 第三、   模型的建立与求解 通过对问题的分析和模型假设后建立数学模型（模型运用数学符号和数学语言来描述） ，并过设计算法、运用计算机实现等途径（根据模型的特征和要求确定）求解模型！此 过程是整：个数模过程的最重要部分，需慎重对待！ 第四、   型的检验 即通过问题所提供的数据或相对于实际生活中的情况对模型的合理性、准确性等进行判 别模型的优劣！可通过计算机模拟等手段来完成！ 第五、   模型的完善与推广 此步骤可根据建模时具体情况而定！ 关于建模的步骤并不一定必须按照以上几步进行，有兴趣的同仁可参考建模的相关书籍 。 三、数学建模参考资料： 1、《数学模型基础》 王树禾 中国科学技术大学出版社 1996 2、《数学模型》 谭永基，俞文 复旦大学出版社 1997 3、《数学建模竞赛教程》 李尚志 江苏教育出版社 1996 这些书均可在图书馆借到或在九章书店买到。其他方面的书也很多，有足够时间可以去 翻翻。全国大学生数学建模竞赛的有关信息，可在Internet上中国工业与应用数学学业 会 （CSIAM）的主页内浏览，网址为：http://www./。数学建模比赛每年 的9月下旬举行，每年6月份报名，三人组成一个参赛队。欲参加比赛的同学应该到数学 系旁听数学模型课或者选修公共选修课"数学模型"。 《吉米多维奇数学分析习题集》 本书只适合超级大牛同学做。图书馆有借和海淀图书城的九章数学书店有售。 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文著，高教出版社。本书可谓宝典级的圣书。适合一般牛的同学。图书馆不多，九 章书店有售。 《大学生数学竞赛试题解析选编》 第二版，李心灿等编，高教出版社。凡是科协课外小组的同学要求人手一本。里面收集 了北京市大学生数学竞赛的历年真题，比较好，对于水平中等及中等以上的同学均有意 义。九章数学书店有售。 《高等数学复习题解与指导》 陈文灯著，上下两本，北京理工大学出版社：该书讲解十分详尽，对于各类水平的同学 均有很大的帮助。呕血推荐！！！九章书店有售。 《数学复习指南》 理工类，陈文灯等著。该书高数内容与上本书基本一致。但该书还有线性代数，概率论 等部分，非常全面。图书馆有借。各大书店均有售。适合所有水平的同学。 《高等数学解题过程的分析和研究》 钱昌本著。该书主要介绍高等数学的思维方法。例题很有启发性。图书馆有借。九章书 店有售。 从常微分方程开始，数学课就变成没底的东西，每一个标题做下去都是数学研究里面庞 大的一块。对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断。下面开始说参考书，毫无 疑问，我们还是得从我们强大的北方邻国说起。 《常微分方程讲义》 彼得罗夫斯基。在20世纪数学史上，这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位 。从学术上说，他在偏微那一块有非常好的工作，五十年代谷先生去苏联读学位的时候 还参加过他主持的讨论班。他从三十年代末开始就转向行政工作。在他早年的学生里面 有许多后来苏联的高官，所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个 保护伞，他这本书在相当长的时期里是标准教材。 《常微分方程》 庞特里亚金。庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明，在母亲的鼓励和帮助 下，他以惊人的毅力走上了数学道路，别的不说，光看看他给后人留下的"连续群"，"最 佳过程的数学理论"，你就不得不对他佩服得五体投地，有六体也投 下来了。他的这本 课本就是李迅经先生他们翻译的。此书影响过很多我们的老师辈的人物。 下面转到欧美方面， 《Theory of Ordinary Differnetial Equations》 Coddington & Levinson。这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典。说老实话这书 里东西太多，自己看着办吧。 《Differential Equations ，Linear Algebra and Dynamical Systems》 Hirsh & Smale(中译本"微分方程，线性代数和动力系统")。这两位重量级人物写的书其 实一点都不难念，非常易懂。所涉及的内容也是非常基本，重要的。关于作者嘛，可以 提一句，Smale现在在香港城市大学，身价是三年1000万港币。我想称他为在中国领土上 工作的最重要的数学家应该没有什么疑问。 《常微分方程》 Arnol'd。必须承认，我对Arnol'd是相当崇拜的。作为Kolmogorov的学生，他们两就占 了KAM里的两个字母。他写的书，特别是一些教材以极富启发性而著称。实际上，他的习 惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍。从和他的几个学生的交往中我 也发现他教学生的本事也非常大。特别是他的学生之间非常喜欢讨论，可能是受他言传 身教的作用吧。 《常微分方程教程》 丁同仁，李承治。这绝对是中国人写的最好的常微课本，内容翔实，观点也比较高。再 说一句，就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看。 《常微分方程手册》 卡姆克(Kamke)。那里面的方程多得不可胜数，对于变系数常微分方程，有一类很重要的 就是和物理里常用的特殊函数有关的。