1
8-8矩阵位移法的计算步骤及示例
?矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩、。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力、等效结点荷载F
E
及综合
结点荷载F。
)(e
k
)(e
k
)(
F
e
F
2
（5）引入支承条件，修改结构原始刚度方程
（针对于后处理法）。
（6）解算结构刚度方程，求出结点位移。
（7）计算各单元杆端力。
Δ
)(e
F
3
计算程序的主框图及算例
计算程序的主框图及算例
开始
数据文件准备单元刚度矩阵荷载矩阵集成约束处理程序
求各单元杆端力
计算结果输出
结束
解方程求位移
K
F
离散化
FKΔ
1?
=
e
F
单元
分析
整体分析
单元
分析
刚度矩阵集成
4
数据文件准备变量和数组说
明
建立输入文件
生成结点、单元、坐标信息
离散化
5
调用单元刚度
生成子程序
调用座标转换
子程序
调用矩阵相乘
子程序
e
k
e
T
e
e
ee
TkTk
T
=
单元分析
6
刚度矩阵集成调用单元刚度
生成子程序
∑
=
e
kK
e
k
整体分析
调用结点、单元、坐标信息
子程序
e
λ
7
荷载矩阵集成调用固端力生
成子程序
调用座标转换
子程序
整体分析
e
F
F
e
T
T
e
ee
F
FT=?
F
调用矩阵相乘
子程序
8
杆端力计算和
输出
调用矩阵乘法
子程序
调用单元刚度
生成子程序
调用座标转换
子程序
调用固端力生
成子程序
单元分析
)(
F
)()(
)()(e
ee
ee
FδTkF+=
9
矩阵位移法示例1
?试用矩阵位移法计算图示的三跨连续梁，绘
出M图。设EI=常数。
10
（1）对结点和单元进行编号
?对于连续梁来说，各单元的整体坐标系和局
部坐标系重合，因而没有坐标变换问题。本
题采用右手坐标系。
11
（2）形成各单元的单元刚度矩阵
2
1
42
24
)1()1(
)1()1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
3
2
42
24
22
22
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
)()(
)()(
)(
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
4
3
42
24
33
33
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
)()(
)()(
)(
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
34
12
23
12
（3）集成结构刚度矩阵K
?由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位
向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度
矩阵K为4阶方阵。
4
3
2
1
42
00
2442
0
0
2442
00
24
33
3322
2211
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
)()(
)()()()(
)()()()(
)()(
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
K
1234
(1)
k
(2)
k
(3)
k
13
?将各杆所需有关数据计算如下：
mkN1002
4
1
?×=.
l
EI
)(
mkN1001
4
2
?×=.
l
EI
)(
mkN1003
4
3
?×=.
l
EI
)(
14
?将上述数据代入K中，得
?由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵，
由此组集而成的结构刚度矩阵K也是非奇异
的，故无需再进行支座约束条件处理。
mkN10
012060000
060160200
000201204
00000408
4
?×
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
....
....
....
....
K
15
（4）计算固端力列阵及等效结点
荷载列阵。
mkN?
?
?
?
?
?
?
?
=
300
300
F
(2)
F
②单元的固端力列阵
等效结点荷载列阵：
()mkN10003030
2
T
?×?=..F
12
16
（5）解方程求未知结点位移
rad10
43.1
86.2
57.3
78.1
3
4
3
2
1
1??
×
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
θ
θ
θ
θ
FKΔ
FKΔ=
17
（6）计算各单元杆端弯矩
?各单元的杆端弯矩为：
2
1
1111
?
?
?
?
?
?
==
θ
θ
)()()()(
kδkF
mkN
214
0
10
3.57-
1.78
mkN10
84
48
34
?
?
?
?
?
?
?
?
=×
?
?
?
?
?
?
?×
?
?
?
?
?
?
=
?
18
(2)
F
3
2
2(2)
F
222
+
?
?
?
?
?
?
=+=FkFδkF
θ
θ
)()()()(
300
300
10
2.86
3.57-
mkN10
42
24
34
?
?
?
?
?
?
?
+×
?
?
?
?
?
?
?×
?
?
?
?
?
?
=
?
mkN
257
214
?
?
?
?
?
?
?
?
=
19
4
3
3333
?
?
?
?
?
?
==
θ
θ
)()()()(
kδkF
mkN
0
257
10
1.43-
2.86
mkN10
126
612
34
?
?
?
?
?
?
?
=×
?
?
?
?
?
?
?×
?
?
?
?
?
?
