“三角板”与函数图象为背景的中考试题赏析 三角板是学生学习数学的常用工具,一幅三角板,由于它的边和角的特殊性,蕴含丰富的数学知识,新课程实施以来,以三角板为背景的中考试题倍受命题者的青昧,大量出现在各地的中考试题中,本文拟从2011年中考试题中以三角板与函数图象为背景的试题加以分类赏析,与读者共享。
一、三角板与反比例函数图象的结合
例1:(金华)如图1,将一块直角三角板
⑴当点
⑵设
解析:⑴当点
⑵由图形的对称变换和含30°角的直角三角形的性质易得
感悟:涉及反比例函数的问题,有一个非常实用的基本结论:如图2,从反比例函数
中考链接:
1.(鄂州)如图3:点
2.(孝感) 如图4,点
3.(遵义)如图5,已知双曲线
4.(东营)如图6,直线
答案:由反比例函数的几何意义易知:1,
二、与二次函数(抛物线)的结合
例2:(株洲):孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线
⑴若测得
⑵对同一条抛物线,孔明将三角板绕点
⑶对该抛物线,孔明将三角板绕点
解析:⑴设线段
⑵此问解法较多,现举例如下:
如图8,过点
解法一:证△
解法二:由解直角三角形和抛物线的有关知识可求得点
解法三:利用勾股定理和抛物线的有关知识可求得点
⑶解法一:设
设直线
解法二:设
化简,得
∴
解法三:
由前可知,
例3:(东营):在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点
⑴求点
⑵求抛物线的解析式;
⑶在抛物线上是否还存在点
解析:⑴如图10,过点
⑵将点
⑶假设存在点
①如图10,若以
②如图11,若以
③如图12,若以
评析:例3实际上是由2010北京市密云县的一道中考试题改编而成。
中考链接:(2010密云)如图13,将腰长为
⑴点
⑵抛物线的关系式为 ,其顶点坐标为 ;
⑶将三角板
例4:(绍兴)抛物线
⑴如图14,求点
⑵点
②若含
解析:⑴把
(2)①如图15,过点
先证四边形
∴
②当点
∴
∵
赏析:以上试题,借助三角板和函数基本图形的基本特征出发,体现了以下特点:
1.试题背景突出学科核心主干.把握数学问题的本质
核心主干是数学知识的结构中的“连结点”,在上面的试题中,题目以函数图象为载体,将三角板在函数图象中的不同放置方式作为试题的基本背景,如例1将含
2.试题解法基于数学活动经验,关注学生的学习过程
以上试题的一个基本特点是:基于学生数学活动经验,关注“过程与方法”在获得、应用数学知识的过程中的重要作用。解决以上试题的数学活动经验主要包括2个层次:第一,来源于日常生活经验,如对的“三角板”的直接认识;第二,建立在日常生活经验基础之上的探究活动,如例2将一把含30°角的直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点
3.试题考查注重理性数学思维,体现能力立意命题理念
数学不仅是一种重要的“工具”和“方法”,而是人们学习的一种思维模式。在解决以上试题的过程中,学生要通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想,并在解决问题的过程中进行合情推理,有条理地表达自己的思考过程。如例3以二次函数为载体,设置了一块等腰直角三角板放在直角坐标系第一象限,斜靠在两坐标轴上的情境,要求探索是否还存在一点 2011-08-09 人教网 |
|