彰显智趣,用数学本身的魅力吸引学生 ——以教学《倍数和因数》为例 吴汝萍 【教学现场】 一、有效引入,界定范围 师:今天我们要在这里上一节数学课,我站在大家面前,我们之间便建立了一种什么关系? 生:师生关系。 师:在家里,爸爸和妈妈之间是什么关系? 生:夫妻关系。 师:爸爸和妈妈之间,谁是谁的谁? 生:爸爸是妈妈的丈夫,妈妈是爸爸的妻子。 师:是的,人与人之间存在着这样或那样的的关系,数与数之间也存在着这样或那样的关系。这一节课,我们来认识两数之间的一种关系,也就是—— 生:倍数和因数 师:我们已经认识了很多的数,像二分之一、三分之一这些数是什么数? 生:分数。 师:像0.1、0.2、0.5这些数是什么数? 生:小数。 师:分数、小数都是人类创造出来的数,像1、2、3、4、5等等都是自然界中原来就存在的数,叫什么数? 生:自然数。 师:今天我们要研究的倍数和因数就是两个非0自然数之间的一种关系。 【说明】引入简洁有趣。先让学生借助关键句式——“谁是谁的谁”来说清楚人与人之间的某些关系,为后面理解、描述数与数之间的关系埋下伏笔。接着让学生回忆学过的数,界定倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。如此引入,学生的注意力一下子就指向两个非零自然数之间的关系,课伊始,趣已生。 二、认识倍数和因数 出示:3和12。 师:想一想,这两个自然数之间存在着怎样的倍数关系? 生:12是3的倍数。 生:3的4倍是12。 师:能用一道乘法算式来表示3和12之间的倍数关系吗? 生:3×4=12。 师:3的4倍是12,4也是非零自然数,也就是3和12之间存在着整倍数关系。请大家凭感觉猜想一下,谁是谁的倍数?谁是谁的因数? 生:12是3的倍数,3是12的因数。 师:感觉真好,与数学家想到一块去了。 3和12存在着整倍数关系,数学家就这样规定了它们之间的关系:12是3的倍数,3是12的因数。 师:现在,请大家在头脑中任意想出两个非零自然数,它们之间正好也存在着整倍数关系,然后相互说说这两个自然数之间“谁是谁的谁”? 出示:0.1、1、6、9、18 师:这里有5个数,哪些是自然数?哪两个自然数之间存在整倍数关系?找出其中的2个说一说,“谁是谁的谁”? 交流后讨论:能否说6是因数,18是倍数?能否说1是0.1的倍数?0.1是1的因数? 师: 4和12之间存在着整倍数关系吗?4和12之间,谁是谁的谁? 生:12是4的倍数,4是12的因数。 师:根据3×4=12可以断定,12是3的——倍数,12也是4的——倍数;3是12的——因数,4也是12的——因数。 让学生根据3×4=12这道算式,把这3、4、12这几个数之间的关系说清楚。 出示:11×4=44 让学生说一说每道算式中,谁是谁的谁? 师:如果用a、b、c表示三个非0自然数,而且a×b=c,那么,a、b、c之间谁是谁的谁?能分得清楚吗?谁来说说看? 生:c是a的倍数,c也是b的倍数,a是c的因数,b也是c的因数。 【说明】直接让学生从熟知的两个自然数的整倍数关系入手,让学生凭感觉猜想出3和12之间“谁是谁的谁”,学生通过有意义的建构,初步感知了倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。然后,让学生任意想两个存在着整倍数关系的非零自然数,说出“谁是谁的谁”,再让学生说说“1、6、9、18、0.1”这5个数中 “谁是谁的谁”,学生进一步明白倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。最后让学生说乘、除法算式中数与数的关系,为后面借助乘法算式找一个数的倍数和因数打下了坚实的基础。每个环节,学生学得明白,学得轻松。 三、学习找一个数的倍数 师:12是3的倍数,想一想,3的倍数是不是就12这一个数? 