寒拾柒 / 高中数学 / 空间向量

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空间向量

2012-05-30  寒拾柒

空间向量

 

. 教学目标:

1、理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘

2、了解空间向量的基本定理;

3、掌握空间向量的数量积的定义及其性质;

4、理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念

5、掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。

 

. 知识要点:

1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注:⑴空间的一个平移就是一个向量。

⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算

空间向量的加法、减法与数乘向量运算:

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

运算律:⑴加法交换律:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

⑵加法结合律:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

⑶数乘分配律:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

3. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运与非零向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运λ空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

4. 共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平行于空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运记作空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

当我们说向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共线(或空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运//空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)时,表示空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线

5. 共线向量定理:空间任意两个向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运//空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运充要条件是存在实数λ,使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运λ空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

推论:如果空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运为经过已知点A且平行于已知非零向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的直线,那么对于任意一点O,点P在直线空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运上的充要条件是存在实数t满足等式

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运其中向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运叫做直线空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的方向向量

6. 空间直线的向量参数表示式:

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

中点公式:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

7. 向量与平面平行:已知平面空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运和向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,作空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,如果直线空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平行于空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运或在空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运内,那么我们说向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平行于平面空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,记作:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量。

说明:空间任意的两向量都是共面的。

8. 共面向量定理:如果两个向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运不共线,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运与向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共面的充要条件是存在实数空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

推论:空间一点空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运位于平面空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运内的充分必要条件是存在有序实数对(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运 

或对空间任一点空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,有空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运 

上面式叫做平面空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的向量表达式。

9. 空间向量基本定理:如果三个向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运不共面,那么对空间任一向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,存在一个唯一的有序实数组(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

若三向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运不共面,我们把空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运叫做空间的一个基底,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

推论:设空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运是不共面的四点,则对空间任一点空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,都存在唯一的三个有序实数空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

10. 空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,在空间任取一点空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,作空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运叫做向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的夹角,记作空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运;且规定空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,显然有空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运;若空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则称空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运互相垂直,记作:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

11. 向量的模:设空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则有向线段空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的长度叫做向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的长度或模,记作:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

12. 向量的数量积:已知向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运叫做空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的数量积,记作空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

13. 空间向量数量积的性质:     

1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

14. 空间向量数量积运算律:

1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运(结合律)2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运(交换律)

3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运(分配律)

 

【典型例题】

1. 证明空间任意无三点共线的四点ABCD共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数xyzxyz1,使得空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运x空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运y空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运z空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

分析:要寻求四点ABCD共面的充要条件,自然想到共面向量定理。

解:依题意知,BCD三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点ABCD共面空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运对空间任一点O,存在实数x1y1,使得空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运x1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运y1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运x1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)+y1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=(1x1y1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运x1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运y1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,取x1x1y1yx1zy1,则有空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运x空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运y空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运z空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,且xyz1

点评:向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础。共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件,可用以证明点共(线)面空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用。

 

2. 在平行四边形ABCD中,ABAC1,∠ACD90°,将它沿对角线AC折起,使ABCD60°角,求BD间的距离。

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

解:如上图,因为∠ACD90°,

所以空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

同理,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

因为ABCD60°角,

所以〈空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=60°或120°。

因为空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

所以空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运22空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运22空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

32×1×1×cos空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

所以|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|=2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

BD间的距离为2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

3. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,BD1交平面ACB1于点E,求证:

1BD1⊥平面ACB1

2BE空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运ED1

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

证明:1)我们先证明BD1AC

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|2|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|2110

BD1AC空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运同理可证BD1AB1,于是BD1⊥平面ACB1

2)设底面正方形的对角线ACBD交于点M

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

BM空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,四点空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共面,

所以,D1B与平面ACB1之交点E,就是D1BMB1的交点。

2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运知,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运D1EEB21

BE空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运ED1

点评:利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题。

 

4. 下列命题中不正确的命题个数是

①若ABCD是空间任意四点,则有空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共线的充要条件 

③若空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共线,则空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运所在直线平行 

④对空间任意点O与不共线的三点ABC,若空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运x空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运y空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运z空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运(其中xyzR),则PABC四点共面

A. 1                     B. 2                     C. 3                     D. 4

解:易知只有①是正确的,对于④,若O空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面ABC,则空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运不共面,由空间向量基本定理知,P可为空间任一点,所以PABC四点不一定共面。

答案:C

 

5. 如图,直棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中,CACB1,∠BCA90°,棱AA12MN分别是A1B1A1A的中点。

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

1)求空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的长;

2)求cos空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉的值;

3)求证:A1BC1M

1解:如图建立坐标系,依题意得B010),N101),

∴|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

2解:A1102),B010),C000),B1012),

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(1,-12),空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(012),

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3,|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

cos空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

3证明:C1002),M空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2),

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(-11,-2),空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0),

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0,∴A1BC1M

 

6. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别是BB1CD的中点。

1)证明ADD1F

2)求AED1F所成的角;

3)证明面AED⊥面A1D1F

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

解:D为原点,DADCDD1x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,取正方体棱长为2

A200)、A1202)、D1002)、E221)、F010)。

1)∵空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(200)·(01,-2)=0,∴ADD1F

2)∵空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(021)·(01,-2)=0

AED1F,即AED1F90°角。

3)∵空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(221)·(01,-2)=0

DED1F空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运AED1F,∴D1F⊥面AED

D1F空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运A1D1F,∴面AED⊥面A1D1F

点评:通过建立空间直角坐标系,点用三维坐标表示,向量用坐标表示,进行向量的运算,轻而易举地解决立体几何问题,不需要添加辅助线。一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了。

