高等数学复习公式
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高等数学公式
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanαcosα
cosα=cotαsinα
tanα=sinαsecα
cotα=cosαcscα
secα=tanαcscα
cscα=secαcotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
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tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
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·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算
[编辑本段]
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
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π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
部分高等内容
[编辑本段]
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'''';y=y''''''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a0`30`45`60`90`
sina01/2√2/2√3/21
cosa1√3/2√2/21/20
tana0√3/31√3None
cotaNone√31√3/30
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导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
22
2
21
2
21
1cos
1
2sin
u
dudxxtgu
u
ux
u
ux
+==+
?=
+=，，，
axx
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1)(log
ln)(
csc)(csc
sec)(sec
csc)(
sec)(
2
2
=′
=′
??=′
?=′
?=′
=′
2
2
2
2
1
1)(
1
1)(
1
1)(arccos
1
1)(arcsin
xarcctgx
xarctgx
x
x
x
x
+?=′
+=′
?
?=′
?
=′
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
+±+=
±
+=
+=
+=
+?=?
+=?
+?==
+==
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
Caadxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdxxdx
Ctgxxdxxdx
x
x
)ln(
ln
csccsc
secsec
cscsin
seccos
22
22
2
2
2
2
Cax
xa
dx
Cxaxaaxadx
Caxaxaaxdx
Caxarctgaxadx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
+=
?
+?+=?
++?=?
+=+
+?=
++=
+=
+?=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
arcsin
ln21
ln21
1
csclncsc
seclnsec
sinln
cosln
22
22
22
22
∫
∫
∫
∫∫
++?=?
+?+??=?
+++++=+
?===
?
Caxaxaxdxxa
Caxxaaxxdxax
Caxxaaxxdxax
InnxdxxdxInnnn
arcsin22
ln22
)ln(22
1cossin
2
2222
22
2
2222
22
2
2222
2
2
0
2
0
pp
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一些初等函数：两个重要极限：
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角Asincostgctg
-α-sinαcosα-tgα-ctgα
90°-αcosαsinαctgαtgα
90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα
180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα
180°+α-sinα-cosαtgαctgα
270°-α-cosα-sinαctgαtgα
270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα
360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα
360°+αsinαcosαtgαctgα
·和差角公式：·和差化积公式：
2sin2sin2coscos
2cos2cos2coscos
2sin2cos2sinsin
2cos2sin2sinsin
bababa
bababa
bababa
bababa
?+=?
?+=+
?+=?
?+=+
ab
baba
ba
baba
bababa
bababa
ctgctg
ctgctgctg
tgtg
tgtgtg
±
?=±
?
±=±
=±
±=±
1)(
1)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
μ
μ
μ
x
xarthx
xxarchx
xxarshx
ee
ee
chx
shxthx
eechx
eeshx
xx
xx
xx
xx
?
+=
?+±=
++=
+
?==
+=
?=
?
?
?
?
1
1ln
2
1
)1ln(
1ln(
:
2:
2:
2
2）
双曲正切
双曲余弦
双曲正弦
...590457182818284.2)11(lim
1sinlim
0
==+
=
∞→
→
ex
x
x
x
x
x
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·倍角公式：
·半角公式：
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
aa
aaaa
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
2
cos1
2cos2
cos1
2sin
?=
+=
?
+±=
+=
?=
+
?±=
+±=?±=
ctgtg
·正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin===·余弦定理：Cabbaccos2222?+=
·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx?=?=2arccos2arcsinpp
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvukknnnvunnvnuvu
vuCuv
+++??++′′?+′+=
=
???
=
?∑
ΛΛΛ
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当
柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
=
′
′=
?
?
?′=?
)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
x
x
x
曲率：
a
aaa
aaa
aaa
2
3
3
3
31
33
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tg
tgtgtg
?
?=
?=
?=
a
aa
a
aa
aaaaa
aaa
2
2
2222
1
22
2
12
sincossin211cos22cos
cossin22sin
tg
tgtg
ctg
ctgctg
?=
?=
?=?=?=
=
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.1
;0
.
)1(
limM
sMM:.
,1
320
2
aKa
K
y
y
ds
d
sK
MMsK
tgydxyds
s
=
=
′+
′′==
?
?=
′?′???=
=′′+=
→?
的圆：半径为
直线：
点的曲率：
弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：
其中弧微分公式：
aa
aa
a
定积分的近似计算：
∫
∫
∫
??
?
?
