行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。
回顾火车过桥、流水行程等问题；
环形路线上的相遇和追及问题；
速度行程问题与比例关系；
钟面上的行程问题。
一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。
这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：
比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16千米，那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32千米），这样船5小时一共顺水航行18+32=80千米，船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8千米。船静水速为（16+8）÷2=12千米。
甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求、两点间的距离
（法一）画图分析知甲、乙速度比为：，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（个全程），甲走了：3×7＝21（份）在点，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（个全程），甲走了：3×9＝27（份）在点,已知是150米，所以的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。
（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余数为1则在的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余数为7则在的位置，表示速度基数，??，（米），即全程为250米。
如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有米长。
当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（米）需
（分），
此时甲走了（条）边，
所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走条边就可以看到乙了，即甲从出发走条边后可看到乙，共需
（分），即分秒。
乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形，其中米，米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（、边上视为静水），两人第一次相遇在边上的点，，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）
设乙的速度为米/秒，则可列得方程：
解得：所以甲的速度为米/秒甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈所以两人共相遇了5次2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在厘米的速度在出发，那么当迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?
第一次在点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下)。
第二次在点相遇，甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间
(400+700+700)÷(6+4)=180(秒)，
甲跑了6×180=1080(厘米)，距点
400×3—1080=120(厘米)。
处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。
第五届“走进美妙的数学花园”决赛如图，甲、乙两只蜗牛同时从点出发，甲沿长方形逆时针爬行，乙沿逆时针爬行．若，，，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少?
很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况：
情况一；甲在点，乙在点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了圈，甲已走了圈.则可以列出不定方程：
化简为，由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12，此时，两只蜗牛共走了816情况二：甲在点，乙在点，这种情况下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，设两只蜗牛分别行走了圈和圈，则可以列出不定方程：
化简为，是方程的最小解，此时，两只蜗牛一共行走了788.
显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788事实上两只蜗牛在走过情况二之后各走了14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就可以少讨论一种情况了厘米，个点把这个圆周分成三等分，只爬虫，，分别在这个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是厘米/秒、厘米/秒、厘米/秒，只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
（法一）先来详细讨论一下：
先考虑与这两只爬虫，什么时候能到达同一位置 开始时,他们相差厘米,每秒钟能追上的路程为5-3=2(厘米)(秒)
因此秒后与到达同一位置.以后再要到达同一位置要追上一圈也就是追上厘米,需要(秒) 与到达同一位置,出发后的秒数是，，，， ⑵再看看与什么时候到达同一位置 第一次是出发后(秒) 以后再要到达同一位置是追上一圈,需要(秒) 与到达同一位置,出发后的秒数是，，，，……
对照两行列出的秒数就知道出发后秒3只爬虫到达同一位置（法二）本题的数学模型其实是一个数被除余这个数被除余和，那么可得到等量关系式，整理得到，和是满足条件的最小自然数组。所以只爬虫出发后60秒多少时间第一次到达同一位置。
如图，在长为490米的环形跑道上，、两点之间的跑道长50米，甲、乙两、两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度25％，乙把速度提高了20％．结果当甲跑到点时，乙恰好跑到了点．如果以后相遇后乙的速度提高20％，跑回点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为所花时间的比为。
设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回点用了5单位时间。设甲原来每单位时间的速度，由题意得：
解得：。
从点到相遇点路程为，。
两人速度变化后，甲的速度为，乙的速度为，从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，
∴甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）点：因为甲前后速度比为，乙前后速度比为,
所以，乙先后在处的时间比为,也即甲先后两段路程与所用的时间比也是，
则甲所行段路程与段路程之比为。
所以，的路程为（米），BC的路程为（米）
所以，在1个单位时间内的速度为：
甲是（米）；
乙是（米）。
则甲追上乙的时间需要（单位时间）
所以，甲一共行全程是（米）
乌龟和蜗牛赛跑，跑道是周长300厘米的等边三角形。它们从三角形的同一顶点同时出发，乌龟每分钟行50厘米，蜗牛每分钟46厘米，它们每到三角形的一个顶点都要休息1分钟。出发后?