=
?
20
连续梁的最后弯矩图
21
矩阵位移法示例2
?试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。单元
①、②的截面面积为A，单元③的截面面积
为2A，各杆E相同。
22
（1）对结点和单元进行编号
?解：（1）对结点和单元进行编号并选定整体
坐标系和局部坐标系。各杆杆轴上的箭头方
向为方向，此题采用前处理法，对结点位移
分量编号时位移为零的一律编为零码。
18
19
20
23
24
25
23
（2）形成局部坐标系中的单刚
?桁架各杆单元的单元刚度矩阵为4×4阶的，
即：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
0000
0101
0000
0101
)(
)(
)(
e
e
e
l
EA
k
24
（3）计算结构坐标系中的单刚
?单元(1)：
D
30θ
(1)
=
2/1θsin=
2/3θcos=
)(
)(
T)()(e
e
ee
TkTk=
2
1
0
0
1313
3333
1313
3333
8
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
=
l
EA
k
0012
25
计算结构坐标系中的单刚
?单元(2)：
2
1
0
0
22222222
22222222
22222222
22222222
8
)2(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
=
l
EA
k
0012
D
45θ
(2)
=
2/2θsin=
2/2θcos=
26
计算结构坐标系中的单刚
?单元(3)：
0012
2
1
0
0
160160
0000
160160
0000
8
)3(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
l
EA
k
D
90θ
(3)
=
1θsin=
0θcos=
27
（4）集成结构刚度矩阵K
?由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位
向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度
矩阵K为2阶方阵。
12
2
1
478552570060
570060728550
?
?
?
?
?
?
=
..
..
l
EA
K
28
（5）解算结构刚度方程
?解算结构刚度方程，求出结点位移
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
478552570060
570060728550
P
1
1
F
v
u
..
..
l
EA
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
38497.0
67381.1
1
1
1
EA
lF
v
u
P
Δ
0
2
2
2
=
?
?
?
?
?
?
=
v
u
Δ
0
3
3
3
=
?
?
?
?
?
?
=
v
u
Δ
0
4
4
4
=
?
?
?
?
?
?
=
v
u
Δ
29
（6）计算各杆轴力
1
2
)1()1()1()1()1(
)1(
?
?
?
?
?
?
==
Δ
Δ
kTδkTF
P
038497.
67381.1
0
0
1313
3333
1313
3333
8
2/32/100
2/12/300
002/32/1
002/12/3
EA
lF
l
EA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
P
0
6285.0
0
6285.0
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
（拉力）
30
1
3
22222
2
)()()()()(
)(
?
?
?
?
?
?
==
Δ
Δ
kTδkTF
P
038497
673811
0
0
22222222
22222222
222212
22222222
8
222200
222200
002222
002222
.
.EA
lF
l
EA
//
//
//
//
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
P
0
64420
0
64420
F
.
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
（拉力）
31
P
038497
673811
0
0
160160
0000
160160
0000
8
0100
1000
0001
0010
.
.EA
lF
l
EA
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
4
33333
3
)()()()()(
)(
?
?
?
?
?
?
==
Δ
Δ
kTδkTF
P
0
76990
0
76990
F
.
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
（压力）
32
矩阵位移法示例3
?试求图示刚架的内力。各杆材料及截面均相
同，E＝200GPa，I=32×10-5m
4
，
A＝1×10-2m
2
。
33
（1）对结点和单元进行编号
?此题采用后处理法，结点位移分量编号、结
构坐标系、各单元的局部坐标系如图所示。
30
32
35
36
37
34
（2）形成局部坐标系中的单刚
?先将所需有关数据计算如下：
kN/m10500
3
×=
l
EA
kN/m1012
12
3
3
×=
l
EI
kN1024
6
3
2
×=
l
EI
mkN1064
4
3
?×=
l
EI
mkN1032
2
3
?×=
l
EI
35
单元①②和③：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
===
6424032240
2412024120
0050000500
3224064240
2412024120
0050000500
10
3
)3()2()1(
kkk
36
（3）计算结构坐标系中的单刚
?单元②和③
?坐标转换矩阵为：
D
90θθ
(3)(2)
==
0θcos=1θsin=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
100
001
010
100
001
010
)3()2(
0
0
TT
37
计算结构坐标系中的单刚
==
)3(
)3(
T)3()3()2(
TkTkk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
=
6402432024
0500005000
2401224012
3202464024
0500005000
2401224012
10
3
对于单元①
D
0θ
(1)
=
，
IT=
)1(
)1(
)1(
kk=
38
（4）集成结构原始刚度矩阵K
结构原始刚度矩阵K为12×12阶方阵，它的每
个子快都是3×3阶方阵。根据各单元的始、
末两端i、j的结点号码，将各单元刚度矩阵
以四个子块形式表示，它们分别为：
43
3
2
)1(
33
)1(
32
)1(
23
)1(
22
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
=
kk
kk
k
2
1
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11
)2(
?