+++++++++?≈
++++?≈
+++?≈
b
a
nnn
b
a
nn
b
a
n
yyyyyyyynabxf
yyyynabxf
yyynabxf
)](4)(2)[(3)(
])(21[)(
)()(
1312420
110
110
ΛΛ
Λ
Λ
抛物线法：
梯形法：
矩形法：
定积分应用相关公式：
∫
∫
?
?=
=
?=
?=
b
a
b
a
dttfab
dxxfaby
krmmkF
ApF
sFW
)(1
)(1
,
2
2
21
均方根：
函数的平均值：
为引力系数引力：
水压力：
功：
空间解析几何和向量代数：
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。代表平行六面体的体积
为锐角时，向量的混合积：
例：线速度：
两向量之间的夹角：
是一个数量
轴的夹角。与是向量在轴上的投影：
点的距离：空间
aa
q
q
q
jj
,cos)(][
..sin,
cos
,,cos
PrPr)(Pr
,cosPr
)()()(2
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
u
?????????
?????????
????
????
?×==?×=
×=?==×=
++?++
++=
++=?=?
+=+
?=
?+?+?==
（马鞍面）双叶双曲面：
单叶双曲面：
、双曲面：
同号）（、抛物面：
、椭球面：
二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：
面的距离：平面外任意一点到该平
、截距世方程：
、一般方程：
，其中、点法式：
平面的方程：
1
1
3
,,222
11
};,,{,
13
02
),,(},,,{0)()()(1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
=+?
=?+
=+
=++
??
???
+=
+=
+=
==?=?=?
++
+++=
=++
=+++
==?+?+?
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
qpzqypx
c
z
b
y
a
x
ptzz
ntyy
mtxx
pnmstpzznyymxx
CBA
DCzByAxd
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
?
?
多元函数微分法及应用
高等数学复习公式
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z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
zzyxF
dx
dy
F
F
yF
F
xdx
yd
F
F
dx
dyyxF
dyyvdxxvdvdyyudxxudu
yxvvyxuu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
zyxvyxufz
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dztvtufz
yyxfxyxfdzz
dzzudyyudxxududyyzdxxzdz
?=???=??=
???????=?==
?
?+
?
?=
?
?+
?
?=
==
?
??
?
?+
?
??
?
?=
?
?=
?
??
?
?+
?
??
?
?==
?+?=≈?
?
?+
?
?+
?
?=
?
?+
?
?=
，，隐函数
＋，，隐函数
隐函数的求导公式：
时，，当
：多元复合函数的求导法
全微分的近似计算：
全微分：
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GFJ
vuyxG
vuyxF
vu
vu
?
???=
?
?
?
???=
?
?
?
???=
?
?
?
???=
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
=??=
??
?
=
=
隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
),,(),,(),,(3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,0),,(0),,(
0))(())(())((
)()()(),,()()(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000000
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FFT
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xxzyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
?=?=?
=?+?+?
=
=
??
???=
=
=
=?′+?′+?′
′
?=
′
?=
′
?
??
???
=
=
=
、过此点的法线方程：
：、过此点的切平面方程
、过此点的法向量：
，则：上一点曲面
则切向量若空间曲线方程为：
处的法平面方程：在点
处的切线方程：在点空间曲线
?
?
wyj
wyjwy
j
方向导数与梯度：
高等数学复习公式
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上的投影。在是
单位向量。
方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是
的梯度：在一点函数
的转角。轴到方向为其中
的方向导数为：沿任一方向在一点函数
lyxflf
ljieeyxflf
jyfixfyxfyxpyxfz
lx
y
f
x
f
l
flyxpyxfz
),(grad
sincos),(grad
),(grad),(),(
sincos),(),(
?
?∴
?+?=?=??
?
?+
?
?==
?
?+
?
?=
?
?=
????
??
jj
j
jj
多元函数的极值及其求法：
?
?
?
?
??
?
?
?
=?
??
?
>
<>?
=====
不确定时
值时，无极
为极小值
为极大值时，
则：
，令：设
,0
0
),(,0
),(,00
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
002
0000000000
BAC
BAC
yxA
yxABAC
CyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx
重积分及其应用：
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
++
?=
++
=
++
=
=>
==
====
???
?
???
?
?
?+?
?
??
?
?
?
?+==
=
′
D
z
D
y
D
x
zyx
D
y
D
x
D
Dy
D
x
D
DD
ayx
xdyxfaF
ayx
ydyxfF
ayx
xdyxfF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
My
dyx
dyxx
M
Mx
dxdyyzxzAyxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
2222
3
2222
3
222
22
D
22
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
srsrsr
srsr
sr
sr
sr
sr
qqq
，，
，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于
轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：
平面薄片的重心：
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标：
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∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
???
