遍历二叉树

遍历二叉树

所谓遍历二叉树，就是遵从某种次序，访问二叉树中的所有结点，使得每个结点仅被访问一次。

这里提到的“访问”是指对结点施行某种操作，操作可以是输出结点信息，修改结点的数据值等，但要求这种访问不破坏它原来的数据结构。在本书中，我们规定访问是输出结点信息data，且以二叉链表作为二叉树的存贮结构。
由于二叉树是一种非线性结构，每个结点可能有一个以上的直接后继，因此，必须规定遍历的规则,并按此规则遍历二叉树,最后得到二叉树所有结点的一个线性序 列。 令L,R,D分别代表二叉树的左子树、右子树、根结点，则遍历二叉树有6种规则：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL、RKD。若规定二叉树中必须先 左后右(左右顺序不能颠倒)，则只有DLR、LDR、LRD三种遍历规则。DLR称为前根遍历(或前序遍历、先序遍历、先根遍历)，LDR称为中根遍历 (或中序遍历)，LRD称为后根遍历(或后序遍历)。

一、前序遍历
所谓前序遍历，就是根结点最先遍历，其次左子树，最后右子树。

1．递归遍历

前序遍历二叉树的递归遍历算法描述为：
若二叉树为空，则算法结束;否则
（1）访问根结点；
（2）前序遍历左子树;
（3）前序遍历右子树;


例如，可以利用上面介绍的遍历算法，写出上图所示二叉树的前序遍历序列为：ABDEGHICF

算法如下:
void preorder(NODE *p)
{
if(p!=NULL)
{printf(“%d ”,p->data);
preorder(p->lchild);
preorder (p->rchild);}
}

遍历方案

1．遍历方案
    　从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：
    　（1）访问结点本身(N)，
    　（2）遍历该结点的左子树(L)，
    　（3）遍历该结点的右子树(R)。
以上三种操作有六种执行次序：
    　NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。
  注意：
    　前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。

2．三种遍历的命名
    　根据访问结点操作发生位置命名：
　　① NLR：前序遍历(PreorderTraversal亦称(先序遍历))
         ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
　　② LNR：中序遍历(InorderTraversal)
        ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
 　　③ LRN：后序遍历(PostorderTraversal)
        ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
  注意：
    　由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtlee)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

遍历算法

1．中序遍历的递归算法定义：
    　若二叉树非空，则依次执行如下操作：
         (1)遍历左子树；
         (2)访问根结点；
         (3)遍历右子树。

2．先序遍历的递归算法定义：
   　若二叉树非空，则依次执行如下操作：
         (1) 访问根结点；
         (2) 遍历左子树；
         (3) 遍历右子树。

3．后序遍历得递归算法定义：
   　若二叉树非空，则依次执行如下操作：
         (1)遍历左子树；
         (2)遍历右子树；
         (3)访问根结点。

4．中序遍历的算法实现
    　用二叉链表做为存储结构，中序遍历算法可描述为：
      void InOrder(BinTree T)
        { //算法里①~⑥是为了说明执行过程加入的标号
          ① if(T) { // 如果二叉树非空
          ②    InOrder(T->lchild)；
          ③    printf("％c"，T->data)； // 访问结点
          ④    InOrder(T->rchild);
          ⑤  }
          ⑥ } // InOrder

遍历序列

1．遍历二叉树的执行踪迹
    　三种递归遍历算法的搜索路线相同（如下图虚线所示）。
具体线路为：
    　从根结点出发，逆时针沿着二叉树外缘移动，对每个结点均途径三次，最后回到根结点。

      

2．遍历序列
（1） 中序序列
    中序遍历二叉树时，对结点的访问次序为中序序列
　【例】中序遍历上图所示的二叉树时，得到的中序序列为：
                D B A E C F
（2） 先序序列
    先序遍历二叉树时，对结点的访问次序为先序序列
    【例】先序遍历上图所示的二叉树时，得到的先序序列为：
                A B D C E F
（3） 后序序列
    　后序遍历二叉树时，对结点的访问次序为后序序列
　【例】后序遍历上图所示的二叉树时，得到的后序序列为：
                D B E F C A
  注意：
　　（1） 在搜索路线中，若访问结点均是第一次经过结点时进行的，则是前序遍历；若访问结点均是在第二次(或第三次)经过结点时进行的，则是中序遍历(或后序遍 历)。只要将搜索路线上所有在第一次、第二次和第三次经过的结点分别列表，即可分别得到该二叉树的前序序列、中序序列和后序序列。
　　（2） 上述三种序列都是线性序列，有且仅有一个开始结点和一个终端结点，其余结点都有且仅有一个前趋结点和一个后继结点。为了区别于树形结构中前趋(即双亲)结 点和后继(即孩子)结点的概念，对上述三种线性序列，要在某结点的前趋和后继之前冠以其遍历次序名称。
【例】上图所示的二叉树中结点C，其前序前趋结点是D，前序后继结点是E；中序前趋结点是E，中序后继结点是F；后序前趋结点是F，后序后继结点是A。但是就该树的逻辑结构而言，C的前趋结点是A，后继结点是E和F。

层次编历二叉树
算法思想：利用队列基本操作
1.初始化：根结点入队列
2.while(队列非空)
{
a.队首元素出队列
b.原队首元素对应的左、右孩子(非空)入队列
}
按出队列元素的先后顺序排列即为层次遍历的结果

void lev_ traverse(T)
NODE *T;

{NODE *q[100];
int head,tail, i;
q[0]=T;head=0;tail=1;
while(head<tail)
{p=q[head++];
printf(“%c”,T->data);
if(p->lchild!=NULL)
q[tail++]=p->lchild;
if(p->rchild!=NULL)
q[tail++]=p->rchild;
}
二叉链表的构造

1． 基本思想
    　基于先序遍历的构造，即以二叉树的先序序列为输入构造。
  注意：
    　先序序列中必须加入虚结点以示空指针的位置。
　【例】
　　建立上图所示二叉树，其输入的先序序列是：ABD∮∮CE∮∮F∮∮。

2． 构造算法
    　假设虚结点输入时以空格字符表示，相应的构造算法为：
    　void CreateBinTree (BinTree *T)
      { //构造二叉链表。T是指向根指针的指针，故修改*T就修改了实参(根指针)本身
        char ch；
        if((ch=getchar())=='') *T=NULL； //读人空格，将相应指针置空 
        else{ //读人非空格
              *T=(BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode))； //生成结点
              (*T)->data=ch；
              CreateBinTree(&(*T)->lchild)； //构造左子树
              CreateBinTree(&(*T)->rchild)； //构造右子树
             }
      }
  注意：
    　调用该算法时，应将待建立的二叉链表的根指针的地址作为实参。
【例】
　设root是一根指针(即它的类型是BinTree)，则调用CreateBinTree(&root)后root就指向了已构造好的二叉链表的根结点。
   
二叉树建立过程见【动画演示】
二叉树的应用