教学中发现,许多同学在解几何题时存这样或那样的错误,其中,最常见的有如下几类,愿通过对这几类错误的剖析,能对正忙于中考复习的同学有所帮助.
一、 忽视分类
对于一些没有给出图形的几何问题,同学们往往凭自已的想象或习惯匆忙画图求解,怱视了分类讨论得出不完整的答案.
例1 ⊙O中,弦AB和AC的夹角为62,P、Q分别是的中点,求∠POQ的度数.
误解:如图1,∵P、Q分别是的中点,由垂径定理的推论知:OP⊥AB,OQ⊥AC.∴∠POQ=180-∠A=180-62=118.
剖析:上述过程乍看没什么问题,但本题并没有给出现成的图形,题目中也并没有说明圆心O一定在∠BAC的内部,故应分类考虑圆心O与∠BAC的位置关系.事实上,当圆心O在∠BAC的一边上时(如图2),∠POQ=118或62;当圆心O在∠BAC的外部时(如图3),∠POQ=62.因此,∠POQ=118或62.
二、 忽视对应
某些几何问题隐含对应关系,若不细致分析亦会产生答案不全的错误.
例2 在△ABC和△ABD中,∠ACB=∠ABD=90,BC=a,AC=b,如果△ABD与△ABC相似,试求斜边AD上的高.
误解:如图4,过B作BE⊥AD于E,则∠AEB=∠ACB=90.∵△ABD与△ABC相似,∴∠BAD=∠CAB,又AB=AB,∴△BAE≌△BAC,∴BE=BC=a.即斜边AD上的高为a.
剖析:题目给出了“△ABD与△ABC相似”并不等于指明了这两个三角形的对应边(它不等同于表达式“△ABD∽△ABC”那样指明了对应顶点).而上述解答误认为“△ABD与△ABC相似”已锁定了两三角形的对应边.其实,根据题意还存在另一种情形(如图5),在此情形下,不难求得BE=AC=b,故斜边AD上的高为a或b.
三、以偏概全
所谓“以偏概全”,就是用极端或特殊情形下得出的结论代替一般的结论.有些同学为了图方便,解题时却犯了以偏概全的错误.
例3 求证:圆中直径是最长的弦.
误证:如图6,AB是圆O的直径,BC是弦,连结OC,
∵AB=OA+OB=OC+OB>BC,∴直径是圆中最长的弦.
剖析:要证明直径是圆中最长的弦,即证:圆中任意一条弦都比直径小.
非直径的弦不一定要画成有一个端点与已知直径的一个端点重合,上述证明只能说明弦BC比直径AB小,不能代表该圆中所有的弦都比直径AB小,因而犯了以偏概全的错误.其正确证法是:如图7,AB是⊙O的直径,设CD是⊙O中任意一条非直径的弦,连结OC、OD,则OC=OD=OA,在△OCD中,∵OC+OD>CD,∴AB=2OA=OC+OD>CD.故圆中直径是最长的弦.这里要强调:CD是任意一条弦.
四 、循环论证
所谓“循环论证”,就是把所要证的结论不知不觉的当成条件使用,最后又得出所证的结论.
例4 如图8,⊙O中,AB为直径,AC是弦,∠A=30,延长AB至D,使BD=AB,连DC.求证:DC是⊙O的切线.
误证:连OC、BC,∵OA=OC,∠A=30,∴∠BOC=60,又OB=OC,∴△BOC是等边三角形,从而∠BCO=∠OBC=60.(☆)∵BD=AB=OB,∴CB是Rt△OCD斜边上的中线,∴CB=BD,∴∠BCD=×60=30,故∠OCD=60+30=90,即DC是⊙O的切线.
剖析:表面上看,似乎看不出错在哪里,但只要细心观察,不难发现“CB是Rt△OCD斜边上的中线”这一步令人费解.为什么△OCD是直角三角形?如果△OCD是直角形(∠OCD是直角),那么DC岂不是圆的切了吗?本题证明的最终目标是:“DC是⊙O的切线”,而这里不知不觉的把要证明的结论“DC是⊙O的切线”当成已知条件使用了.因此,上述解答正是犯了循环论证的错误.如果在(☆)号后这样叙述:∵BD=AB,又△BOC是等边三角形,∴BD=OB=BC,∴∠BCD=×60=30,故∠OCD=60+30=90,即DC是⊙O的切线.那就完美无缺了!
五、自以为是
所谓“自以为是”,就是对于一些较复杂的问题,在理不清头序时想当然的或糊编乱造的写出缺少依据的解答.
例5 如图9,矩形ABCD中,E、G、F分别是边AD、AB和对角线AC上的点,EF∥DC,FG∥BC.求证:四边形AEFG∽四边形ABCD.
误证:∵EF∥DC,∴△AEF∽△ADC.同理,
△AFG∽△ACB.∴△AEF+△AFG∽△ADC+△ACB, 即四边形AEFG ∽ 四边形ABCD.
剖析:问题出在“△AEF+△AFG=△ADC+△ACB”上,其原因可能是把“∽”号误认为了“=”号,从而套用了等式的性质(或者是想当然),自以为是.这是没有依据的.其正确的证法是运用相似多边形的定义,从两个方面来论证:一是证明这两个四边形的对应角相等,二是证明它们的对应边的比相等.事实上,这两个四边形是位似图形,运用位似性质亦可证明.
注:本文发表于<中学生数学>2009年第22期. |
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