?
?
?
?
?
?
?
=
kk
kk
k
3
4
)3(
33
)3(
34
)3(
43
)3(
44
)3(
?
?
?
?
?
?
?
?
=
kk
kk
k
23
12
39
原始刚度矩阵K
?将以上各单刚子块对号入座即得原始刚度矩
阵K：
4
3
2
1
)3(
44
)3(
43
)3(
34
)3(
33
)1(
33
)1(
32
)1(
23
)1(
22
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
kk00
kkkk0
0kkkk
00kk
K
(1)
k
1234
(2)
k
(3)
k
40
原始刚度矩阵K
41
（5）计算各单元固端力、等效结
点荷载及综合结点荷载
?各单元在局部坐标系中的固端力为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
mkN50
kN50
0
mkN50
kN50
0
)1(
3F
)1(
2F
)1(
F
F
F
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
=
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
=
mkN40
kN60
0
mkN40
kN60
0
)2(
2F
)2(
1F
)2(
F
F
F
F
0
3
F
=
)(
F
42
43
42
单元等效结点荷载列阵
?将固端力变号并进行坐标转换，得到单元等
效结点荷载列阵
?对于单元①
)(
F
T)()(
E
e
ee
FTF?=
9
8
7
6
5
4
mkN50
kN50
0
mkN50
kN50
0
)1(
3E
)1(
2E
)1(
F
)1(
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
?
?
?
?
?
?
=?=
F
F
FF
43
单元等效结点荷载列阵
?单元②
D
90θ
)2(
=
6
5
4
3
2
1
mkN40
0
kN60
mkN40
0
kN60
)2(
2E
)2(
1E
)2(
F
T)2()2(
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
=
?
?
?
?
?
?
=?=
F
F
FTF
44
综合结点荷载列阵F
?将各单元等效结点荷载列阵按其右侧的单元
定位向量“对号入座”，集成、累加得到结构
等效结点荷载列阵F
E
。此时结点上尚有结点
荷载P
x2
作用，则将其一起组合为综合结点荷
载列阵F，即
PE
+=FFF
(
1Ry1Rx1
Mm40kNFF60kN+??+=
m50kN50kN0??
m10kN50kN110kN???
)
T
4Ry4Rx4
MFF
45
（6）引入支承条件，修改原始刚
度方程
?结构的原始刚度方程为
?结点1和4为固定端，故已知
F=KΔ
?
?
?
?
?
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?
=
?
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=
0
0
0
1
1
1
1
θ
v
u
Δ
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=
?
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?
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=
0
0
0
4
4
4
4
θ
v
u
Δ
46
?在原始刚度矩阵中删去与上述零位移对应的
行和列，同时在结点位移列向量和结点外力
列向量中删去相应的行，便得到修改后的结
构的刚度方程为
?
?
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?
3
3
3
2
2
2
3
128242432240
24512024120
24051200500
322401282424
24120245120
00500240512
10
50
50
0
10
50
110
θ
θ
v
u
v
u
47
（7）解方程，求得未知结点位移
?
?
?
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=
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?
?
?
?
?
?
rad4.508
m6.176
m6194
rad1164
m38.23
m6318
10
6
3
3
3
2
2
2
3
2
θ
θ
v
u
v
u
Δ
Δ
48
（8）计算各单元杆端力
?单元①：
D
0θ
)1(
=
IT=
)1(
+
?
?
?
?
?
?
=+=+=
)1(
F
3
2
)1()1(
F
)1(
)1()1(
F
)1()1(
)1()1(
F
Δ
Δ
kFδkFδTkF
?
?
?
?
?
?
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?
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+
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???
?
?
?
?
=
?
mkN1.116
kN3.88
kN0.62
mkN1.37
kN7.11
kN0.62
50
50
0
50
50
0
4.508
6.176
6194
1164
38.23
6318
10
6424032240
2412024120
0050000500
2424064240
2412024120
0050000500
10
63
49
单元②：
D
90θ
)2(
=
+
?
?
?
?
?
?
