九年级数学竞赛专题第八讲恒等证明
一、选择题
1．已知（）
A．B．C．D．1
2．已知：x+y+z=3，且，则（）
A．x,y,z的值都相等且均为1;B．x,y,z的值都相等且均不为1
C．x,y,z的值不相等，但至少有一个为1;D．以上说法都不对
3．已知：，则下列说法正确的是（）
A．a,b,c均相等;B．
C．;D．
4．若，则以下说法正确的是（）
A．;B．;C．;D．
5．已知，实数x,y,z满足，则=（）
A．4B.C.D.以上都不对
二、填空题
1．已知：，则=____________。
2．如果等式，对于任意的实数x都成立，则___________。
3．设a,b,c均为正实数，且满足，则以长为a,b,c的三条线段_________构成三角形，（填“能”或“否”）
4．化简的值_______1。（填“大于”“小于”“等于”）
5．小勇有一个哥哥和一个弟弟，哥哥的年龄是20岁，小勇的年龄的2倍加上他弟弟年龄的5倍等于97，小勇的年龄是___________岁，他弟弟的年龄是_____________。
三、解答题
1．证明以下各式：
（1）
（2）.
2．证明以下各式：
（1）
（2）x,y,z是互不相等的三个实数则：
.
3．已知：a+b+c=abc,
求证：.
4．已知：a+b+c=0,则求：的值。
5．设实数a,b,c满足：，
求证：
答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．B
5．C
1．∵
∴∴∴∴
∴
所以选项D正确
2．∵x+y+z=3
∴x–1+y–1+z–1=0(1)
而(2)
由公式：
∴
所以由（1）（2）可得：3(x–1)(y–1)(z–1)=0
所以x–1=0或y–1=0或z–1=0
所以选项C正确
3．分析要证：
只要证：
即：∵a+c≠0
∴∴只要证：即
所以选项B正确
同理可证：若选项C正确，则
4．∵14
∴
∴
∴
∴2a=b,3b=2c,c=3a
∴
5．∵
∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=……（4）
而
把（3）（4）代入上式得：xyz=……（5）
由（4）平方得：
把（5）代入上式得：
而：
二、填空题
1．，-2；
2．9；
3．能；
4．等于；
5．16，13
1．∵
∴
∴
当x=1时，原式=
当时，
∵
∴
则
2．∵对于任意的x值均成立
则令x=1时，1=
再令x=-1时，
由（1）+（2）可得：
∴
3．∵
∴
∴
∴
∵a,b,c均为正数
∴-(a+b+c)<0
∴(a+b–c)(a+c–b)(b+c–a)>0
情况1：若a+b–c,a+c–b,b+c–a均大于0，则可以构成三角形；
情况2：若只有a+b–c>0，则a+c–b<0且b+c–a<0，
∴2c<0与已知矛盾
所以情况2不可能，即必可构成三角形。
4．原式=
5．解：设小勇年龄是x岁，弟弟年龄是y岁，其中x,y均为正整数，且20>x>y≥1，则依题意可得：
2x+5y=97
y=
因为y为正整数，所以也为正整数，且1y；
所以只有x=16时，y=13，满足题意。
三、解答题
1．原式左边=
所以等式成立
（2）原式左边=
所以等式成立
2．证明：
（1）等式左边=
所以等式成立
（2）左边–右边=
所以等式成立
3．等式左边=
∵a+b+c=abc
∴原式=abc–ab(abc–c)–bc(abc–a)–ac(abc–b)+abc(ab+ac+bc)
4．∵a+b+c=0
∴a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a
则原式
=
∵a+b+c=0
∴
∴上式=9
5．∵
∴
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc
∴
∴(b+c)(a+b)(a+c)=0
∴b=-c或a=-b或a=-c
若b=-c，当n为自然数时，即命题得证。
同理：当a=-b，或a=-c时，原命题成立。
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