空间向量

空间向量

 

二. 教学目标：

1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。

2、了解空间向量的基本定理；

3、掌握空间向量的数量积的定义及其性质；

4、理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。

5、掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。

 

三. 知识要点：

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：⑴空间的一个平移就是一个向量。

⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算

空间向量的加法、减法与数乘向量运算：

；；

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

3. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ。

4. 共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

5. 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。

推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式。

。其中向量叫做直线的方向向量。

6. 空间直线的向量参数表示式：

或，

中点公式：

7. 向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

8. 共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使。

推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对（），使  ①

或对空间任一点，有②

或  ③

上面①式叫做平面的向量表达式。

9. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组（），使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

10. 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。

11. 向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。

12. 向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。

13. 空间向量数量积的性质：     

（1）。（2）。（3）。

14. 空间向量数量积运算律：

（1）（结合律）。（2）（交换律）。

（3）（分配律）。

 

【典型例题】

例1. 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x＋y＋z＝1，使得＝x＋y＋z。

分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理。

解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得＝＋x₁＋y₁＝＋x₁（－）＋y₁（－）＝（1－x₁－y₁）＋x₁＋y₁，取x＝1－x₁－y₁、y＝x₁、z＝y₁，则有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1。

点评：向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础。共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用。

 

例2. 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离。

解：如上图，因为∠ACD＝90°，

所以·＝0。

同理，·＝0。

因为AB与CD成60°角，

所以〈，〉＝60°或120°。

因为＝＋＋，

所以²＝²＋²＋²＋2·＋2·＋2·＝²＋²＋²＋2·

＝3＋2×1×1×cos〈，〉＝2或，

所以｜｜＝2或，

即B、D间的距离为2或。

 

例3. 在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，求证：

（1）BD₁⊥平面ACB₁；

（2）BE＝ED₁。

证明：（1）我们先证明BD₁⊥AC。

∵＝＋＋，＝＋，

∴·＝（＋＋）·（＋）

＝·＋·

＝·－·

＝||²－||²＝1－1＝0。

∴BD₁⊥AC同理可证BD₁⊥AB₁，于是BD₁⊥平面ACB₁。

（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，

则＝＝，即2＝。

∴BM∥，四点共面，

所以，D₁B与平面ACB₁之交点E，就是D₁B与MB₁的交点。

由2＝知，∽，D₁E∶EB＝2∶1

∴BE＝ED₁。

点评：利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题。

 

例4. 下列命题中不正确的命题个数是

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝；

②||－||＝|＋|是、共线的充要条件 

③若、共线，则与所在直线平行 

④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面

A. 1                     B. 2                     C. 3                     D. 4

解：易知只有①是正确的，对于④，若O平面ABC，则、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面。

答案：C

 

例5. 如图，直棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA₁＝2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点。

（1）求的长；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：A₁B⊥C₁M。

（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），

∴｜｜＝＝。

（2）解：A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2），

∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2），

∴·＝3，｜｜＝，｜｜＝。

∴cos〈，〉＝＝。

（3）证明：∵C₁（0，0，2），M（，，2），

∴＝（－1，1，－2），＝（，，0），

∴·＝0，∴A₁B⊥C₁M。

 

例6. 如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点。

（1）证明AD⊥D₁F；

（2）求AE与D₁F所成的角；

（3）证明面AED⊥面A₁D₁F。

解：取D为原点，DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，

则A（2，0，0）、A₁（2，0，2）、D₁（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）。

（1）∵·＝（2，0，0）·（0，1，－2）＝0，∴AD⊥D₁F。

（2）∵·＝（0，2，1）·（0，1，－2）＝0，

∴AE⊥D₁F，即AE与D₁F成90°角。

（3）∵·＝（2，2，1）·（0，1，－2）＝0，

∴DE⊥D₁F∵AE⊥D₁F，∴D₁F⊥面AED。

∵D₁F面A₁D₁F，∴面AED⊥面A₁D₁F

点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线。一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了。

②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点。

 