????
??
??
+=+=+=
=====
==
=???=
??
???
=
=
=
=
=
??
???
=
=
=
dvyxIdvzxIdvzyI
dvxMdvzMzdvyMydvxMx
drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
zrrfzrF
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
zyx
r
rrr
rrrr
jqjjqqjjqj
qjjqjj
j
qj
qj
qqq
qqq
q
ppqj
)()()(
1,1,1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
00
),(
0
22
2
，，转动惯量：
，其中重心：
，球面坐标：
其中：
柱面坐标：
曲线积分：
??
?
=
=<′+′=
≤≤
??
?
=
=
∫∫)()()()()](),([),(
),(,)()(),(
22
ty
txdtttttfdsyxf
ttytxLLyxf
Lj
bayjyj
bayj
b
a
特殊情况：
则：的参数方程为：上连续，在设
长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧
高等数学复习公式
第13页共19页
。，通常设
的全微分，其中：才是二元函数时，＝在
：二元函数的全微分求积
注意方向相反！减去对此奇点的积分，
，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、
是一个单连通区域；、
无关的条件：平面上曲线积分与路径
的面积：时，得到，即：当
格林公式：格林公式：
的方向角。上积分起止点处切向量
分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关
，则：的参数方程为设
标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
12,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),(00
==+=
+????
?
?
?
?
?===?????=?=
+=?????+=?????
+=+
′+′=+
??
?
=
=
∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫
∫∫
yxdyyxQdxyxPyxu
yxuQdyPdxyPxQ
y
P
x
QGyxQyxP
G
ydxxdydxdyADyPxQxQyP
QdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQ
L
dsQPQdyPdx
dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
txL
yx
yx
DL
DLDL
LL
L
baba
yyjjyj
y
j
b
a
曲面积分：
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++
±=
±=
±=
++
++=
dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,(22
gba系：两类曲面积分之间的关
号。，取曲面的右侧时取正
号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：对坐标的曲面积分：
对面积的曲面积分：
高斯公式：
高等数学复习公式
第14页共19页
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
?∑
∑∑∑
∑?∑
=
++==?
++=++=??+??+??
dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
R
y
Q
x
P
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP
n
n
?
??
??
div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成：因此，高斯公式又可写
，通量：
则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：
—通量与散度：—高斯公式的物理意义
gba
nn
gba
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
ΓΓ
∑∑
∑Γ
?=++Γ
?
?
?
?
?
?=
?
?=
?
?
?
?=
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
?
++=?????+?????+?????
dstARdzQdyPdxA
RQP
zyxA
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR
???
?
的环流量：沿有向闭曲线向量场
旋度：
，，关的条件：空间曲线积分与路径无
上式左端又可写成：
kji
rot
coscoscos
)()()(
gba
常数项级数：
是发散的调和级数：
等差数列：
等比数列：
n
nnn
q
qqqqnn
1
3
1
2
11
2
)1(321
1
1112
++++
+=++++
?
?=++++?
Λ
Λ
Λ
级数审敛法：
高等数学复习公式
第15页共19页
散。存在，则收敛；否则发
、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：
、比值审敛法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：
别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法
nnnn
n
n
n
nn
n
suuus
U
U
u
∞→
+
∞→
∞→
+++=
??
???
=
>
<
=
??
???
=
>
<
=
lim;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
21
1
Λ
r
r
r
r
r
r
r
r
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足
—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数
11
1
3214321
,0lim
)0,(
+
∞→
+≤≤
??
???
=
≥
>+?+?+?+?
nnn
nn
nn
n
urrusuuu
uuuuuuuuΛΛ
绝对收敛与条件收敛：
∑
∑
∑∑
>
≤
?