对于这些方程，现在绝对是物理系的学生比数学 系的学生更熟悉。我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要 学生全部完全记在心里。事实上，我很怀疑，不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数 系的"完备性"现象。 《数学物理方法》 第一卷，Courant-Hilbert。可以说达到古典处理方法的顶峰了，但是看起来 并不是很 容易的。我的理解是学点泛函的观点，可以获得一些统一的处理方法，可能比一个函数 一个方法学起来更容易一些。 《特殊函数概论》 王竹溪，郭敦仁。它的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的 东西，具体的细节要用的时候去查书。要知道，查这本书并不是什么丢人的事情，看看 扬振宁先生为该书英文版写的序言吧："(70年代末)…我的老师王竹溪先生送了我一本刚 出版的'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架上，...经常在里面寻找我需要 的结论..."连他老先生都如此，何况我们？ 以上很多只适合数学超级大牛看。对于我们电子系同学而言，学第7本书就行了。能明白 微分方程的定性理论就可以了。因为有很多微分方程是没有解析解的。而且只有学过定 性理论才可以学习自动控制原理。 有的地方管这叫"近世代数"，反正近不近各人自己看着办吧!从历史上说，可以认为严肃 的讨论是从伽罗华开始的，他在决斗前夜写下的那封著名的信件(里面有"你可以公开向 Jacobi或者Gauss提出请求，不是就这些结果的正确性，而是重要性，给出意见...."， 现藏法国国家图书馆)。在后来的发展过程中，代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个 角落。到今天这已经是一门无处不在的分支了。 《代数学引论》 丁石孙，聂灵沼。这本书的特点和北大的那本高等代数一样，就是没什么自己的特色， 原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了N.Jacobson "Basic Algebra I，II" J acobson在代数领域也属于权威，是华先生同时代的人。这本书从观点上说是相当现代化 的，比同作者的那本。N. Jacobson "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30，31，3 2) (中译本:抽象代数学，共三卷，)要改进不少。从习题的角度上说，可以看徐诚浩"抽 象代数--方法导引"。 可以罗列的参考书还有很多：S.Lang "Algebra" Lang写书以清晰著称，他的这本书还得 过AMS发的Steel优秀图书奖；莫宗坚 "代数学(上，下)" 北大数学丛书里面的一本，感 觉不错。数学系一些同学对此书推崇倍至。熊全淹"近世代数" 这本书的好坏不敢评论， 不过这本书有个很大的特点，就是作者收集了很多小文章，比如许多American Mathema tical Monthly 上的短文。依他开列的参考文献到系资料室去找，可以看到很多有趣的 东西。其它的就是比较专门的东西了。比如群论，就有影响过无数学者的库洛什"群论" 注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样。或者段学复先生的导师Robinson写 的Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80)再有象(群，代数)表示论， 环论，模论等等，都有专著，对于Galois理论，有一本.E.Artin "伽罗华理论"非常薄， 讲得很精彩，绝对是本传世佳作。 对电子系同学而言，抽象代数在通信中的编码理论里有很多应用。如果有这个基础，学 习信息论与编码将游刃有余。 《数学物理方程--方法导引》 陈恕行，秦铁虎。是一本非常好的讲习题的书。里面的习题如果能够全部做一遍的话， 应付考试是绰绰有余了 《数学物理方法"(I，II)》 R. Courant， D. Hilbert。可以说是毫无疑问的经典。按照一些老师的说法，不管椭圆 ，双曲，抛物里面的哪一块这本书里面的相应章节都是经典，问题就是这书放在一起你 是没办法当教材来学的，所以只能有空翻翻啦.... 《数学物理方程》 谷超豪，李大潜，谭永基(?)，沈纬熙，秦铁虎，(上海科技)。这本书在这样一个水平上 (指不引进广义函数， 弱解等泛函里面的概念)是相当不错的。注意那些经典方程的推导 里面多少有一些近似的过程，这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质 的稳定性。比如，对于经典的波动方程，3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理 (这可以看作 经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据)，你在其它一些书( 或者说以后)可以看到，差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质--但是别忘 了，高维波动方程的推导里面是有近似的，这说明什么一阶偏微分方程似乎是安排在常 微的最后教的。 《实变函数论》 那汤松。在下册里面还有关于超限归纳法的描述。 