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| 第1讲.竞赛123班 |
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重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察算为明显趋势
原式=，
（此题学生容易做成，虽然答案对,但是老师要强调错误原因。）
【拓展】（首师大附中入学选拔试题）
【分析】原式=。
求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
原式=9999999×2222222
=（10000000-1）×2222222
=11111110000000-2222222
=11111107777778
8×7=56。
下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
计算
【分析】原式
=
注：这条算式与的值相等。
【拓展】计算
【分析】原式
计算
【分析】原式
。
【前铺】(浙江省小学数学活动课夏令营)
=。
【分析】原式
=
=。
【点评】对公比为2的等比数列求和，可以运用“借来还去”的技巧。本题对于后面的等比数列部分，可以“借来”，则有最后两个数的和等于前面一个数，依此前推，则总得数为两个，即为1,但这不是最终结果，因为要“还去”，即。一般地，
。
（06年希望杯）计算：
原式=
=
=。
(法一)设
则
，整理可得。
（法二）由题设，，则运用【例5】，整理得到。
(浙江省小学数学活动课夏令营)
⑴______；
⑵______。
⑴设
原式
⑵原式
【点评】这里介绍平方差公式与完全平方公式的变形应用：
原式
=
=
===
原式
=
=
=
==
【点评】本题利用性质：对各个分数进行计算、比较。
【前铺】推导以下算式
【分析】以此题为例，推导，
设：为,那么=,=，
所以：,。
⑴⑵
⑶⑷
⑴原式=。
⑵原式。
⑶原式=。
⑷原式。
计算
【分析】原式=
。
（江苏省吴江市小学数学联赛）在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。
=====
分数单位的拆分，主要方法是：
从分母的约数中任意找出两个数和,有：
=，
本题的约数有：,,,。
例如：选和，有：
；
本题具体的解共有：
。
【拓展1】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。
=
【分析】从分母的约数中任意找出两个和（）,有：
=
所以，例如选5和2，有：
=
另外的解让学生去尝试练习。
【拓展2】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。
=-=
【分析】先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.
如果选10、5、2，那么有：
。
【点评】分子是1，分母是非零自然数的分数叫单位分数。人类对分数的认识就是从单位分数开始的。大约在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分数表示成单位分数之和，如=，也有人把单位分数叫做埃及分数。
101中学根据这一知识点，出过一道入学考试题：幼儿园阿姨要把7个苹果平均分给12个小朋友，每个苹果不能超过5份。请帮阿姨设计一种分法。（分发如图所示）
（美国长岛小学数学竞赛
【分析】原式
。
注：通过对算式各项拆分，使算式得到化简的计算技巧称之为裂项，裂项法的要义在于等量代换思想，并在后续的作业中实现抵消。
【拓展】（《小数报》数学竞赛决赛题）
【分析】
【分析】原式=
=
=
计算
【分析】设算式的值为，那么，
，
=
=。
原式
【分析】原式
【分析】面对长分式计算题时，往往是利用先裂项再相消的方法来解决。
原式
（北京二中入学选拔试题）
计算12-22+32-42+…+20052-20062+20072
原式
=20072-20062+20052-……+52-42+32-22+12
=（2007+2006）（2007-2006）+（2005+2004）（2005-2004）+……+（3+2）（3-2）+1
=2007+2006+2005+2004+……+3+2+1
==2015028
【分析】原式=
计算
【分析】原式=
===
【分析】原式
足球运动最早起源于中国，其渊源可追溯至五千年前的黄帝时代。２００４年７月１５日，在纪念国际足联百年华诞的特别活动上，国际足联主席布拉特正式向全世界宣布：足球最初起源于中国，并由亚足联秘书长维拉潘颁发确认纪念证书。
????奥运会足球比赛始于１９９０年法国巴黎奥运会，在１９０８年的伦敦奥运会上成为正式比赛项目。１９８４年国际足联做出了在欧洲和南美洲参加过世界杯决赛的职业球员不得参加奥运会足球赛的决定。１９８８年国际足联在此基础上又做了如下规定：奥运会足球运动员年龄限制在２３岁以下，每队允许有３名超龄球员。北京奥运会男子足球决赛阶段共有１６支队伍；女子足球决赛阶段共有１２支队伍。
????新中国成立后，中国男子足球队已参加了７届奥运会预选赛。１９８０年和１９８４年分别输给了新加坡和泰国，在亚洲区预选赛中没有出线。１９９２年、１９９６年、２０００年和２００４年连续４届奥运会预选赛中，负于韩国队没有进入决赛阶段；只有在１９８８年的汉城奥运会进入了决赛阶段赛，但在小组赛中没有出线。１９９６年亚特兰大奥运会
一个国王听说有一位画家擅长水彩画，有一天，他专程去拜访那位画家。
“请为我画一只孔雀，”国王要求说。
一年后，他再次登门拜访画家。
我曾经要你为我画一只孔雀。”“你的孔雀就要画
“他拿出了画纸，不一会儿工夫就画出了一只美丽鲜艳的孔雀。国王很满意，?”国王问。于是画家领着国王走遍他的房子，每个房间都放!”
成功的背后一定是辛勤的付出，没有人能够不劳而获。每一次成功表面的背其实都有无数次血汗的付出和不断的努力。奋斗不息的人生无法用简单的价值来衡量。
在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！——爱因斯坦
学而思教育五升六竞赛123班第一讲教师版Page1
第一讲
计算之公式应用及技巧
常用公式
教学目标
经典精讲
巩固精练
分数的拆分
专题回顾
循环小数化分数
常用公式：
；
；
；
；
；
等比数列求和公式：。
平方差公式:：；
完全平方公式：，；
用文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的倍可以合写在一起。为便于记忆，可形象的叙述为：首平方、尾平方，倍乘积在中央
常用技巧：
；
；
，，，
，，；
，其中。
循环小数化分数公式：
；；；，
注：循环小数化分数分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分与第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数的差。
公元前1世纪古希腊数学家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用数形结合的方法——图解法，得出了三次方幂求和的公式：
尼科梅切斯给出的解法是这样的：
把求和式中任意一项。写成“”的形式，那么就可以理解成个“边长为”的正方形面积之和。那么，可以构造一个图形，如图：
一方面，图中大正方形的边长为“1+2+3+4”，面积为。
另一方面它又等于全部小正方形的面积之和。但是注意在放置两个2×2及4×4的正方形时，两个正方形有重叠部分——图中浅色阴影正方形，再把重叠部分补到它的右上方的小正方块——图中深色阴影正方形中去，这样一来这些小正方形的面积和正好等于边长为“1+2+3+4”的大正方形面积。所以：
归纳总结的裂项公式如下：
附加题目
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