+++++
++++
时收敛
１时发散ｐ级数：
收敛；级数：
收敛；发散，而调和级数：
为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果
收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果
为任意实数；，其中
1
1
1
)1(1
)1()1()2(
)1()2(
)2(
)1(
2
321
21
pnp
n
nn
uuuu
uuuu
p
n
n
nn
ΛΛ
ΛΛ
幂级数：
高等数学复习公式
第16页共19页
0
0
10
)3(lim
)3(
1
1
11
1
1
1
2
210
32
=+∞=
+∞==
=≠
=
=
>
<
+++++
≥
?<++++++
+
+
∞→
R
R
R
aaaa
R
Rx
Rx
Rx
R
xaxaxaa
x
xxxxxx
nn
n
n
n
n
n
n
时，
时，
时，
的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设
称为收敛半径。，其中
时不定
时发散
时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存
收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数
时，发散
时，收敛于
r
r
rr
r
ΛΛ
ΛΛ
函数展开成幂级数：
ΛΛ
ΛΛ
+++′′+′+==
=?+=
+?++?′′+?=
∞→
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
xnfxfxffxfx
RxfxxnfR
xxnxfxxxfxxxfxf
!
)0(
!2
)0()0()0()(0
0lim)(,)()!1()(
)(!)()(!2)())(()(
)(
2
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
00
时即为麦克劳林公式：
充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：
函数展开成泰勒级数：
x
一些函数展开成幂级数：
)()!12()1(!5!3sin
)11(!)1()1(!2)1(1)1(
12
1
53
2
+∞<
<
?
?x
n
xxxxx
xxnnmmmxmmmxx
n
n
nm
ΛΛ
ΛΛΛ
欧拉公式：
???
???
?
?=
+=
+=?
?
2sin
2cossincos
ixix
ixix
ix
eex
eex
xixe或
三角级数：
。上的积分＝
在任意两个不同项的乘积正交性：
。，，，其中，
0
],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1
cossin
)sincos(2)sin()(
00
1
0
1
0
pp
wjj
jw
?
====
++=++=∑∑
∞
=
∞
=
ΛΛnxnxxxxx
xtAbAaaAa
nxbnxaatnAAtf
nnnnnn
n
nn
n
nn
傅立叶级数：
高等数学复习公式
第17页共19页
是偶函数，余弦级数：
是奇函数，正弦级数：
（相减）
（相加）
其中
，周期
∑∫
∑∫
∫
∫
∑
+====
====
=+?+?
=++++
=+++
=+++
?
?
?
???
?
==
==
=++=
?
?
∞
=
nxaaxfnnxdxxfab
nxbxfnxdxxfba
nnxdxxfb
nnxdxxfa
nxbnxaaxf
nnn
nnn
n
n
n
nn
cos2)(2,1,0cos)(20
sin)(3,2,1nsin)(20
124
1
3
1
2
11
64
1
3
1
2
11
246
1
4
1
2
1
85
1
3
11
)3,2,1(sin)(1
)2,1,0(cos)(1
2)sincos(2)(
0
0
0
2
222
2
222
2
222
2
22
1
0
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
周期为l2的周期函数的傅立叶级数：
高等数学复习公式
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?
?
?
???
?
==
==
=++=
∫
∫
∑
?
?
∞
=
l
l
n
l
l
n
n
nn
ndxlxnxflb
ndxlxnxfla
llxnblxnaaxf
)3,2,1(sin)(1
)2,1,0(cos)(1
2)sincos(2)(
1
0
Λ
Λ
其中
，周期
p
p
pp
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。
，代替分离变量，积分后将，，，则设
的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方
称为隐式通解。得：
的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程
或一阶微分方程：
uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyu
x
yyxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
?=∴=++==
==
+==
=
=+=′
∫∫
)()(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
jj
j
一阶线性微分方程：
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
≠=+
∫+∫=≠
∫==
=+
∫?
?
nyxQyxPdxdy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxPdxdy
n
dxxPdxxP
dxxP
，、贝努力方程：
时，为非齐次方程，当
为齐次方程，时当
、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。应该是该全微分方程的
，，其中：
分方程，即：中左端是某函数的全微如果
Cyxu
yxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
=∴
=??=??=+=
=+
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，
0)(
0)()()()(
2
2
≠
≡=++
xf
xfxfyxQ
dx
dyxP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
21
22
,)(2
,,()0)(1
,0()
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的两个根、求出
的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：
求解步骤：
为常数；，其中
?
′′′=++?
=+′+′′
高等数学复习公式
第19页共19页
式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(),321rr
的形式，21rr()式的通解
两个不相等实根)04(2>?qpxrxrececy2121+=
两个相等实根)04(2=?qpxrexccy1)(21+=
一对共轭复根)04(2
2
4
2
2
21
pqp
irir
?=?=
?=+=
ba
baba
，
，
)sincos(21xcxceyxbba+=
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数；型，
为常数，
]sin)(cos)([)(
)()(
,)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x
ww
l
l
l
+=
=
=+′+′′
|
|
