函数的周期性

函数的周期性

 

（一）概念

对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。

注：

（1）周期函数的周期T未必是正数未必有正周期

如：，显然是函数的一个周期，故，是周期函数，假设有一个正周期，当时，，故无意义，所以不存在正周期。

（2）若T是周期函数的周期，未必是函数的一个周期，但若是定义在R上的周期函数，则成立。如，是函数的一个周期，而不是周期。

（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期

如任一有理数是的一个周期，因有理数不存在最小正数，故所给函数不存在最小正周期。

（4）周期函数的周期不止一个

事实上，如果T是周期函数的周期，用数学归纳法易证（）也是的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。

（5）周期函数的定义域至少是一方无界

因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。

（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数是周期函数，定义域是整数集。

（7）两个周期函数的和未必是周期函数

如，假设是以T为周期的周期函数

则，对任恒成立

令代入上式，有

∵    ∴

于是矛盾，故非周期函数

 

（二）性质

1. 设是以T为周期的函数，证明

（1）对任意正整数，也是的周期

（2）有最小正周期T，则的所有周期都是T的整数倍

注：若是定义在R上的周期函数，则（1）中

证：

（1）

（2）设是的任意一个周期，且，则存在，使（）若，则

，即也是正周期，而与T的最小性矛盾，故

  2.（1）若是数集A上的周期函数，则是数集上的周期函数

（2）若有最小正周期T，则T也是函数的最小正周期

证：

（1）设T为周期，则任，，且有从而，即T是的周期。

（2）由（1）知T也是的正周期，假设T不是的最小正周期，则存在是的周期，即

即也是的周期，且为正数，这与T是的最小正周期矛盾，所以T也是的最小正周期

  3. 函数以T为最小正周期函数以为最小正周期

证（充分性）设是的最小正周期，令，则

∴    

∴

假设T不是的最小正周期，若存在是的周期，

则

即是函数的周期与已知是最小正周期矛盾，得证（必要性）仿充分性证明，略。

  4.（1）设是定义在数集A上的函数，是数集B上的周期函数，且，则复合函数为B上的周期函数。

证明：设T是（）的周期，则对任意，且，有

，从而

即为B上周期函数

推论：若是周期函数，则，，（）

仍为周期函数

（2）若T是的最小正周期，则复合函数的最小正周期

如复合函数为周期函数，且最小正周期，而最小正周期，

（3）若是数集A上具一一映射的函数，是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数的最小正周期。

证：由（1）T也是复合函数的周期，假设T不是的最小正周期，则存在为的周期，即对任，有

而在A上具有一一映射，则，即是函数的周期，这与T是的最小正周期矛盾得证。

（4）设与是数集A上分别以T₁和T₂为正周期的函数，且（），则它们的和、差、积是A上以（或）为周期的周期函数

证：

但是，如果与分别是与的最小正周期，那么与的最小公倍数不一定是，的最小正周期，如与的最小正周期都是，显然，最小公倍数是，并不是的最小正周期

又如的最小正周期是，显然不是的最小正周期

（5）对于定义在R上的函数，若总有（），则是以为一个周期的周期函数，反之，若为函数的一个周期，则必有

推论：对于定义在R上的函数，且，若有总成立，则是以为一个周期的周期函数

证：（）对，令，那么，则有（数代换，令代代入即得证）

 

【模拟试题】

1. 已知为非零常数

（1）设，求证是周期函数

（2）设，求证是周期函数

  2. 已知是定义在R上的函数，且，求的值。

  3. 已知函数定义域为R，且对于的任意一个值都有，求证是周期函数。

  4. 对任意整数，且，，求的值。

  5. 函数在R上有意义，满足（1）为偶函数，且，（2）为奇函数，试求的值。 

  6. 已知定义在R上的奇函数满足，且，则方程在区间（0，10）内实根的个数为（    ）

A. 2    B. 3    C. 9    D. 7

  7. 定义在R上的偶函数恒有成立，且当时，则当时，（    ）

A.     B.     C.     D.

  8. 设，是定义在实数集R上的函数，对一切实数，有

，求证：是周期函数。

  9. 设对于函数，，有等式，其中，均为正常数，求证：存在正常数，使，且是以T为周期的函数。 

  10. 定义在实数集R上的函数，对任意，有

且，且若存在常数，使，试问是否周期函数，如果是找出它的一个周期，如果不是请说明理由。

  11. 设与是定义在实数集R上的函数，且满足条件

（1）对任何都有（*）

（2）

（3）存在实数，使，试问是否周期函数

  12. 已知是定义在R上的以2T为周期的周期函数，且在上为奇函数（偶函数）试讨论在R上的奇偶性。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. 解：

（1）∵

∴ 是以为周期的周期函数

（2）∵

∴ 是以为周期的周期函数

注：（1）若（或），则是周期函数，且2T是其一个周期；（2）若，则是周期函数，且2T是其一个周期

2. 解：显然，，

∴

∴ 的周期为8   ∴

而

∴

3. 证明：∵ ，

∴

∴  ①  以代换有②

由①和②得，故是以6为一个周期的周期函数

事实上此项为则为以2T为周期的推论

注：若，则是周期函数，且是其一个周期

证：∵

用代得

4. 解：由（如题3）

即6是的周期

                      

5. 解：∵ 为偶函数    ∴

又 ∵ 为奇函数

∴ ，即

∴    ∴     ∴

即周期为4   ∴

6. 解：由即是一个周期为4的周期函数，则，又为R上的奇函数，则，且

，

    因此方程在内有根1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个根，故选C。

7. 解：由即以2为周期

当时，，

当时，，，当时，，则，合并得，故选C。

8. 证明：

∵     令

∴ 即

∴ ，故以为周期的周期函数

9. 分析：记，只要确定常数使为以T为周期的函数

由

得   即

证：设，则

且

即是以T为周期的函数，令即将得证

10. 解：分别用，代换，有

    由已知   ∴    ∴

11. 证：在（*）中，令得

由知，在此式中令得

又由（*）可知

∴ 即是偶函数

∴    ∴    又

∴   即

在（*）中令

得

12. 证明：因定义域为R，易知对任意，是的周期，任取，则必存在，使，若在上为奇函数，

则

即在R上为奇函数

同理可证：若在为偶函数，则在R上也是偶函数

补充中心对称：定义在R上的函数，若总有

则函数关于点（）成中心对称

证：设为上任意一点，它关于点（）的对称点为

（）

由，又由，则

则，故，故在上，反之同理可证。