生:不是,有很多。 师: 你想到了哪个数也是3的倍数?能按从小到大的顺序把3的倍数写出来吗? 学生在练习本上写3的倍数。 师:你能把3的倍数一个一个全部都写出来吗? 生:不能。 师:为什么呢? 生:非零自然数的个数有无数个,每个非零自然数和3乘都是3的倍数,所以3的倍数也有无数个,写不完。 师:能不能借助一个标点符号来帮忙,将3的倍数都表示出来呢? 生:省略号! 师:好方法,请写出前面的几个后,在后面点上省略号。 师:3的倍数有哪些?谁能按一定顺序说一说? 生:3的倍数有3、6、9、12、15、18…… 师;有不一样的写法吗? 生:3的倍数有6、9、12、15、18、21…… 师:他们写的有什么不一样? 生:一个是从6开始写的,一个是从3开始写的。 师:哪种写法是把3的倍数都表示出来了? 生:从3开始写的。 师:好,千金难买回头看,我们回头思考一下,刚刚大家是怎么找到3的所有倍数的? 生:想3的乘法。【出示:3×( 师:只要前面的这个括号里填的都是非零自然数,这样算出的积就都是3的——倍数。前面这个括号里最小填几? 生:最小填1,3×1=3。 师:后面依次是—— 生:3×2=6,3×3=9…… 师:3的倍数有无数个,写出前面的几个后,后面添上—— 生:省略号。 让学生找出2的倍数和5的倍数。 师:观察这几个数的倍数,有没有发现一个数的倍数有什么特点? 学生讨论得出:一个数最小的倍数是它的本身,没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。 【说明】先让学生找3的倍数,在写的过程中,学生发现3的倍数有很多个,根本写不完,自然想到了请省略号帮忙,突出了数学简洁性的魅力。在找出3的倍数后,教师注意引导学生比较、回头看,有效培养了学生思维的缜密性和有序性。在学生写出2的倍数和5的倍数后,通过比较3、2、5这几个数的倍数,引导学生发现并概括一个数的倍数的特点,有效培养了学生的观察能力和概括能力。 四、学习找一个数的因数 师:根据3×4=12,我们知道3和4都是12的因数。想一想,还有谁也是12的因数? 生:2和6。 师:怎么一下子就想到了2个数? 生:因为2×6=12。 生:想积是12的乘法算式。【出示:( 师:两个自然数的积是12的乘法算式,有哪些? 让学生在本子上写后按一定的顺序汇报。 师:找到3×4=12后,为什么不继续找了? 生:后面的与前面的重复了,不用找了。 师:12的因数有哪几个?说说看。 生:1、12、2、6、3、4。 师:这样写出12是所有因数后,后面用什么标点符号?为什么? 生:后面没有了,要用句号。 师:这样一对一对找出写出12的因数感觉怎么样? 生:很方便。 生: 有点乱。 师:是的,虽然方便,但看上去,忽大忽小,有点乱,不太美观。数学总是是追求完美的,所以一般情况下,是按从小到大的顺序写出一个数的所有因数。你能按从小到大的顺序说出12的所有因数吗?从小到大,正好是怎样的顺序,用手势比划一下。 学生比划,屏幕出示箭头指向图: 生:12的因数有:1、2、3、4、6、12。 师:按照这样的方法,你能找出36的所有因数吗? 学生找后,全班交流。 师:36的因数有几组?是几个? 生:有5组,是10个。 生:是9个。 师:每组2个数,5组应该10个呀,怎么是9个? 生:6和6重复了,只能算一个。 师:有道理。能按从小到大的顺序说出36的所有因数吗? 生:36的因数有:1、2、3、4、6、9、12、18、36。 学生练习找15、16各数的因数。 师:观察这几个数的因数,有没有发现一个数的因数有什么特别之处? 学生讨论得出:一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。 师:既然一个数的因数的个数是有限的,想一想,在100以内的自然数中,哪个数的因数个数最少呢? 