②本题是高考题,标准答案的解法较为复杂,而运用代数向量求解则轻而易举,充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性,这应作为立体几何复习的一个重点去掌握空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运通过坐标法计算数量积去证垂直,求夹角、距离,是高考的重点。

 

7. 在正四面体ABCD中,EAD的中点,求直线CE与平面BCD成的角的正弦值

分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影,即找垂面,有了垂面即可在垂面内作交线的垂线,线面角即可作出,然后转化到三角形中求解

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

解法一:BC的中点F,连结AFDF

∵正四面体ABCD

BCAFBCDF

BC⊥面AFD

BC空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面BCD

∴面AFD⊥面BCD

EEHDFH

DF空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运平面BCD,则EH⊥面BCD

则∠ECHCE与面BCD所成的角

RtCEH中,sinECH空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

解法二:如图建立以三角形BCD的中心O为原点,ODOA依次为y轴,zx轴平行于BC

设正四面体ABCD的棱长为空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

EAD的中点,∴空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

又因为平面BCD的法向量为空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

∴即CE与平面BCD成的角空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运满足:

    空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

点评:求线面角的两种方法

小结:1、应用向量知识解决几何问题时,一方面要选择恰当的基向量,另一方面要熟练地进行向量运算。

2、空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示,这三个向量也称为一个基底空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时,往往把它们用同一个基底来表示,从而实现解题的目的。

3、要用向量法解题,所涉及判断位置或长度或所成角的向量,一般应能用关系明确的向量表示,或较容易用坐标表示,否则应考虑用其它方法来解。

 

【模拟试题】

1、在以下四个式子中正确的有

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,②空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),③空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运),④|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|

A. 1                  B. 2                 C. 3                 D. 0

2、设向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是

A. {空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运}                 B. {空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运}

C. {空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运}                 D. {空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运}

3、在平行六面体ABCDABCD′中,向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

A. 有相同起点的向量                       B. 等长的向量

C. 共面向量                                     D. 不共面向量

4平行六面体ABCDA1B1C1D1中,MACBD的交点,若空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则下列式子中与空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运相等的是

A. 空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                     B. 空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

C. 空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                          D. 空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

5OABC为空间四个点,又空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运为空间的一个基底,则

A. OABC四点共面,但不共线

B. OABC四点不共线

C. OABC四点中任意三点不共线

D. OABC四点不共面

6、已知四边形ABCD中,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运5空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运6空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运8空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,对角线ACBD的中点分别为EF,则空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运_____________

7、已知空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运7空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运5空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运垂直,且空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运4空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运7空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运垂直,则〈空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=____

8、试用向量证明三垂线定理及其逆定理。

9、在空间四边形ABCD中,求证:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

10、如图,ABCD是边长为a的菱形,且∠BAD60°,△PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD

1)求cos空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉的值

2)若EAB的中点,FPD的中点,求|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|的值;

3)求二面角PBCD的大小。

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运


【试题答案】

1、解析:根据数量积的定义,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运是一个实数,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运无意义空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运实数与向量无数量积,故空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)错,|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运os空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|,只有空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)正确。答案:A

2、解析:由已知及向量共面定理,易得空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运不共面,故可作为空间的一个基底,故选C。答案:C

3、解析:∵空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,∴空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共面。

答案:C

4、解析:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,故选A。答案:A

5、解析:由基底意义,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运三个向量不共面,但ABC三种情形都有可能使空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运共面。只有D才能使这三个向量不共面,故应选D。答案:D

6、解析:∵空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

两式相加,得2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)+(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)+(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)。

EAC的中点,故空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

同理,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)+(5空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运6空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运8空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=6空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运6空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运10空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运5空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。答案:3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运5空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

7、解析:由条件知(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运3空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·(7空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运5空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=7|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|215|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|216空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0,及(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运4空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·(7空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=7|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|28|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|230空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

两式相减得46空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运23|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|2

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|2空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运||空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|

cos空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。∴〈空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=60°。答案:60°

8、已知:POPA分别是平面α的垂线和斜线,OAPAα内的射影,空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运α,求证:空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运PA空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运OA

证明:设直线空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运上非零向量空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,要证空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运PA空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运OA

即证空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运α空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0,即空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运PA空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运OA

点评:向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运在应用过程中,常需要通过加、减法对向量进行转换,当然,转换的方向是有利于计算向量的数量积。

9、证法一:把空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运拆成空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运后重组,

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)+空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

证法二:设空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·(-空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)+(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运+(-空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运)·(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

=-空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运·空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0

10、解:(1)选取AD中点O为原点,OBADOP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A0,-空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0),B空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a00),P00空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a),D0空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0)。

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0),空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=(0空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,-空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a),

cos空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运〉=空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

2)∵EF分别为ABPD的中点,

E空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a,-空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运0),F0空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a)。

|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运|空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a

3)∵面PAD⊥面ABCDPOAD

PO⊥面ABCD

BOADADBC,∴BOBC

连结PB,则PBBC

∴∠PBO为二面角PBCD的平面角。

RtPBO中,PO空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运aBO空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运a

tanPBO空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运1空间向量 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运则∠PBO45°。

故二面角PBCD的大小为45°。

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