=+=
)2(
F
2
1
)2(
)2()2(
F
)2()2(
)2()2(
F
Δ
Δ
TkFδTkF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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+
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
=
?
40
60
0
40
60
0
1164
38.23
6318
0
0
0
10
100
001
010
100
001
010
6424032240
2412024120
0050000500
2424064240
2412024120
0050000500
10
63
0
0
50
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
mkN1.37
kN1.12
kN7.11
mkN4.154
kN9.107
kN7.11
51
单元③：
D
90θ
)3(
=
?
?
?
?
?
?
==
3
4
)3(
)3(
)3()3(
)3()3(
Δ
Δ
TkδTkF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
=
?
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?
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?
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?
?
?
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
=
??
?
mkN1.116
kN1.62
kN3.88
mkN4.132
kN1.62
kN3.88
4.508
6.176
6194
0
0
0
10
100
001
010
100
001
010
6424032240
2412024120
0050000500
2424064240
2412024120
0050000500
10
63
0
0
52
刚架的弯矩图
53
一
一
.离散化
离散化
1.不计轴变时先处理法的结点位移编码
X
Y
?
1
2
3
4
(0,0,1)
(0,2,3)
(0,2,4)
(0,0,0)
2.计轴变时先处理法的
结点位移编码
1
2
3
4
5
(0,0,1)
(2,3,4)
(5,6,7)
(0,8,0)
(9,0,10)
矩阵位移法习题讨论
矩阵位移法习题讨论
54
二
二
.单元分析
单元分析
{}[]{}
ee
e
Tδδ=
1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?
2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵?
23
k3.单刚元素的物理意义是什么?
4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵?
5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?
6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗?
7.试写出自由式单元坐标转换矩阵.
[]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
αα
αα
αα
αα
e
T
55
二
二
.单元分析
单元分析
2/2)45sin(
2/2)45cos(
12
11
?=?=
=?=
D
D
T
T
8.求图示结构2单元的坐标转换矩阵中的元素
1211
,TT
[]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
αα
αα
αα
αα
e
T
1
2
aa
a
右手系
2245
2245
12
11
/)sin(
/)cos(
==
==
D
D
T
T
左手系
56
三
三
.整体分析
整体分析
1.结构刚度方程是整体结构所应满足的变形
协调条件吗?
[]{}{}PK=Δ
2.总刚元素的物理意义是什么?
23
K
3.试写出图示刚架2单元的单元定位向量.
X
Y
?
1(1,0,2)
2(0,3,4)
3(5,6,7)
4(0,0,0)2
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
3
0
7
6
5
1(1,2,3)
2(4,5,6)
3(7,8,9)
4(10,11,12)
2
13
4.图示结构2单元的整体单刚元素
应放在总刚的什么位置?
23
k
57
三
三
.整体分析
整体分析
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
8
7
6
5
4
1(1,2,3)
2(4,5,6)
3(7,8,9)
4(10,11,12)
2
13
4.图示结构2单元的整体单刚元素
应放在总刚的什么位置?
23
k
第5行第6列
58
1(1,2)
2(3,4)
3(5,6)4(7,8)
l
l
X
Y
三
三
.整体分析
整体分析
5.试求总刚元素
EA=常数
65
K
1Δ
5
=
65
K
65
K
2
2
2
?
l
EA
l
EA
K??=
4
2
65
6.先处理法求图示结构总刚
(不计轴变)
∞=
1
EI
EI
EIEIl
ll
1
2
2
2
2
59
三
三
.整体分析
整体分析
1Δ
1
=
11
K
[][]
3
36lEI/=K
∞=
1
EI
EI
EIEIl
ll
1(0,0,0)
2(0,0,0)3(0,0,0)
4(1,0,0)5(1,0,0)6(1,0,0)
l
i6
l
i6
60
例求图示桁架结构刚度矩阵
结构刚度矩阵有1个元素
2m
3m3m
A
B
C
D
EAEA
EA
x
y
M,
θ
3
2
11
EA
K=
K
11
其数值等于:
l
EA
1
1
=δ
l
EA
61
例
图示结构，图中圆括号内数码为结点定位向
量(力和位移均按竖直，转动方向顺序排
列)。求结构刚度矩阵[K]中元素
KK
1112
,
2m2m
2i
(0,0)(1,2)(0,3)
i
x
y
M,
θ
Ki
11
9=,
Ki
12
3=
2ii
i6
i3
12
K
11
K
62
三
三
.整体分析
整体分析
7.先处理法求图示结构总刚(不计轴变)
EI
EI
EI
l
l
1(0,0,0)
2(1,0,2)3(1,0,3)
4(0,0,0)
63
三
三
.整体分析
整体分析
2
11
24liK/=
EI
EI
EI
l
l
1(0,0,0)
2(1,0,2)3(1,0,3)
4(0,0,0)
1
1
=Δ
11
K
l
i6
31
K
21
K
11
K
2
12
l
i
liK/6
21
=
liK/6
31
=
[]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
iili
iili
lilili
K
826
286
6624
2
/
/
///
64
三
三
.整体分析
整体分析
8.等效结点荷载的数值等于汇交于该结点的所有单元固端力
之和.此结论对否?
