四边形及相似形

 四边形及相似形

 

二. 重点、难点

（一）四边形

  1. 多边形

    在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

    多边形的性质：

    （1）n边形的内角和等于；

    （2）任意多边形的外角和等于360°；

    ※（3）n边形的对角线的条数等于。

  2. 四边形的分类

   

  3. 平行四边形

    两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

    平行四边形的性质：

    （1）两组对边分别平行且相等；

    （2）两组对角分别相等；

    （3）两条对角线互相平分；

    （4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

    平行四边形的判定：

    （1）根据平行四边形的定义判定；

    （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

    （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

    （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

    （5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

  4. 矩形

    有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

    矩形的性质：

    （1）具有平行四边形的所有性质；

    （2）四个角都是直角；

    （3）两条对角线相等；

    （4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它有两条对称轴，即过每组对边中点的直线。

    矩形的判定：

    （1）根据矩形的定义判定；

    （2）有三个角是直角的四边形是矩形；

    （3）两条对角线相等的平行四边形是矩形。

  5. 菱形

    有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

    菱形的性质：

    （1）具有平行四边形的所有性质；

    （2）四条边都相等；

    （3）两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；

    （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线。

    菱形的判定：

    （1）根据菱形的定义判定；

    （2）四条边都相等的四边形是菱形；

    （3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

  6. 正方形

    有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

    正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴。

    正方形的判定：

    （1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

    （2）有一个角是直角的菱形是正方形。

  7. 梯形及等腰梯形

    一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底、较长的底叫做下底），不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高。

    连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

    梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

    等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

    等腰梯形的性质：

    （1）同一底上的两角相等；

    （2）两条对角线相等。

    等腰梯形的判定：

    （1）依据等腰梯形的定义判定；

    （2）同一底上两角相等的梯形是等腰梯形。

    ※（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

  8. 中心对称与中心对称图形

    把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。两个图形关于点对称也称中心对称。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

    把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

    中心对称的性质：

    （1）关于中心对称的两个图形是全等形；

    （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；

    由中心对称的性质可以认识中心对称图形的性质。

  9. 平行线等分线段定理及其推论。

    平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

    推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

    推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

  10. 简单平面图形的面积

    （1）三角形的面积公式

    三角形的面积等于它的底与高的积的一半。

    等底等高的两个三角形等积；等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比；等底的两个三角形的面积比等于相应高的比。

    （2）平行四边形的面积等于一边与这边上的高的积。

    （3）矩形的面积等于两条邻边的乘积。

    （4）菱形的面积等于一边与这边上的高的积，也等于两条对角线乘积的一半。

    （5）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半。

    （6）梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半；或等于梯形中位线与高的积。

    （7）多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和。

  11. 几何作图

    （1）作一图形关于某一点的对称图形；

    （2）任意等分已知线段；

    （3）依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形。

 

（二）相似形

    比例线段：

  1. 成比例线段

    用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比。

    如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a、b、c、d叫做成比例线段，记作，其中叫做比的前项，b、d叫做比的后项，b、c叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项。

    若，则称b是a、c的比例中项。

 

  2. 比例的性质

    成比例的数具有下面的性质：

    （1）基本性质：；

    （2）反比性质：；

    （3）更比性质：；

    （4）合比性质：；

    （5）等比性质：，k为正整数，且，。

  3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

    推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

  4. 平行线分线段成比例定理推论的逆定理：如果一条直线截三角线两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角线的第三边。

  5. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

 

    相似三角形：

  1. 相似三角形

    对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比。

  2. 三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）

    （1）平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

    （2）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即“两角对应相等，两三角形相似”。

    （3）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。

    （4）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。即“三边对应成比例，两三角形相似”。

    对于直角三角形相似，还有如下判定定理：

    （5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

    （6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

  3. 相似三角形的性质

    （1）相似三角形的对应角相等；

    （2）相似三角形的对应边成比例；

    （3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；

    （4）相似三角形的周长比等于相似比；

    ※（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方。（注：新教材删去）

  4. 直角三角形中的成比例线段

    在则

    （1）；

    （2）；（注：用时要证明。）

    （3）；（注：用时要证明。）

    （4）

  ※5. 相似多边形（注：“人教社”新教材删去。）

    如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的对应边的比叫做相似比。

    相似多边形的性质：

    （1）相似多边形的对应角相等；

    （2）相似多边形的对应边成比例；

    （3）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；

    （4）相似多边形周长的比等于相似比；

    （5）相似多边形面积的比等于相似比的平方；

    （6）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比。

 

【典型例题】

  例1. 如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，且BE=DF，EF交AC于点O。求证：AC、EF互相平分于O点。

    分析：若连结AE、CF，只要证四边形AECF是平行四边形

    即证：。

    而它可由推出。

 

