二项式定理

二项式定理

 

二. 本周教学重、难点：

掌握二项式定理和展开式的性质，并能用它们计算，证明一些问题

 

【典型例题】

[例1] （1）求的展开式中的常数项。

（2）求展开式中的有理项。

解：（1），

令    ∴

（2）

令即，

∴ 或9

当时，，

当时，，

 

[例2] 求展开式中的系数

解：因为的通项为，

的通项为，，令，则

，，，

所以的系数为

 

[例3] 求展开式中含项的系数

解：

而其中的通项为，的通项为

所以的通项为，其中，且

由已知，，所以，从而

当时，，这时；

当时，，这时；

当时，，这时；

所以展开式中含项的系数为

 

[例4] 求的展开式中项。

解：方法一：原式

的通项，

∴

当时  ∴     ∴ 或

∴ 含项：

方法二：2个，1个  

4个   

∴

 

[例5] （1）求展开式中系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。

解：（1）设项系数最大，则有

即

解得    又∵     ∴

∴ 系数最大项为

（2）展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需要比较和两项系数大小即可。

∴ 系数最大的项是第五项，

 

[例6] 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。

解：

∴ ，即

∴    解得

∴ 展开式中二项式系数最大的项是中间一项

 

[例7] 若，求

（1）；

（2）；

（3）。

解：（1）令，则

令，则①

∴

（2）令，则②

由，得

（2）由，得

 

 

[例8] 求证：能被64整除

证明：∵

又是整数

∴ 能被64整除

 

[例9] 求证：有。

证：∵

∴ 左

右

 

[例10] 求

解：原式

 

[例11] 若，，展开按m的降幂排列第二项不大于第三项，求m的取值范围。

解：   ∴      

    

又∵       ∴    

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 在的展开式中，含项的系数是（    ）

A.           B. 5        C.         D. 10

2. 在的展开式中的系数是（    ）

A.         B. 14              C.         D. 28

3. 若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（    ）

A. 5               B. 7               C. 9               D. 11

4. 若展开式中存在常数项，则n等于（    ）

A. 8               B. 9               C. 10             D. 12

  5. 的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于（    ）

A. 11             B. 12              C. 13             D. 14

6. 若，则等于（    ）

A. 1               B.            C. 2               D.

  7. 设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S。若有P+S=272，则n等于（    ）

A. 4               B. 5               C. 6               D. 8

  8. 展开式中整理后的常数项是（    ）

A. 32             B.         C. 70             D. 38

 

二. 解答题

1. 设函数（为实常数），若的展开式中的系数为，求的值。

2. 已知展开式中常数项为1120，为常数，求展开式中各项系数的和。

 

 

 

【试题答案】

1. C

解析：项的系数为，选C。

2. B

解析：由    ∴ 的系数为14

3. A

    解析：含项的系数为，含x项的系数为，由题意得

或（舍）

4. C

解析：本题考查二项式定理，展开式中的第项为

由题意可知

∵    ∴ 为3的倍数   ∴ n为5的倍数

5. B

解析：∵ ，设为有理项，则，且，

∴ 要求n的最小值，只要求出r的最大值即可

又∵ 只有5个有理项   ∴

∴ ，从而

故选B

6. D

解析：令，得，令，得

∴

7. A

解析：若，有，，令，得，又

或（舍去）

∴ ，故选A

8. D

解析：展开式的通项

由，得，故展开式中常数项为

同理，可求的展开式中的常数项为70

∴ 所求常数项为

 

二.

1. 解析：

由    ∴

∵    ∴

2. 解析：

∴ 当时，为常数项

∴     ∴    ∴

∴ 展开式中各项系数之和为：

① 时，令   ∴

② 时，令  ∴