概率与统计

概率与统计

 

二. 本周教学重、难点：

1. 了解等可能事件的概率，互斥事件的意义，独立事件的意义，会用互斥事件的加法公式，相互独立事件乘法公式计算一些事件的概率。

2. 了解离散型随机变量的意义，会求离散型随机变量的分布列，期望，方差。

 

【典型例题】

[例1] 甲、乙两人进行射击游戏，规则如下：若某人射击一次击中目标，则此人继续射击下一次；若未射中目标，则由另一个接替下一次射击。已知甲、乙两人射击一次击中目标的概率均为，且每一次击中目标与否彼此独立。假设由甲开始第一次射击。

（1）求第四次射击由甲进行的概率；

（2）甲、乙两人谁在第四次射击的可能性较大？并说明理由。

解：（1）前三次射击中，符合题意的“中”与“不中”的可能情况有四种：

∴ 第四次射击由甲进行的概率为

（2）“第四次射击由甲进行”与“第四次射击由乙进行”是对立事件

∴ 第四次射击由乙进行的概率为

∴ 第四次射击由乙进行的可能性更大

 

[例2] 某组过关游戏有3道问答题，规定：答对一道得10分，答错一道得-10分，总得分非负即可过关，小王每题能答对的概率均为0.6，且各题之间答对与否互相没有影响

(1)求小王回答3道题的总得分的概率分布和数学期望

(2)小王能过关的概率有多大

解：（1）的可能取值为

所以的概率分布为

所以数学期望（分）

（2）小王能过关的概率为

 

[例3] 把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字。P从A点出发，按照正四面体底面上的数字前进几个分点，转一周之前连续投掷。

（1）求点P恰好返回A点的概率；

（2）在点P转一周恰能返回A点的所有结果中，用随机变量表示点P能返回A点的投掷次数，求的分布列和期望。

解：（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为，则：

① 若投掷一次就能返回A点，则底面数字应为4，此时概率

② 若投掷两次能返回A点，则底面数字依次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为

③ 若投掷三次能返回A点，则底面数字依次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，其概率为

④ 若投掷四次能返回A点，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为

故恰能返回A点的概率为

（2）能返回A点的所有结果共有（1）中所列8种，则：

，，，

其分布列为：

所以，期望（次）

 

[例4] 某商场进行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获奖金10元，摸出两个红球可获奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定甲摸一次，乙摸两次，表示甲、乙两人摸球后的奖金总额。

(1)    求的概率

(2)    求的分布列，期望

解：（1）

（2）

（元）

 

[例5] 某学校有三位教师到北京参观学习，被安排在某宾馆住宿，这个宾馆有二人间，三人间，四人间各一间，二人间每人每天160元，三人间每人每天130元，四人间每人每天100元，每位教师都以相同的概率被安排在三个房间的任一间，若这三位教师在这个宾馆连续住5天，每天都要重新安排，求：

（1）这三位教师某一天被安排在不同房间的概率；

（2）这三位教师住宿费之和至少有两天在380—430元的概率；

（3）这三位教师住宿费的平均值。

解：（1）设“三位教师被安排在不同房间”为事件A

因三位教师安排住宿可分3种情况：一是安排在一间有2种；二是安排在两间有种；三是安排在三间有种。则总的基本事件数有种，而事件A所含基本事件有种，所以三位教师被安排在不同房间的概率；

（2）设“一天住宿费之和在380—430元”为事件B，则事件B共有390元与420元两种情况。而住宿费之和为390元的基本事件有7种，住宿费之和为420元的基本事件有6种，所以事件B的概率。则5天中至少有2天住宿费之和在380—430元等价于事件B独立重复试验5次，至少发生2次的概率

（3）设三位教师一天的住宿费之和为随机变量。

则且的分布列为：

所以三位教师一天的住宿费之和的平均值即期望为

   元

 

 

[例6] 如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4。现从中任取3条网线且使每条网线通过最大的信息量。

（1）设选取3条网线由A到B可通过信息总量为x，当时，则保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；

（2）求选取3条网线可通过信息总量的数学期望。

解：（1）∵

∴

∵     ∴

∵    ∴

∵     ∴

∴

（2）∵      ∴

∵     ∴

∴ 线路通过信息量的数学期望

 