生:1!1的因数只有1。 师:看到这个问题,你们还能联想到什么问题? 生:在100以内的自然数中,哪个数的因数个数最多呢? 师:很好,看到一个问题,能联想到另一个问题,这也是一种能力。大家猜想一下,在100以内的自然数中,哪个数的因数个数最多呢? 学生一致认为是100,教师让学生找出100的因数,发现100的因数和36的因数一样,也只有9个,并不是最多的。 师:100以内的自然数中,到底哪个数的因数最多呢?这个数留给大家回家后去找,有信心找到吗?(生表示肯定)找到后,到班上交流,先看找的对不对,再看因数最多的那个自然数在生活中的什么地方发挥了独特的作用。 【说明】找一个数的因数是学习的难点,先让学生紧扣乘法算式,一组一组找出12的所有因数,进而引导学生找到按从小到大的顺序写出12的所有因数的方法,然后练习找36的因数,这样由易到难且方法巧妙,学生找得轻松,找得明白,找的欢快。再通过比较几个数的因数,学生发现了一个数的因数的特点。最后让学生找100以内的自然数中哪个数因数个数最少,哪个数的因数个数最多,有效激发了学生的探究欲望。 五、课外拓展,认识完美数 师:数学中有一种数叫完美数,完美数就和因数有关。先看6的因数,6的因数有:1、2、3、6 。数学家规定,把小于这个数的因数叫真因数,1、2、3都比6小,它们都是6的——真因数。猜猜看,等于这个数本身的因数,叫什么因数? 生:假因数。 师:恭喜,又和数学家想到一块去了!数学家规定,如果把一个数的所有真因数加起来,结果不多不少,正好等于假因素,那这个数就是完美数。把6的三个真因数加起来,看看得数是多少? 生:1+2+3=6。 师:说明6就是一个——完美数!4是不是完美数呢? 学生找出4的因数:1、2、4,并判断:1+2≠4,4不是完美数。 师:6是2500多年前,古希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的第一个完美数。在西方传说上帝创造世界用了6天,所以把完美数也叫做“上帝之数”。我们中国人常说——六六大顺,说明我们中国人也特别喜欢这个完美之数。班上学号是6的同学是谁? 学号是6的同学起立,大家把掌声送给了6号。 师:你的运气真好,祝贺你的学号是一个完美数,希望你能成为一个完美的学生,将来成为一个完美之人。(学号是6的同学非常开心。) 师:大家想不想知道自己的学号是不是一个完美数呢?(生点头表示想)那就赶紧验证一下吧。 学生验证后交流,大部分学生说自己的学号不是一个完美数,只有学号是28的学生,激动地说自己的学号是完美数。其他学生怀疑,于是一起验证,发现28的确是个完美数。 师:第一个完美数是6,第二个完美数是28。看第三个完美数是——496。如果把完美数的所有因数,都变成几分之一这样的分数,然后把这些分数加起来,猜猜看,结果是多少? 学生一一猜后,屏幕上一一出示结果,学生惊诧不已。 师:你觉得完美数怎么样? 生:太神奇了。 师:是的,完美数非常神奇,所以,从古到今很多数学家都在寻在完美数、研究完美数,已经发现了完美数很多神奇的地方。当然,完美数一定还有更多神奇的地方,等着更多的数学家去研究、去发现。 师:我们有没有成为数学家的天分呢?现在我们先来预测一下,看自己有没有当数学家的天分。请根据前三个完美数,猜测一下第四个完美数是几位数,个位是几?如果能猜对,你就有当数学家的天分。 学生一致猜出:第四个完美数是四位数,个位是8。 屏幕出示第4个完美数是8128。学生一看结果和自己猜的一摸一样,激动得手舞足蹈。 师:看来大家真有当数学家的天分!在1到10000这一万个自然数中,完美数也就只有这4个。你们认为完美数很多,还是很稀少? 生:很稀少。 师:对,非常稀少。相对于浩如烟海的自然数来说,完美数真的是沧海一粟。