  例2. 如图所示，在△ABC中，，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，。

    （1）求证：四边形DECF是平行四边形；

    （2）若，四边形EBFD的周长为22，求DE的长。

    分析：（1）由已知，不难得出，因此，关键是证，只要证出ED垂直平分AC于D，便可推出，从而有。就可根据平行四边形的定义证四边形ECFD是平行四边形。

    （2）可推出四边形EBFD为等腰梯形。

    因为

    所以可设

    可推出

    有

    解得：

 

  例3. 如图所示，矩形ABCD中，，P是AD上的动点，，，试问的值是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由。

    解：的值为定值

   

 

  例4. 如图所示，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE。求证：

    （1）；

    （2）四边形CDEF为平行四边形。

    证明：（1）∵△ABC为等边三角形

   

    （2）

   

    ∵△AED为等边三角形

   

    ∴四边形CDEF为平行四边形。

 

  例5. 如图所示，已知菱形ABCD中，对角线，边长，BC边上的高，菱形面积=S，若，求a，h及。

    略解：

   

    在Rt△AOB中，AO=5，BO=12

    由勾股定理可得：AB=13，即a=13

   

    说明：此例强调了菱形的两个面积公式的互相转化，强调了菱形中的线段与角之间的内在联系。

 

  例6. 如图所示，在矩形纸片ABCD的AB边上取一点E，使BE：EA=5：3，，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD上，设这个点为F，求AB、BC的长。

    解：由已知，，可得

   

    设

   

   

   

    在

   

 

  例7. 如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7cm，对角线，，求梯形的面积。

    分析：欲求此梯形的面积，只要求它的高。

    作交CD延长线于K。

    由已知可得，

    则，而

   

    说明：在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法。已知梯形对角线垂直时，常过梯形一顶点平移一条对角线。

 

  例8. 如图1所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O

图1

    （1）在AC上取一点E，作于G，交BD于F，求证：；

    （2）若在AC的延长线上取一点E，作直线BE于G，交DB延长线于F（如图2所示），这时结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请作图并给出证明，如果不成立，请说明理由。

图2

    分析：（1）欲证OE=OF，只要证。

    因为四边形ABCD为正方形

    所以

    由此可证出

    可得。

    （2）若E点在AC的延长线上，这个结论仍能成立。也可由证出。

 

  例9. 已知：，求。

    解：由已知

    再由等比性质得

    即

 

  例10. 已知：的值。

    解：设，则

   

    解得：

   

 

  例11. 如图所示，BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，求GH的长。

    解：∵BD、CE分别是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点

   

    想一想：如图所示，若连结ED，如何求GH？

 

  例12. 如图所示，△ABC中，AD是角平分线，求证：。

    分析：为了构造平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，可视C点为△ABD的BD边延长线上一点。作CE//AB，交AD延长线于E，则，。

    又

    ，得，推出。

    说明：此题介绍了三角形内角平分线的一个性质，即“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。”

 

  例13. 如图所示，△ABC中，BD是角平分线，DE//AB，AB=5，BE=3，求BC的值。

    解：

   

   

 

  例14. 如图所示，在△ABC中，，E为AC边中点，ED、AB的延长线交于点F。求证：

    （1）AB：AC=BD：AD；

    （2）；

    （3）。

    分析：（1）由

    （2）因是△FAD和△FDB的公共角，欲证，只要证。这可由中，、E是AC的中点推出，即

   

    （3）由（2）中的，得

    由（1）中的，可推出。

    说明：对于待证的四条成比例线段，首先要看它们所在的两个三角形能否相似，如果不能相似，需通过“中间比”进行等量代换。

    利用两组角对应相等，是证明两个三角形相似首选的基本方法。

 

  例15. 如图所示，已知中，AB=AC，AD是BC边上的中线，，BF交AD于P，交AC于E点

    求证：。

    分析：为了把共线的三条线段BP、PE、PF转化为不共线的，可利用等腰三角形是轴对称图形这一性质。

    连结PC，因为AD是等腰△ABC底边上的中线，所以它也垂直平分BC，可推出PC=PB、。

    由CF//BA，又可得到

    所以，而

    立即推出

    从而，即

 

  例16. 如图所示，△ABC中，，求证：。

    分析：欲证，只要证。

    而是这两个三角形的公共角，只需证。

    在中，

    则。

   

    同理可证：

    可得

    即，从而问题解决。

 

  例17. 如图所示，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E。探究：

    ①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；

    ②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？

    解：可分成三种情形分别作答：

    （1）如图1所示，若另一条直角边与AD交于点E，则。

图1

    证明：

   