乌龟追上蜗牛有三种情况：蜗牛在某顶点刚休息完，正准备走时，乌龟到达该顶点(追上蜗牛)。此时，乌龟比蜗牛多走一周，本来应多休息3次，但因为乌龟在最后一个顶点尚未休息，而蜗牛已经休息完了，所以乌龟比蜗牛多休息2次。蜗牛在某顶点休息了一会儿，但还没休息完，乌龟到达该点(追上蜗牛)。此时，因为蜗牛最后一次还没休息完，所以乌2次多，但不足3次。乌龟在途中追上蜗牛(包括乌龟、蜗牛同时到达某顶点)。此时，乌龟比蜗牛多休息3次。这三种情况到底发生哪种，这要根据乌龟、蜗牛的速度，每条边的长，到达每个顶点休息的时间等因素来确定。假设乌龟比蜗牛恰好多休息2次(即第种情况)。设乌龟不算休息时间共行了分钟，因为蜗牛少休息2次(2分钟)，所以蜗牛共行分钟。根据乌龟比蜗牛多行1周(300厘米)，可得方程，①
解得(分)。因为乌龟2分钟走一条边长，98是2的整数倍，乌龟刚好走到一个顶点，所以假设成立(即第种情况成立)。乌龟休息了(分)，乌龟追上蜗牛共用(分)。为什么要先假设第种情况?而不假设第种情况呢?事实上，我们先假设第种情况，解出乌龟行走的时间后，要检验行走t分后，乌龟是否刚好走到一个端点。如果是，假设成立；如果不是，假设就不成立。例如，如果将例题中三角形周长改为330厘米，其它条件不变，那么解得(分)，乌龟共行(厘米)，因为每边长110厘米，5275不是110的整数倍，所以第种情况不成立。为了说明问题，在例题中我们再假设乌龟比蜗牛恰好多休息3次(即第种情况)。类似地，可以得到方程，②
解得(分)。乌龟走2分钟休息1分钟，。
共休息54分钟。由此得乌龟追上蜗牛共用(分)。我们检验一下出发后分钟，乌龟是否追上蜗牛。乌龟走了分钟，共走(厘米)；蜗牛少3次，实际走了分钟，共走(厘米)。(厘米)，乌龟正好比蜗牛多走一周，乌龟在点厘米处追上蜗牛。分钟，乌龟确实追上了蜗牛，但这不1次追上蜗牛，而是第7次追上蜗牛了!①式的解(分)，②式的解(分)。由前面的解题过程知道，乌龟走分钟时在某顶点1次追上蜗牛，此时蜗牛刚休息完，正准备走。当乌龟休息146厘米，因为乌龟比蜗牛走得快，2分钟，蜗牛需分钟，所以乌龟走了100分钟2次追上蜗牛，这时蜗牛还要休息云分钟才出发。同理，乌102，104，106，108分钟时，分别第3，4，5，6次追上蜗牛，不(每次减少分钟)。乌龟第6次追上蜗牛时，蜗牛休(分)，也就是说，在该点乌龟比蜗牛晚出发(厘米)。乌龟2分钟8厘米，多走6厘米需分钟，所以乌龟从该点出发分钟，走了(厘米)时第7次追上蜗牛。通过上面的分析，这类题目的解法就越来越清楚了，我们归。先按第种情况列方程，求出乌龟追上蜗牛所需总时。
若是的整数倍，则第种情况成立，乌龟追上蜗。
若不是的整数倍，再按第种情况列方程，求出。
在与之间若有的整数倍的数，其中最小的记为，种情况成立，乌龟追上蜗牛共需时间。在与之间若没有的整数倍的数，则第种情况成,其中表示不大于的
【前铺】某小组在下午6点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时手表的分针和时针垂直。下午7点之前会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了分钟。
【分析】分针每分钟转圈，时针每分钟转圈。分针要比时针多转圈，需要
（分）
小明在1点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到2：30小明做题用了多长时间在不到1.5小时的时间内，时针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈，则经分钟。两针在此时间内共转了一圈，圈，所以开始做作业时分针在时针前圈，做完作业时时针在分针前圈，2点的时候，时针在分针前圈，所以还要经过小时，即分，小明所以做完作业时是2点分。
某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元。如果一个工人照此钟工作小时，那么他实际上应得工资多少元？
时钟的一圈有60小格，分针每分钟走1格，时针每分钟走格。
时针和分针从一次重合到下一次重合，分针应比时针多走一圈，因此需要时间
（分钟）。
于是依题设可知，计时钟的分钟相当于标准时间的69分钟。
从而用此钟计时的8小时，实际上应该是
（小时），
那么工人实际上应得的工资为
元。