[例7] 某校高三（1）班、高三（2）班已各选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：① 按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；② 代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛；③ 先胜两盘的队获胜，比赛结束。已知每盘比赛双方胜出的概率均为。

（1）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？

（2）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？

解：（1）参加单打的队员有种方法

参加双打的队员有种方法

所以，高三（1）班的出场阵容共有（种）

（2）解法一：高三（1）班至少胜一盘，可分为两种情况

① 胜一盘，此时的概率为

② 胜两盘，此时的概率为

所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为

解法二：高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘

所以，所求概率为

 

[例8] 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为P。

（1）若A、B两个袋子中的球数比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求P的值。

（2）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。① 求恰好摸5次停止的概率；② 记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布及数学期望E。

解：（1）设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球

由，得

（2）①

② 随机变量的取值为0，1，2，3

由n次独立重复试验概率公式，

得

随机变量的分布列

	0	1	2	3
P

∴

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（    ）

A.          B.          C.          D.

2. 如图所示的电路，有三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（    ）

A.             B.             C.             D.

3. 某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为（    ）

A.             B.            C.            D.

4. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，则至少要有甲型与乙型电视机各一台的概率为（    ）

A.             B. 1        C.             D.

5. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（    ）

A.             B.            C.            D.

6. 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（    ）

A.           B.           C.         D.

7. 设是一个离散型随机变量，分布列为

		0	1
P	0.5

则（    ）

A. 1        B.            C.            D.

8. 设，且，，则n，p的值分别为（    ）

A.               B.               C.               D.

 

二. 解答题

在一次历史与地理两科的联合测试中，备有6道历史题，4道地理题，共10道题以供选择，要求学生从中任意抽取5道题目作答，答对4道或5道可被评为良好。学生甲答对每道历史题的概率为0.9，答对每道地理题的概率为0.8。

（1）求学生甲恰好抽到3道历史题、2道地理题的概率；

（2）若学生甲恰好抽到3道历史题、2道地理题，则他能被评为良好的概率是多少？（精确到0.01）

2. A有一只放有6个球的箱子，其中红球x个，白球y个，黄球个（，），B有一只放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定：同色时，A胜；异色时，B胜。

（1）用表示B胜的概率；

（2）A能否通过调整自己箱子中不同颜色球的个数，使自己获胜的概率大于B获胜的概率。

  3. 口袋中装有大小相同的红球，白球共7个，已知从中任意取两个球都是白球的概率为，甲、乙两人从袋中轮流取球每次取一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到两人中有一人取到白球为止，用表示摸球终止时取出的球的个数。

（1）求时的概率。（2）求。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. A

解析：由题意知，符合独立重复试验的条件

2. A

解析：灯泡甲亮为事件，其中合上为事件A、C，开关断开为，且三事件相互独立

∴

3. B

解析：设响n声被接的概率为，则，，，

故前四声内被接的概率为

4. C

解析：对立事件、互斥事件、古典概型综合应用，基本事件总数为，记甲型与乙型电视机各一台“为事件A，“3台电视机全是甲型”为事件B，“3台电视机全是乙型”为事件C，B包含个基本事件，C包含个基本事件，故，

而

5. C

解析：∵     ∴ ，符合条件的只有1，2；2，4；3，6三对

∴

6. A

解析：9个数平均分成三组的方法有种，其中每组三个数成等差数列的分法有：

① （1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）；

② （1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）；

③ （1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）；

④ （1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）；

⑤ （1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）

共5组    ∴ 概率为

  7. C

解析：

  8. B

    解析：

 

二.

解：（1）学生甲恰好抽到3道历史题、2道地理题的概率为

（2）若学生甲被评为良好，则他可能答对5道，记作事件A；或答对3道历史题、1道地理题，记作事件B；或答对2道历史题、2道地理题，记作事件C。

∵ ，；

∴ 甲被评为良好的概率为

2. 解：（1）设A胜为事件A，B胜为事件B

∴

∴

（2）∵

由（1）得  

当取“=”

∴ A无论怎样调整自己箱中不同颜色球的个数，都不能使自己获胜的概率大于B获胜的概率。

  3. 解：（1）设袋中原有n个白球，则

∴    解得或（舍）

∴

	1	2	3	4	5
P

（2）