混沌(二)

　　混沌究竟是如何产生的呢？首先，我们要区分什么是“线性”，什么是“非线性”。总结起来，它们共有以下四点区别：
1 线性是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏离。在实际中，线性关系只适用于自变量的一定范围，不能无限制地进行下去(数学上当然是可以的)，而非线性才能反映“是非曲直”、“过犹不及”、“一波三折”等复杂行为。
2 线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则有相互作用。
3 线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。例如：对于一个遵从欧姆定律的线性电路，电压U、电流I和电阻R的关系是:U=IR。如果I是频率固定的交流信号I=Icos(ωt)，电压也会有同样的频率ω。但如果电压电流关系中出现了非线性的项，比如说V=RI+R₁I²，对于同样的电流输入I=Icos(ωt)，U=RIcos(ωt)+R₁(Icos(ωt))²=RIcos(ωt)+(1/2)R₁I²(1+cos(2ωt))=(1/2)R₁I²+RIcos(ωt)+(1/2)R₁I²(cos(2ωt))，电压中出现了输入信号中没有的频率为0和2ω的信号，出现了“无中生有”的现象。只要存在任意小的非线性（如上例中R1<<R），就会出现和频、差频、倍频等成分，但这些新频率成分不是非线性强烈到一定程度才突然出现的阀值现象。
4 非线性是引起行为突变的原因，对线性的细小编离，往往并不引起行为突变，而且可以从原来的线性情形出发，靠修正线性理论去描述和理解。然而，非线性大到一定程度时，系统行为可能发现突变。在前面的例子中，这时输出信号可能突然出现某些分频，如ω/2、ω/4，甚至ω/3。非线性系统往往在一系列参量阀值上发生突变，每次突变都伴随着某种新的分频成分，最终进入混沌状态。