九年级数学竞赛专题第一讲因式分解
一、选择题
1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）
A．(2a+3)()2a-3)=4a-9;B．4m-9=(2m+3)(2m-3)
C．m-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D．2x(y+z)-3(y+z)=2xy+2xz–3y–3z
2．下面各式的因式分解中，正确的是（）
A．-7ab–14+49aby=7ab(1-2x+7y);B．
C．6;D．xy(x–y)–x(y–x)=x(x–y)(y–1)
3．下面各式的因式分解中，正确的是（）
A．
B．
C．
D．
4．下面各式的因式分解中，正确的是（）
A．ab–a+b+1=(a–1)(b+1)
B．4xy+1–4
C．3a–3b+3x–bx=(a–b)(3–x)
D．
5．下列因式分解的变形中，正确的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．在代数式中是完全平方式的是__________。
2．若：被2x–3除后余3，则商式是__________，且a=__________。
3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________。
4．乘积=________________。
5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除。
三、解答题
1．分解因式
;;
;;
;;
2．已知三角形的三条边a,b,c适合等式：，请确定三角形的形状。
3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。
4．已知：2x–3和3x+1是f(x)=的因式，求a,b的值。
5．证明：
（1）若n为整数，则一定是8的倍数；
（2）若n为正整数时，-n的值必是6的倍数；
（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。
答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．D
5．C
提示：
1．依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法。
2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C正确。
3．利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。
4．利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。
5．利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。
二、填空题：
1．1；
2．X+4.5；
3．110平方厘米；
4．；
5．7、11、13
提示：
1．若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1）式=是完全平方式。
2．根据题意，利用大除法：
∴a=5
∴，即：商式为x+4，且a=5.
3．依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.75-7.25=(12.75+7.25)(12.75-7.25)=110平方厘米
4．原式
5．依题意，设所求的站位数为：，a,b,c均为自然数，则
∵1001=7×11×13，∵a,b,c为自然数，
∴100a+10b+c为自然数
∴7
三、解答题
1．分解因式：
（1）十字相乘法：原式
（2）配方法：原式=
（3）配方法：
原式
（4）原式=
（5）法1：
原式=
法2：
原式=
（6）法1：
原式=
法2：
原式=
（7）原式=
（8）反数法：
原式=
2．解，依题意：而
∵a,b,c为三角形的三边长∴a+b+c>0
∴
∵
∴只有
∴a=b=c，即三角形为等边三角形
注：也可如下分解：
原式=
3．解：设这三个奇数依次为n–2,n,n+2，其中n为自然数，则n>2，则依题意：
(n-2)+n+(n+2)=2513n=243n=81
∴n=9或-9
当n=9时，n–2=7,n+2=11;
当n=-9时,n–2=-11,n+2=-7.
所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-11
4．解：若(2x–3)和(3x+1)都是f(x)=ax+bx+32x+15的因式，
则(2x–3)(3x+1)=6x-7x–3能整除f(x)。
解法1：
利用多项式与多项式的大除法：
∴
∴a=6且b=-37
即：
解法2：
∴
∴n=-5,m=1,b=-37,a=6
即
5．证明：
（1）∵
∵n为整数，∴8|8n.
即8|(2n+1)-(2n-1)命题得证；
（2）
∵n为正整数，(n+1)和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n(n+1)；而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3|(n-1)n(n+1),即6|(n-1)n(n+1)。命题得证。
（3）设这四个连续自然数依次为n–2,n–1,n,n+1，其中n>2且n为自然数，则依题意：
(n–2)(n–2)n(n+1)+1
=(n–2)(n+1)(n–1)n+1
=(n-n–2)(n-n)+1
=(n-n)-2(n-n)+1
=(n-n–1)
因为n为自然数，
所以n-n–1必为整数，即命题得证。
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