高三新课：数列、函数的极限

高三新课：数列、函数的极限

 

二. 本周教学重、难点：

1. 数列极限

（1）定义

（2）运算法则

如果，，那么

①

②

③ （）

④ （为常数）

（3）几个常用的极限

① （为常数）

② （0）

③ （且）

④ （）

2. 函数的极限

（1）当时，的极限

（2）当时，的极限

（3）运算法则

如果，那么

①

②

③

 

【典型例题】

[例1] 考察下面的数列，写出它们的极限。

（1）

（2）

（3）

解：

（1）的项随的增大而减少，但大于0，且当无限地增大时，无限地趋于0，因此。

（2）数列的项随的增大而增大，但小于7，且当无限地增大时，无限地趋近于7，因此数列的极限为7。

（3）数列的项正负交错，随增大其绝对值减少但不等于0，当无限地增大时，无限地趋于0。因此数列的极限为0。

 

[例2] 已知，。求下列极限。

（1）；

（2）。

解：

（1）

（2）

 

[例3] 求下列数列的极限。

（1）；

（2）；

（3）。

解：

（1）

（2）

（3）

 

[例4] 求的值。

解：

① 当时，原式

② 当时，原式

③ 当时，原式

所以原式

 

[例5] 已知数列前项之和（为不是1的常数）

（1）用表示；

（2）若，求的取值范围。

解：

（1）∵ ，同样有

∴     即    ∴

∴ 为等比数列，公比为

首项由，得到

即为，的等比数列

∴

（2）要求，即要求，且，得

 

[例6]（1）设，求，及

解：，

∵     ∴

（2）设，问是否存在。

解：

，

∵ ，∴ 不存在

 

[例7] 求

解：

 

[例8] 已知函数，试讨论在处的极限。

解：∵        

∴        所以在处的极限不存在

∵     

∴

所以，在处有极限且。

[例9] 已知，讨论在和时的极限。

解：

（1）当时，      

∵      ∴ 时，的极限不存在

（2）当时，   

∵      ∴

[例10] 已知，求的值。

解：

由于当时，的极限存在

∴ 分子、分母必有公因式

∴

并有

∴     ∴

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 下列数列中不存在极限的是（    ）

A.                   B.     

C.                D.

2. 下列数列中有极限的是（    ）

①     ②     ③     

④     ⑤

A. ②⑤    B. ②④⑤    C. ①④⑤    D. ①③④

3. 若，则（    ）

A.        B. 且    C.      D.

4. 对无穷数列有下面四个命题：

① 一定有极限；

② 若为等差数列，那么有极限的充要条件是它的公差；

③ 若为等比数列，那么公比时，有极限；

④ 若为递增数列，那么一定没有极限

以上命题中正确的个数是（    ）

A. 1    B. 2   C. 3    D. 4

5. （    ）

    A.     B. 1    C. 0    D. 不存在

6. （    ）

    A. 不存在    B. 1    C.     D. 2

7. （    ）

    A. 0    B. 2    C. 1    D. 不存在

8. 设，的极限是（    ）

A. 1    B. 3    C. 0    D. 不存在

 

二. 解答题：

1. 已知等比数列的公比为，且有，求首项的取值范围。

2. 写出下列函数的极限：

（1）   （2）  

（3）

3. 设函数是一个偶函数，且，，求出这一函数的最大值。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. C    2. A    3. A    4. B    5. B    6. A    7. A    8. D

 

二.

1. 解：由

知①或②

由①得或；由②得

综上所述，或或为所求。

2. 解：

（1）（）

（2）∵     ∴

（3）

3. 解：

∵ 为偶函数   

∴     ∴

 ①

 ②

由①②可得，

∴

故函数的最大值为1