巧用平移求面积

巧用平移求面积

湖北省黄石市鹏程中学　陈贵芳

同学们，你会用平移去求图形的面积吗？其实，某些求图形面积的问题，若能想到用平移知识并将部分图形平移后去解，那么你会品尝到方便简捷的滋味！请看几例：

 

例1　图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积为_____cm．

 

　　　　　　　　　　　　　　　

 

解析1：虽然阴影部分是一个梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面积公式去求它的面积很困难．由题意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，所以S＝S，从而S ＝＝S＝(AB+GE)BE＝[8＋（8－3）]×4＝26 cm．

 

解析2：连AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S＝S－S

 

＝CF×AB－×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．

 

例2　如图2，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路（长度单位：m），那么草坪的面积为______ m

 

　　　　　　　　　　　　　　　　

 

解析：将两条小路分别作如图3所示的平移，则草坪的面积就是图3中空白部分（长方形）的面积，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　

 　 

 

例3　如图4所示是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区（空白部分）、②号区（阴影部分）、③号区（图下方的空白部分）三块，拟在①号区种花、②号区建房、③号区植树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，这里∠C和∠G都是直角），求种花部分的面积．

 

　　　　　　　　　　　　　　

 

解析：显然，因①号区是不规则的图形，不易直接求其面积，考虑到四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形，故可将四边形EFGH看成是四边形ABCD沿AB方向平移得到的，所以①号区面积等于③号区面积，而③号区面积等于×（EM+AD）×MD＝×（200－1＋200）×2＝399（m），所以种花部分的面积为399（m）． 

 

例4　如图5，长方形ABCD中，AD＝2AB，EF分别为AD、BC的中点，扇形块P（线段EF左边的阴影部分）和扇形块Q（右边的空白部分）的半径FB、CF的长度都等于acm，求阴影部分的面积．

 

解析1：如图5，由条件，知四边形ABFE和四边形EFCD是两个完全相同的正方形，扇形块P的面积＝扇形块Q的面积．可将扇形块Q沿CB方向平移至扇形块P的位置，知这两个扇形块会完全重合，因①号区域（空白部分）的面积＝②号区域（线段EF右边的阴影部分）的面积，所以阴影部分的面积等于扇形块P的面积+②号区域面积＝扇形块P的面积+①号区域的面积＝正方形ABFE的面积＝FB＝a（cm）．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　

 

解析2：因扇形块P的面积＝扇形块Q的面积，故亦可将②号区域沿DA方向平移至①号区域，显见阴影部分的面积＝正方形ABFE的面积＝a（cm）．