例7. 在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角的正弦值。

分析：求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解。

解法一：取BC的中点F，连结AF、DF。

∵正四面体ABCD

∴BC⊥AF，BC⊥DF

∴BC⊥面AFD，

而BC平面BCD

∴面AFD⊥面BCD

过E作EH⊥DF于H，

而DF平面BCD，则EH⊥面BCD

则∠ECH为CE与面BCD所成的角。

在Rt△CEH中，sin∠ECH＝。

解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，OD，OA依次为y轴，z轴、x轴平行于BC。

设正四面体ABCD的棱长为，

则。

∴

∵E为AD的中点，∴

∴

又因为平面BCD的法向量为，

∴即CE与平面BCD成的角满足：

    。

点评：求线面角的两种方法。

小结：1、应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算。

2、空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的。

3、要用向量法解题，所涉及判断位置或长度或所成角的向量，一般应能用关系明确的向量表示，或较容易用坐标表示，否则应考虑用其它方法来解。

 

【模拟试题】

1、在以下四个式子中正确的有

①＋·，②·（·），③（－），④|·|＝||||

A. 1个                  B. 2个                 C. 3个                 D. 0个

2、设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是

A. {＋，－，}                 B. {＋，－，}

C. {＋，－，}                 D. {＋＋，＋，}

3、在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是

A. 有相同起点的向量                       B. 等长的向量

C. 共面向量                                     D. 不共面向量

4、平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为AC和BD的交点，若＝，＝，＝，则下列式子中与相等的是

A. －＋＋                     B. ＋＋

C. －＋                          D. －－＋

5、O、A、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则

A. O、A、B、C四点共面，但不共线

B. O、A、B、C四点不共线

C. O、A、B、C四点中任意三点不共线

D. O、A、B、C四点不共面

6、已知四边形ABCD中，＝－2，＝5＋6－8，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝_____________。

7、已知＋3与7－5垂直，且－4与7－2垂直，则〈，〉＝____。

8、试用向量证明三垂线定理及其逆定理。

9、在空间四边形ABCD中，求证：·＋·＋·＝0。

10、如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD＝60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD。

（1）求cos〈，〉的值

（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求||的值；

（3）求二面角P—BC—D的大小。

【试题答案】

1、解析：根据数量积的定义，·是一个实数，＋·无意义实数与向量无数量积，故·（·）错，|·|＝|||||os〈，〉|，只有（－）正确。答案：A

2、解析：由已知及向量共面定理，易得＋，－，不共面，故可作为空间的一个基底，故选C。答案：C

3、解析：∵－＝＝，∴、、共面。

答案：C

4、解析：＝＋＝＋（＋）＝－＋＝－＋，故选A。答案：A

5、解析：由基底意义，、、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、、共面。只有D才能使这三个向量不共面，故应选D。答案：D

6、解析：∵＝＋＋，＝＋＋，

两式相加，得2＝（＋）＋（＋）＋（＋）。

∵E是AC的中点，故＋＝。

同理，＋＝。

∴2＝＋＝（－2）＋（5＋6－8）＝6＋6－10。

∴＝3＋3－5。答案：3＋3－5

7、解析：由条件知（＋3）·（7－5）＝7||²－15||²＋16·＝0，及（－4）·（7－2）＝7||²＋8||²－30·＝0。

两式相减得46·＝23||²，

∴·＝||²代入上面两个式子中的任意一个，即可得到||＝||

∴cos〈，〉＝＝＝。∴〈，〉＝60°。答案：60°

8、已知：PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，α，求证：⊥PA⊥OA。

证明：设直线上非零向量，要证⊥PA⊥OA，

即证·＝0·＝0。

∵α，·＝0，

∴·＝·（＋）＝·＋·＝·。

∴·＝0·＝0，即⊥PA⊥OA。

点评：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积。

9、证法一：把拆成＋后重组，

·＋·＋·

＝（＋）·＋·＋·

＝·＋·＋·＋·

＝·（＋）＋·（＋）

＝·＋·

＝·（＋）＝·＝0。

证法二：设＝，＝，＝，

则

·＋·＋·

＝（－）·（－）＋（－）·＋（－）·（－）

＝－·＋·＋·－·－·＋·＝0。

10、解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）。

∴＝（a，，0），＝（0，，－a），

则cos〈，〉＝

＝＝。

（2）∵E、F分别为AB、PD的中点，

∴E（a，－，0），F（0，，a）。

则||＝＝a。

（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，

∴PO⊥面ABCD。

∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC。

连结PB，则PB⊥BC，

∴∠PBO为二面角P—BC—D的平面角。

在Rt△PBO中，PO＝a，BO＝a，

∴tan∠PBO＝＝＝1则∠PBO＝45°。

故二面角P—BC—D的大小为45°。