在《几何画板》中利用图形迭代可生成一些分形图。下面列举几种有名的分形图的前几个阶段生成的图形供读者欣赏。
(1)康托尔三分集
1883年，德国著名数学家康托尔(G．Cantor)构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到一个离散的点集F，称为康托尔三分集(图7—1—8)。
图7—1—8康托尔集的前4级
图7—1—2科赫雪花曲线
(2)科赫曲线
这是1904年，由瑞典数学家H．科赫构造出的被称为“数学怪物”的著名曲线(图7—1—2)。它被用作晶莹剔透的雪花模型。
(3)谢尔宾斯基三角形“垫片”
1915～1916年，波兰数学家W．谢尔宾斯基(Sierpinski)构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形“垫片”(图7—1—9)。它被用作超导现象和非晶态物质的模型。
图7一l一9谢尔宾斯基三角形垫片
(4)谢尔宾斯基“地毯”
将类似的操作，施以正方形区域(这里是将正方形分成9等分)。所得的图形称为谢尔宾斯基“地毯”(图7—1—10)。
图7—1—10谢尔宾斯基地毯
(5)门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔
奥地利数学家K．门杰(K．Menger)从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰“海绵”(1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵)；用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔(图7—1—11)。这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗。这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型。
图7 1_11 门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔
(6)皮亚诺曲线(I)
1890年，意大利数学家皮G．皮亚诺(G．Peano)构造了著名的皮亚诺曲线(图7—1—12)。将一条线段三等分，以中间一段为边向线段两旁各作一正方形，如此继续作下去，以至无穷，便是皮亚诺曲线，这条曲线最终能填满整个正方形区域。
图7—1—12皮亚诺曲线(工)
(7)皮亚诺曲线(Ⅱ)
取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来，再把每个小正方形又分成4个相等的正方形，则有 个正方形，同样把它们连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线(图7—1—13)。同样，这条皮亚诺曲线，也会填满“整个起始的正方形区域”。
图7—1—13皮亚诺曲线(Ⅱ)
(8)其他分形图形
用《几何画板》还可制作出许多的分形图形，下面列出几幅供读者欣赏(图7—1—14、图7—1—15)。
图7—1—14春风杨柳
图7—1—15嫩芽初放
分形几何还可被带人中学课堂，用《几何画板》生成分形图形，可以看到：①动态的生成过程；②作图速度快，且图形准确；③可以将各级图形加以比较。让学生体会到：科学家研究问题的方法并不神秘，只是他站得更高，看得更远。