注：在钟面追及与相遇问题中，通常使用的单位有：圈数、角度、格数（一般用小格为单位）本题杂糅了其他应用题的数量关系（分段算工资），单就钟面问题，应该问到“实际时间用了多少小时”就结束；把一个综合应用题根据数量关系拆分开来看问题，这是一种高级的审题能力，也是一种很好的解题思路，这样才能保证思路清晰。
（2006年北京市“数学解题能力展示”读者评选活动）
一个挂钟每天慢30秒。一个人在3月23日12时校正了挂钟，到4月2日14时至15时之间，挂钟的时针与分针重合在一起时，标准时间应该是4月2日时分秒（精确到秒）
从3月23日12时到4月2日12时共10天，挂钟慢了
30×10÷60=5（分）
此时挂钟显示11时55分。
因为时针与分针两次重合时间为
（分）；
所以从标准时间4月2日12时到所求时刻，挂钟走的时间为
（分）；
相当于标准时间
(分)≈2时15分57秒
所求时刻为14时15分57秒。
（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是几点几分，小张从甲地出发时是8点几分几秒？
不妨设从甲地到乙地的距离为单位“1”，小王从甲地到乙地一共用了1小时，所以小王的速度为1，小李从甲地到乙地一共用了45分钟（即小时），所以小李的速度为，小王追上骑车人时，走了总路程的，而小李追上骑车人时，走了总路程的，可见骑车人在两次被追上之间走了总路程的，所以骑车人的速度为，因为骑车人8点15被小王追上时已经走了总路程的四分之一，所以骑车人的出发时间是小时以前，即7点30分
如图，、两地位于圆形公路一条直径的两个端点。一天上午8点甲从出发，沿顺时针方向步行，同时乙从出发，骑自行车沿逆时针方向行进。8点40分时乙将自行车放在路边，自己改为步行。当甲走到自行车停放地点时，就骑上自行车继续前进。结果在点的时候两人同时到达地。已知两人步行速度相同，都是每小时5千米，而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，求乙骑车的速度。
根据题意，可知乙骑了小时，步行了小时。由于甲乙步行速度相同，所以甲应步行小时后骑上自行车，骑了小时后到达地。因为甲的路程是乙的路程的2倍，所以乙骑小时，步行小时等于甲骑小时，步行小时。而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，所以甲骑小时相当于乙骑小时。5×(-)÷(-)=(千米/小时)，所以乙骑车的速度是千米/小时。
与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？
长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上
所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况对于甲的运动进行讨论：
时间（单位时间） …… 地点 对于乙的运动进行讨论：
时间（单位时间） …… 地点 对于丙的运动进行讨论：
时间（单位时间） …… 地点 需要检验的时间点有、、、、……
个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于分钟个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、、的位置第二次构成最大三角形分钟
周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
两人每共走1圈相遇1次，用时480÷(55+60)=4(分)到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了55×40=2200（米），
要走到出发点还需走480×5-2200=200（米）小时，甲表和乙表重合。
一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇。则乙爬虫原来的速度是。
第一种情况表示回到点后又走到是30厘米设点是起始点，乙的爬行速度是厘米秒，乙爬到点走了厘米，所用时间为秒。
乙反向后在离出发点30厘米处与甲相遇，所用时间是秒，
即从出发开始计算，乙爬行时间是秒甲爬行时间是秒所以+=，（厘米/秒第二种情况是从走到走了40厘米，即从到到还有30厘米。有：
(厘米/秒)，但是在这种情况下乙的初速度大于甲的速度，也就是说，在乙还没有反向爬行前，乙一直领先于甲，所以乙与甲的第一次相遇，应该发生在乙返回途中，相遇点距离出发点正方形，米，甲从点、乙从点同时沿135米，乙120米，每过一个顶点时要多用5秒。在何处?
