同济二附中2011学年度下学期高二期末
数学试题
（本卷满分100分，考试时间：90分钟）
题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 得分
一、填空题：（每题3分，共36分）
1、若直线的一个法向量为，则直线的斜率为.
2、椭圆的焦距为．被圆所截得的弦长等于．
4、把∠A=60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则折后A、C两点的距离为___________
5、一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为________
6、长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的体积是_
7、已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点．
则椭圆的方程是____________________；
8．，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所
成角的余弦值为________．
9、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，
率则双曲线的标准方程为。
10．从一个底面半径和高都是的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底,下底面的中心为顶
点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是________.
11.在北纬圈上有两点，若该纬度圈上两点间的劣弧长为为地球的
半径，则两点间的球面距离是.
12、已知a、b是直线，、、是平面，给出下列命题：
①若∥，a，则a∥②若a、b与所成角相等，则a∥b
③若⊥、⊥，则∥④若a⊥,a⊥，则∥
其中正确的命题的序号是____________。
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．“”是“直线和直线平行”的()
A．B．C．D．、、，若，则；
D.对于直线、、，若，则.
15、如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）
A、BD∥平面CB1D1B、AC1⊥BD
C、AC1⊥平面CB1D1D、异面直线AD与CB1角为60°
16．若双曲线和双曲线的焦点相同，且，给出下列四个结论：
①；②；③；④；
其中所有正确的结论序号是（）
A.①②B,①③C.②③D.①④
三、解答题
17、已知在正四棱锥－中（如图），，其体积为4，
求异面直线与所成角
求证：平面BCD；
19、已知点在抛物线:上运动，
(1).求的准线方程；
(2).已知点的坐标为，为抛物线的焦点,求的最小值，并求此时点的坐标；
20、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
（1）求证：
（2）求二面角B—AC—D1的大小（结果用反三角函数值表示）
21、如图，已知椭圆的左右焦点分别为、，椭圆的下顶点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．
（1）若点P的坐标是(0,1)，求圆的方程；
（2）当圆的面积为时，求所在直线的方程；
（3）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切．请写出你的探究过程．
同济二附中2011学年高二期末数学试题及答案
一、填空题：（每题3分，共36分）
1、若直线的一个法向量为，则直线的斜率为.
2、椭圆的焦距为2．被圆所截得的弦长等于．2
4、把∠A=60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则折后A、C两点的距离为___________a
5、一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为_________
6、长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的体积是_
7、已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点．
则椭圆的方程是____________________；
8．，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所
成角的余弦值为________．
9、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，
率则双曲线的标准方程为。
10．从一个底面半径和高都是的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底,下底面的中心为顶
点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是________.
11.在北纬圈上有两点，若该纬度圈上两点间的劣弧长为为地球的
半径，则两点间的球面距离是.
12、已知a、b是直线，、、是平面，给出下列命题：
①若∥，a，则a∥②若a、b与所成角相等，则a∥b
③若⊥、⊥，则∥④若a⊥,a⊥，则∥
其中正确的命题的序号是_____(1)(4)___________。
二、选择题（每小题3分，共12分）
14．“”是“直线和直线平行”的(A)
A．B．C．D．、、，若，则；
D.对于直线、、，若，则.
15、如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（D）
A、BD∥平面CB1D1B、AC1⊥BD
C、AC1⊥平面CB1D1D、异面直线AD与CB1角为60°
16．若双曲线和双曲线的焦点相同，且，给出下列四个结论：
①；②；③；④；
其中所有正确的结论序号是（）B
A.①②B,①③C.②③D.①④
三、解答题
17、已知在正四棱锥－中（如图），，其体积为4，
求异面直线与所成角异面直线与所成角，底边长为,
则依题意得……4分
故，
……7分
∥，故直线与所成角为所求……9分
．……12分
18、如图，四面体ABCD中，O分别是BD的中点，
求证：平面BCD；
19、已知点在抛物线:上运动，
(1).求的准线方程；
(2).已知点的坐标为，为抛物线的焦点,求的最小值，并求此时点的坐标；
(1)【解】.由得所以准线为……3分
(2)【解】.由得所以,焦点坐标为……4分
由作准线的垂线,垂足为,当且仅当三点共线时,
的最小值，为,……7分
此时点的坐标为……9分
20、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
（1）求证：
（2）求二面角B—AC—D1的大小（结果用反三角函数值表示）
（1）证明：连接，则
又因为在平面内，所以
（2）连接DB，DB与AC交城点O，连接DO，，则OB
是二面角B—AC—D1的平面角，设正方体的棱长为a,
二面角B—AC—D1的大小为
21、如图，已知椭圆的左右焦点分别为、，椭圆的下顶点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．
（1）若点P的坐标是(0,1)，求圆的方程；
（2）当圆的面积为时，求所在直线的方程；
（3）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切．请写出你的探究过程．
（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的端轴顶点，的坐标是于是点的坐标为，…………（2分）
圆的方程为．……（4分）
解法二：设，因为圆过原点，所以，
于是点的坐标为，…………（2分）
圆的方程为．……（4分）
（2）设圆的半径为，由题意，，，所以…（5分）
设，则．………………………………………（6分）
联立，解得（舍去），……………………（7分）
所以点或．………………………（8分）
所以或，…………………………（9分）
所以直线的方程为或………………（10分）
注：直线方程也可写成其他形式，如：与等．
少一个解，得4分．
（3）以原点为圆心，为半径的定圆始终与圆相内切．
定圆的方程为．……………………………………（12分）
探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，
因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．……………………………（16分）
第1页共9页
学校姓名班级学号考场号__________座位号____________
装订线内请勿答题
C
A
D
B
图（10）
D
P
C
B
A
图（10）
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
·
O
x
y
A
M
F1
F2
·
·
P
·
O
D
P
C
B
A
C
A
D
B
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
·
O
x
y
A
M
F1
F2
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P
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