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
40
30
20
10
P
9.试求图示结构的荷载列阵(先处理法).
6m
8m
4
3
1
2
X
Y
20kN
10kN
30kN
40kN
65
三
三
.整体分析
整体分析
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
8/
8/12/
12/
2
2
Pl
Plql
ql
P
10.试求图示结构的荷载列阵(先处理法).
P
q
ll/2ll/2
P
q
12/
2
ql
8/12/
2
Plql?
8/Pl
11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).
kN2
8m8m8m
kN4
mkN?5
mkN/12
66
三
三
.整体分析
整体分析
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
0
5
2
D
P
11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).
kN2
8m8m8m
kN4
mkN?5
mkN/12
1(0,0,0)
2(0,1,2)3(0,0,3)
4(0,0,0)
mkN/12
6412/
2
=ql
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
64
0
0
E
P{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
64
5
2
P
67
三
三
.整体分析
整体分析
12.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
0
0
21
XX
P
1
X
1(1,0,2)2(1,0,3)
3(1,0,3)
4(0,0,0)
2
X
四
四
.求杆端力
求杆端力
1.连续梁在一般荷载作用下,单元杆端力由下式计算.
是否正确?
{}[]{}
eee
kFδ={}
e
F
F+
68
2.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为
求:1单元的杆端力
{}[]
T
iqliql368/5552/7
22
?=Δ
1(0,0,0)
2(0,0,0)
3(0,0,1)4(0,0,2)
2
13
5(0,0,0)
4
q
ql
l
ll/2l/2
69
1(0,0,0)
2(0,0,0)
3(0,0,1)4(0,0,2)
2
13
5(0,0,0)
4
q
ql
l
ll/2l/2
{}[]{}{}
)1(
F
)1()1()1(
FkF+=δ
ql
iql552/7
2
iql552/7
2
iqli552/74
2
×
iqli552/72
2
×
iql
l
i
552/7
6
2
×
ql
2
ql
2
ql
8
2
ql
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
+
+
=
811387
21927
812767
21927
F
1
//
//
//
//
)(
{}[]
T
iqliql368/5552/7
22
?=Δ
70
3.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为
求:1单元的杆端力
{}[]
T
112/50112/17000iPliPl=Δ
21
P
l/2
P
Pl
l/2l/2l/2
iPl11217/
iPli112174/×
iPli112172/×
P
8
Pl
{}Pl
8
1
112
34
8
1
112
34
F
1
×
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=
)(
8
Pl
71
例
忽略轴向变形的竖直杆单元，求在图示整
体坐标中的单元刚度矩阵的第1列元素。
l
EI
j
i
x
y
M,
θ
)(δF
(e)(e)
22
)(δF
(e)(e)
33
)(δF
(e)(e)
44
)(δF
(e)
1
(e)
1
72
12
3
EI
l
6
2
EI
l
?
12
3
EI
l
?
6
2
EI
l
?
=
11
k
=
21
k
=
31
k
=
41
k
1
1
=
(e)
δ
2
6
l
EI
2
6
l
EI
3
l
12EI
3
l
12EI
73
思考：
平面杆件结构用后处理法建立的原始
刚度方程组，
A．可求得全部结点位移；
B．可求得可动结点的位移；
C．可求得支座结点位移；
D．无法求得结点位移。()D
74
思考：
图示结构整体坐标系以子块形式表
示的单元刚度矩阵为：
[]
K
KK
KK
e
iiij
jijj
e
=
?
?
?
?
?
?
?
?
KKKK
KK
11111213
2122
3133
0
①②②①
②②
①①
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
()
3
1
2
①
②
，则结构刚度矩阵为：
X
75
思考：
结构原始刚度矩阵中，元素
54
K的物理意义
时，
所应有的数值。
1
4
=Δ
5
力的生产向方5号编在P
就是
|
|
