关于角平分线定理

      在《圆的一个有趣性质》一文里，用到了角分线定理，并且还用到了角平分线定理的一个推广。在这里有必要介绍这个著名的角平分线定理，并且将对其推广做一个介绍。
      一：角平分线定理
      
     三角形ABC中，AD为角A角平分线，交对边BC与D，则下面的恒等式成立
     
     换句话说，在三角形中，一角的角平分线将对边所分成的两部分和两两邻边成比例。这个定理的逆定理也是成立的，从三角形一顶点发出的一直线，将对边所内分成的两部分和邻边称比例，则此线是顶角的平分线。
     定理与其逆定理，就是角平分线定理的全部。对于其逆定理的证明也是有些意思的：因为三角形是一定的，所以BC边是定的，在BC边上只可能找出一点，使得这点将BC内分成的两部分的比例等于已知值。所以一旦BD/DC固定，那么D点就固定，而定理显示，角平分线的D点满足要求，所以这一点就是∠A的平分线足。由此证明AD就是其角平分线。
     如果各位对角平分线定理的证明都还不太明白的话，建议参考百度。下面我们来介绍角平分线定理的一个推广
     二：外角平分线定理
     注意我们角平分线定理中加红的两个字——“内分”，也就是说D点在BC内部，现在的情况你将看到：
     在三角形中，一角的外角平分线将对边所分成的两部分也和两邻边成比例
     
     如图，AE为三角形BAC角A的外角平分线，交BC得延长线与点E ，则下面的式子成立
     
     至于这个定理的证明方法，给大家一个提示，就是过C点做AE的平行线交AB于F，利用平行关系得出比例关系，然后利用ACF是一个等腰三角形，进行等量替换即可。
     运用相同的办法可以证明其逆定理也成立：
     若从三角形顶点发出的一直线，将对边所外分成的两部分和两邻边成比例，则此线是顶角的外角平分线。
     这就是推广后的角平分线定理，也将我们的实现扩大到了外分线段，而不仅仅局限于内分。这个定理非常有用的，不管是计算还是证明，比如我们在就利用他证明出了圆的一个有趣性质：《圆的一个类似于圆锥曲线的性质》。