给定n个数求这n个数划分成互不相交的m段的最大m子段和。 经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前i个数划分成j段,且包括第i个数的最大m子段和,那么有dp方程: f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) } 也就是说第i个数要么自己划到第j段,要么和前一个数一起划到第j段里面,转移是O(n)的,总复杂度O(n * n * m)。 可以引入一个辅助数组来优化转移。设g(i, j)表示前i个数划分成j段的最大子段和(注意第i个数未必在j段里面),那么递推关系如下: g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)},分是否加入第i个数来转移 这样f的递推关系就变成: f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i],转移变成了O(1) 这样最后的结果就是g[n][m],通过引入辅助数组巧妙的优化了转移。实现的时候可以用一维数组,速度很快。 附HDU 1024题目代码: #include <cstdio>
#include <algorithm> using namespace std; const int N = 1000010, INF = 0x3fffffff; int f[N], g[N], a[N]; int max_sum(int m, int n) { int i, j, t; for (i = 1; i <= n; i++) { t = min(i, m); for (j = 1; j <= t; j++) { f[j] = max(f[j], g[j-1]) + a[i]; g[j-1] >?= f[j-1]; } g[j-1] >?= f[j-1]; } return g[m]; } int main() { int m, n; while (scanf("%d %d", &m, &n) == 2 && m && n) { for (int i = 1; i <= n; i++) { f[i] = g[i] = -INF; scanf("%d", &a[i]); } printf("%d\n", max_sum(m, n)); } return 0; } |
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