    当点P位于CD的中点时，如图2所示，则。

图2

    又

    ∴△PDE与△BCP的周长比是1：2。

    （2）如图3所示，若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证或。

图3

    当点P位于CD的中点时，如图4所示，△PCE与△BCP的周长比是1：2；

图4

    由于，因此△BPE与△BCP的周长比是。

    （3）如图5所示，若另一条直角边与BA的延长线交于E点，同理可证：。

图5

    当点P位于CD的中点时，如图6所示，由于，因此△EPB与△BCP的周长比为。

图6

    说明：根据需要对研究对象进行分类，然后对划分的每一类分别求解，综合后即得问题的答案。在复习中要充分重视“分类讨论”这一数学思想方法的运用。解答问题时，要考虑到可能出现的各种情况。为此，请想一想下面这个问题应怎么解？

    已知：矩形ABCD中，M是BC的三等分点，若，求D点到AM的距离。

 

【模拟试题】（答题时间：80分钟）

［自我检测1］

填空题：

  1. 两条对角线互相平分的四边形是____________________；

  2. 两条对角线_________________的四边形是菱形；

  3. 两条对角线_________________的四边形是矩形；

  4. 两条对角线_________________的四边形是正方形；

  5. 顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是_________________；

  6. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是_____________；

  7. 顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是_________________；

  8. 四边形四个内角的比是1：2：3：4，那么这四个角的度数分别是___________；

  9. 一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是______________；

  10. 平行四边形两邻边长分别为6cm和8cm，夹角为60°，它的面积为_________；

  11. 一个平行四边形被分成面积为的四个小平行四边形（如图所示），当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，与的大小关系为_____；

  12. 如图所示，△ABC中有菱形AMPN，如果，则____________。

  13. 矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所交锐角的度数为_________；

 

［自我检测2］

  1. 判断题

    （1）有一个锐角相等的两个Rt△相似。（    ）

    （2）有一个角相等的两个等腰三角形相似。（    ）

    （3）顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似。（    ）

    （4）一个等腰三角形的两边和另一个等腰三角形的两边成比例，则这两个三角形相似。（    ）

    （5）两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相似。（    ）

    （6）斜边和一条直角边分别是2和的与斜边和一条直角边长分别是和的相似。（    ）

 

  2. 填空题

    （1）如图所示，已知，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是_____________________。

    ※（2）在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点。以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图所示的5×5的方格纸中，作以A、B、C为顶点的格点三角形和△OAB相似（相似比不能为1），则C点的坐标是________________。

    ※（3）如图所示，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，若在此网格内画出一个与△ABC相似且面积最大的三角形，则的面积是___________。

    （4）如图所示，△ABC中，若AB=AC，BD平分，则AD=______=_______，__________，___________。当AC=10时，BC=__________。

    （5）如图所示，△ABC中，则∽_______∽______，AD：_______=________：BC，_________，AD·DC=________，____________，AC·BD=___________。若AD=5，BC=6，则CD=_______。

    （6）已知：如图所示，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则图中有_________对相似三角形。

  3. 如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F。求证：BC·CD=CF·AE。

  4. 如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，DEFG是△ABC的内接正方形。求证：EF²=AE·FB。

  5. 如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F。求证：AE：ED=2AF：FB。

  6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F。求证：CD²=DE·DF。

  7. 如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE。F为AE上一点，且∠BFE=∠C。

    （1）求证：△ABF∽△EAD；

    （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；

    （3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长。（计算结果可含根号）

  8. 如图所示，延长正方形ABCD的AB边至E，连结EC、DE，DE交BC于F，FM//BE交EC于M，求证：FB=FM。

  9. 正方形ABCD中，边长AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足。

    （1）求证：△ABE∽△DFA；

    （2）求△DFA的面积S₁和四边形CDFE的面积S₂。

  10. 如图所示，菱形ABCD中，E、M分别是AB、CD边的中点，F是BC上一点，且BF：FC=1：3。

    （1）求EF：AM；

    （2）若菱形ABCD的面积为S，求△EBF的面积。

【试题答案】

［自我检测1］

填空题

  1. 平行四边形

  2. 互相垂直平分

  3. 互相平分且相等

  4. 互相垂直平分且相等

  5. 平行四边形

  6. 矩形

  7. 菱形

  8. 36°、72°、108°、144°

  9. 十                               10.

  11.

  12.                                    13. 80°

 

［自我检测2］

  1. 判断题

    （1）√         （2）×         （3）√         （4）×         （5）×         （6）√

  2. 填空题

    （1）或或；

    （2）（4，4）或（5，2）

    （3）的面积是5（平方单位）；

    （4）BD、BC，△BCD，DC·AC，；

    （5）△BDC、△ABC，AB、DB，AD·AC，BD²，BC²，AB·BC，4；

    （6）4对。

  3. 提示：由

    得，而可推出

  4. 提示：由

    得，即

    而，可得。

  5. 提示：过D点作DK//BA，交EC于K

  6. 提示：证

  7. （1）略；

    （2）；

    （3）

  8. 提示：由已知可得，推出

  9. （1）略；

    （2）（平方单位），（平方单位）

  10. 提示：（1）先证

    得；

    （2）。