假设甲与乙休息次数相同(即第(1)种情况)。设甲不算秒。根据甲比乙多行80米，可得方程
解得(秒)。甲走一条边需(秒)，因为)，甲追上乙共需(秒)6分钟。9条边，追上的位置在点。
游泳比赛是一个集竞技游泳、跳水、花样游泳和水球为一体的大型项目。在２００８年北京奥运会上，游泳比赛共设４６个小项，其中竞技游泳３４项、跳水８项、水球和花样游泳各２项，金牌之多仅次于田径比赛。
????奥运会竞技游泳主要采用四种姿势比赛，即自由泳、仰泳、蛙泳和蝶泳。自由泳俗称“爬泳”，是竞技游泳中速度最快的泳姿，行进时两臂轮流由前向后滑行，动作像爬行。
????仰泳俗称“背泳”，游进时，两腿交替上下打水，由大腿发力带动小腿，上踢下压，以提高身体位置，并起推进作用。
????蛙泳模仿青蛙游水动作而取名，游进时人体俯卧水面，一次划臂配合一次蹬腿和呼吸，构成一个完整动作。
????蝶泳身体俯卧于水面，两腿对称做屈伸的蹬水（或上下打水）动作，两臂同时由前向后下方划水，再提出水面顺身体两侧向前挥摆入水同时吸气。
????竞技游泳所含３４个小项是：自由泳——男、女５０米、１００米、２００米、４００米，女子８００米、男子１５００米；仰泳——男、女１００米、２００米；蛙泳——男、女１００米、２００米；蝶泳——男、女１００米、２００米；个人混合泳——男、女２００米、４００米；自由泳接力——男、女４Ｘ１００、４Ｘ２００米；混合泳接力——男、女４Ｘ１００米；男、女１０公里马拉松游泳。
北京奥运会竞技游泳比赛在北京奥林匹克公园的国家游泳馆举行，该馆拥有国际标准的游泳池，长50米、宽25米、水深2米、泳道8条，每条宽2.5米；男、女10公里马拉松游泳比赛将在北京顺义的奥林匹克水上公园里举行。
小泽征尔是世界著名的音乐指挥家。意大利的米兰斯拉歌剧院和美国大都会
一次，他去欧洲参加音乐指挥家大赛，决赛时他被安排在最后进行表演。
小泽征尔拿到评委交给的乐谱后，稍做准备，便全神贯注地指挥起来。突然
面对几百名国际音乐界的权威人士，他难免对自己的判断产生了犹豫。但!一定是乐谱错了!”他话音刚落，评委们立即站立起来，向他报以热烈的掌声。
原来这是评委们精心设计的一个圈套，以试探指挥家们在发现错误而权威人
自信是成功的必备要素，是为人生开启的一道亮丽风景。任何时候，不管自已是汲汲无名还是鼎鼎大名，只要有自信作支撑，只要敢于大声宣告“我是对的”，我们的生命就会发光发亮。
在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！——爱因斯坦
学而思教育五升六竞赛123班第三讲教师版Page39
第三讲
行程之多人多次相遇
教学目标
经典精讲
巩固精练
专题回顾
环形跑道行程
附加题目
钟面行程问题
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