数据结构-排序: 两路归并排序算法

e3399 2012-05-05

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归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。

1、算法基本思路
    　设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量R1(相当于输出堆)中，待合并完成后将R1复制回R[low..high]中。

（1）合并过程
    　合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较R[i]和R[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到R1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。
    　重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到R1中即可。

（2）动态申请R1
    　实现时，R1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。

2、归并算法
void Merge(SeqList R，int low，int m，int high)
    {//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的
     //子文件R[low..high]
     int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值
     RecType *R1； //R1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快
     R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；
     if(! R1) //申请空间失败
       Error("Insufficient memory available!")；
     while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到R1[p]上
       R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；
     while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到R1中
       R1[p++]=R[i++]；
     while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到R1中
       R1[p++]=R[j++]；
     for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)
       R[i]=R1[p]；//归并完成后将结果复制回R[low..high]
    } //Merge

   归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。

1、自底向上的方法
（1）自底向上的基本思想
     自底向上的基本思想是：第1趟归并排序时，将待排序的文件R[1..n]看作是n个长度为1的有序子文件，将这些子文件两两归并，若n为偶数，则得到个长度为2的有序子文件；若n为奇数，则最后一个子文件轮空(不

参与归并)。故本趟归并完成后，前个有序子文件长度为2，但最

后一个子文件长度仍为1；第2趟归并则是将第1趟归并所得到的个有

序的子文件两两归并，如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。
     上述的每次归并操作，均是将两个有序的子文件合并成一个有序的子文件，故称其为"二路归并排序"。类似地有k(k>2)路归并排序。

（2）二路归并排序的全过程 (略)

（3）一趟归并算法
分析：
      在某趟归并中，设各子文件长度为length(最后一个子文件的长度可能小于length)，则归并前R[1..n]中共有个有序的子文件：R

[1..length]，R[length+1..2length]，…，。
注意：
     调用归并操作将相邻的一对子文件进行归并时，必须对子文件的个数可能是奇数、以及最后一个子文件的长度小于length这两种特殊情况进行特殊处理：
　　① 若子文件个数为奇数，则最后一个子文件无须和其它子文件归并(即本趟轮空)；
　　② 若子文件个数为偶数，则要注意最后一对子文件中后一子文件的区间上界是n。

具体算法如下：
    void MergePass(SeqList R，int length)
     { //对R[1..n]做一趟归并排序
      int i；
      for(i=1;i+2*length-1<=n;i=i+2*length)
      Merge(R，i，i+length-1，i+2*length-1)；
           //归并长度为length的两个相邻子文件
      if(i+length-1<n) //尚有两个子文件，其中后一个长度小于length
         Merge(R，i，i+length-1，n)； //归并最后两个子文件
      //注意：若i≤n且i+length-1≥n时，则剩余一个子文件轮空，无须归并
     } //MergePass

（4）二路归并排序算法
void MergeSort(SeqList R)
   {//采用自底向上的方法，对R[1..n]进行二路归并排序
     int length；
     for(1ength=1；length<n；length*=2) //做趟归并

        MergePass(R，length)； //有序段长度≥n时终止
   }

注意：
     自底向上的归并排序算法虽然效率较高，但可读性较差。

2、自顶向下的方法
     采用分治法进行自顶向下的算法设计，形式更为简洁。

（1）分治法的三个步骤
     设归并排序的当前区间是R[low..high]，分治法的三个步骤是：
①分解：将当前区间一分为二，即求分裂点

②求解：递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序；
③组合：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。
递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。

（2）具体算法
    void MergeSortDC(SeqList R，int low，int high)
     {//用分治法对R[low..high]进行二路归并排序
       int mid；
       if(low<high){//区间长度大于1
          mid=(low+high)/2； //分解
          MergeSortDC(R，low，mid); //递归地对R[low..mid]排序
          MergeSortDC(R，mid+1，high)； //递归地对R[mid+1..high]排序
          Merge(R，low，mid，high)； //组合，将两个有序区归并为一个有序区
        }
     }//MergeSortDC

（3）算法MergeSortDC的执行过程 (略)
     算法MergeSortDC的执行过程如下图所示归树。
二、算法分析

1、稳定性
     　归并排序是一种稳定的排序。

2、存储结构要求
    　可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。

3、时间复杂度
    　对长度为n的文件，需进行趟二路归并，每趟归并的时间为O(n)，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlgn)。

4、空间复杂度
   　需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，故其辅助空间复杂度为O(n)，显然它不是就地排序。
注意：
    　若用单链表做存储结构，很容易给出就地的归并排序