到目前为止,数学家们只找到了46个完美数。说不定能够发现第47个、第48个或者更多完美数的数学家就是我们班上的某个同学,那对数学研究的贡献可就大了,一定会名留青史。 很多学生表示,课后就去研究完美数。 师:数学家都喜欢从小问题开始研究。课中,我留给了大家一个小问题,还记得是什么问题吗? 生:100以内的自然数中,哪个数的因数个数最多? 师:我相信,大家课后一定能把这个小问题先研究出来。 【说明】最后向学生介绍的神奇而稀少的完美数,学生如同享受了一顿智趣数学大餐。学生认识、验证完美数,既是巩固练习的过程,也是探究未知的过程。学生在猜测的过程中见证了完美数的神奇之处,彰显了智趣。尤其是学生猜出了第四个完美数是四位数、个位是8,教师说:“看来大家真有当数学家的天分!”学生可谓情趣高涨,智趣飞扬,信心倍增,探究愿望也更强烈。下课后,不少学生围着教师交流,迟迟不愿离去。可谓:课虽尽,趣犹浓。 【教学阐述】 一、数学合情合理 数学知识的产生与形成过程本身就是一个自然的、合情合理的发展过程,数学教学中,尤其是引入新的知识或思想方法时,如果能让学生感觉数学是合情合理的,学生对数学就会有亲切感,感觉自己学习新的数学知识是有“根基”的,有能力把数学学好,对数学会产生良好的情感与态度。 倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系,学生对“倍数”这个概念是有点感觉的,因为学生在二年级就认识了两个数量间之间的倍数关系,会解决“求一个数的几倍是多少”或“求一个数是另一个数的几倍”这样的实际问题。所以,教学时,直接出示“3”和“12”这两个自然数,让学生说说它们之间的倍数关系,学生明确这两个非零自然数正好存在是整倍数关系后,让学生凭感觉猜想:谁是谁的倍数?谁是谁的因数?大部分的学生都认为12是3的倍数,3是12的因数。这样引入,倍数和因数的概念不再是老师硬塞进学生头脑中的,而是自己从学生的头脑中跳出来的,学生对倍数和因数这两个数学概念的心理接纳程度就高,就能有效理解倍数和因数之间的依存关系,而且,在后面探究找一个数的倍数和因数时,也能保持一定的主动性。 二、数学有型有序 “数学是模式的科学。”数学的模式可谓数学外在的“型”。学习数学,如果能让学生理解并建构起相应的数学模型,数学就不会“神龙见首不见尾”,而是有模有样,理解掌握起来一点不困难。如,怎么找到一个数的倍数?学生找出3的倍数后,意识到3与任何非零自然数的积,都是3的倍数,即3×( “数学是锻炼思维的体操。”数学的思维可谓数学内在的序。学习数学的魅力,在于有效提升数学思维能力,使思维变得严谨、变得有序。如,找一个数的倍数或因数时,学生开始的思维是无序的,教学过程,就是让学生经历从无序到有序的过程,从而提升学生有序思考的能力。如找3的倍数,用3依次与非零自然数1、2、3……相乘,就能找到3这个数所有的倍数。找12的因数时,学生按顺序思考并写出积是12的几组数据后,让学生观察这几组数据,找到因数从小到大的顺序正好是“ U” 字型。如此,学生学会了有序思考,能按从小到大的顺序将一个数的倍数或因数不重复、不遗漏,全部写出来。学生学得轻松、快乐。 三、数学多姿多彩 数学世界是多姿多彩、增智增趣的。学生认为数学单调乏味、枯燥难学,是因为教师让学生品尝到的数学多是乏味枯燥的。数学课堂,应该将学生带进数学智趣大花园中,将多姿多彩的数学展示在学生面前,让学生品尝到智趣数学大餐。 兴趣是最好的老师,学生是待点燃的火炬。好的数学教学,就是充分利用数学自身的魅力,点燃学生学习数学的热情,让学生永葆好奇心和求知欲,让学生透过枯燥,感受到数学多姿多彩的迷人魅力,从而对数学产生积极的情感,增强探究数学知识的持久兴趣。 |
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