《实分析中的反例》 汪林。这是本非常非常好的书，在以后的几章里面我们也都要引用这本书。作者是程民 德先生的弟子。要记住的是，这不仅仅是一本讲例子的书! 《实变函数》 周民强(第二版) 这本书写得不错，总的说来最大的好处恐怕就是习题很多，而且都是能 做的习题。 泛函分析对电子系同学而言只要找几本很基础的书（特别是注明为工科学生写的，不要 实变函数和测度论基础的），理解范数，希尔伯特空间等概念即可。 高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论。如果严格一点，关于线性空间的理 论该叫线性代数，再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高 等代数了。这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra，就是苏联人喜欢用高等这个词 ，你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra。从这门课的 内容上说，是可以有很多种讲法的。线性空间的重点自然是线性变换，那么如果在定义 空间和像空间里面取定一组基的话，就有一个矩阵的表示。因此这门课的确是可以建立 在矩阵论上的。而且如果要和数值搭界的话还必须这么做。 《矩阵论》 甘特玛赫尔。我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了。其中译者是柯召先生。在这 套分两册的书里面，讲到了很多不纳入通常课本的内容。举个例子，大家知道矩阵有Jo rdan 标准型，但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求？请看"矩阵论 "。 《线性代数和矩阵论》 许以超。这本书写得很不错的，习题也不错。必须指出，这里面其实对于空间的观念很 重视。对电子学系的中等水平以上同学来讲这本书很不错的。 《高等数学引论》 华罗庚。华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格，在矩阵理论方面他也 有很好的工作。甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字，一个是樊畿先生， 另一个就是华先生。可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的:n阶行列式是n个 n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数。这就是和多 线性代数或者说张量分析的观点很接近了。 《高等代数"(上，下)》 丘维声。相当不错。特点是很全，虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深， 但是在空间理论，具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的。多项式理论那块 也讲了不少。 《Problems in Combinatorics》 Lovasz。这是本相当好的习题集，作者Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合学家。唯一 的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点，不过千万不要被吓倒! 《组合学引论》 I.Tomescu。首先，这是本很好的书，不管上不上这门课都值得一读。其次，这本书的习 题不是很好做的，特别是没有答案。(严肃的说，当你看到许多习题后面都标有人物，年 代，就该知道这些结果不是那么平凡的了) 《Problem in graph theory and combinatorics》 I.Tomescu。这本书有比较详细的提示和解答，里面的题目也非常好。 《Graph Theory and Applications》 Bondy，Murty(中译本:图论及其应用，科学出版社)。这本书内容翔实，写得很容易读， 而且有许多难度适当的习题，注意这些习题不仅在书后有简短的提示，而且在图书馆里 面有一本习题解答。很适合电子系的同学阅读。 《Graph Theory"(图论)》 Harary(哈拉里)。这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的，所以有 相当难度，虽说那里给出了非常详细的文献来源，但是有些还是很不好找的。这本书其 实已经有点专著的味道了。 《组合学引论》 C.L.Liu(刘炯朗)。这书是魏万迪翻的，就是印刷质量差了点。其它都还好，在北美的评 价也不错。很适合电子系同学阅读。 对电子系同学而言，组合数学与图论不光在计算机算法编制上有应用，在通信网中也有 很多应用。 《Numerical Recipes》系列全套 包括《Numerical Recipes In C》，《Numerical Recipes In Fortran77》，《Numeri cal Recipes In Fortran90》。这是经典中的经典，是剑桥，哈佛等一流大学教授合写 的。呕血推荐。图书馆有Numerical Recipes In C的中译本，不过特别厚。对电子系同 学来讲，基本的数值计算方法只要理解基本原理即可，无需自己动手编制，有很多成熟 的软件包编制的非常好，而且在实际工作中查手册找到方法，然后用诸如matlab之类软 件包编制即可。