有一块 V 字形木板,两侧与地面的夹角都是 θ 。一根密度均匀的绳子放在木板上,绳子与木板之间的摩擦系数为 1 。整个系统左右对称。没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少?此时 θ 是多少度?
用一些非常初等的方法可以得到,答案是 (√2 - 1)2 ≈ 0.172 ,此时 θ = 22.5° 。具体解答可以见http://star./QUIZ/05/sol_rope.pdf 。
为了解决这个问题,首先需要把物块和地面的夹角记作 θ ,物块下滑过程中的各种物理量都可以用 θ 来表示。然后,解决这个问题的关键就在于,当物块脱离墙壁时,物块向右的加速度就消失了,这个临界点就由等量关系 dvx / dθ = 0 给出。不过,由此产生的方程非常复杂,我们只能用数值的方式去解它。
把半圆的半径记作 R ,把木板的厚度记作 t 。如果把木板平放在半圆上,其重心的高度就是 R + t/2 。假如这块木板倾斜了一个微小的角度 θ ,那么图中 M'T 的长度等于弧 MT 的长度,即 2πR·(θ/2π) = R·θ 。此时,木板的重心 G' 的高度变为了 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ。为了让木板保持平衡,不会自动往下滑,我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度,即 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ > R + t/2。解出不等式,再令 θ→0 ,即可得到 t < 2R。也就是说,一旦木板的厚度超过半圆的直径,木板就无法放稳了。 假如你面向东边,站在冰面上,鞋底与冰面完全没有摩擦。你能否做出一系列动作,使得自己最后能面向西边站立?
可以。只需要重复“伸臂-挥臂-屈臂”的动作,你的身体便会向反方向转动一点。期待实验党。 用过多年的插座(尤其是插过大功率电器的插座),右边的孔(火线)往往会有过热的迹象。如果是劣质插座,加上经常插拔插头的话,右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。明明是通过相同大小的电流,为什么右边的孔会被烧得更厉害呢? 目前,这个问题没有一个所谓的标准答案。当然,这个现象本身是否存在也是存疑的。大家不妨来说说自己家里插座的情况。 呼拉圈是怎么转起来的?人应该做一个什么样的运动?呼拉圈的转动频率是由什么决定的?和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗?是否存在一个最优的频率??? 我有几件事情死活搞不明白,吹泡泡是怎么吹出来的,小舌颤音是怎么发出来的,骑车不动把手是怎么实现拐弯的??当然,还有呼拉圈是怎么转起来的。和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。如果你真的把它当成一回事仔细分析,你会发现这不是一般的困难。
投一枚硬币,如果是正面,我就去打球,如果是反面,我就去打游戏,如果立起来,我就去学习。不知道大家第一次看到这个笑话时,有没有想过,如果一枚硬币真的有 1/3 的概率正面朝上,有 1/3 的概率反面朝上,有 1/3 的概率立起来,那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系?
这枚硬币必须满足,把它立起来后,即使倾斜 30 度仍然不倒。这样,硬币直立的“势力范围”才会达到 120 度。因此,硬币的直径应该是厚度的 √3 倍。
考虑某颗星球,它由某种密度均匀的物质组成,其质量为 M ,体积为 V 。如果这颗星球是一个球体,那么它的半径 R = ((3V) / (4π))1/3,星球表面上的重力加速度则为 g = GM / R2 = GM((4π) / (3V))2/3,其中 G 是万有引力常数。 下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体,整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体,顶端的 m 点即是重力加速度最大的点,它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/3π2/3M / V2/3,只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。
这个问题的解法非常漂亮。首先,假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大,并且所受重力方向在 z 轴上,那么这个星体必然是沿 z 轴方向对称的。否则,取出不对称的一层,把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘,这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 z 轴完全对称,显然就得到了一个更优的形状。
Fermat 光程最短原理指出,光从 A 点到 B 点,总是沿着最快的路径传播。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。不过,后来我们知道了,更一般的描述应该是,光总是沿着光程处于驻点的路径传播。为什么会加上这一条?有没有光程极大的例子呢?
这里有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点 A 、 B ,和椭圆上的一点 M 。显然,不管 M 取在哪儿, AM + BM 都是相同的。现在,在椭圆内部画一条曲线,这条曲线与椭圆相切于 M 点。然后,擦掉原来的椭圆,把这条曲线视作镜面。显然, AMB 仍然是一条反射光线,但从其它地方反射,光程都会小于 AMB 。 AMB 是一个光程极大的路径。
物理量的单位总是由基本单位(质量、长度、时间等)的幂相乘得来的。比如,能量的单位就是 1J = kg·m2·s-2 。为什么没有什么物理量,它是由基本单位通过更复杂的形式导出的?比如说,为何没有什么物理量,它的单位是 sin(kg)·log(m) ? 这是一个非常有趣,无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题:什么是物理量?什么是物理单位?我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。
这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为 1A 的电流从红点处流入,从各个无穷远处流出。由对称性,有 (1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。现在,再假设一个大小为 1A 的电流从各个无穷远处流入,从蓝色点流出。由对称性,红蓝两点之间的线段仍然有 (1/4)A 的电流。现在,把两种情况叠加在一起看,大小为 1A 的电流从红点进去从蓝点出来,那么,红蓝两点间的线段就有 (1/2)A 的电流。因而,两点间的电压就是 (1/2)A·1Ω = (1/2)V 。因而两点间的等效电阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)Ω。 说到无穷网格电阻的问题,我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如,我们可以把问题扩展到 N 维的情形:N 维无限电阻网格中,相邻两点的等效电阻是多少?利用同样的方法可以得出,答案就是 1/N。 回到二维情形,如果我们换一个扩展方向,改问对角两点间的电阻,上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙:两点间的阻值为 (π/2)Ω 。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。
xkcd 有一个经典漫画,形象地描绘出 nerd 们被数理趣题折磨的感受。当然,这幅画本身也折磨了不少人,网上涌现出大量对这个问题的讨论。
还有一种经典的无穷电阻问题:一个向右无穷延伸的梯子形网格,每条线段都是 1Ω 的电阻,求两点间的等效电阻。
问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是 R,则 R 可以看作是三个 1Ω 的电阻串联,然后把一个阻值为 R 的电阻(也就是它本身)与中间那个 1Ω 电阻并联所得。于是得到等量关系 R = 1 + 1/(1+1/R) + 1,解得 R = 1 + √3。
还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是,一个正方体的 12 条棱上各有一个 1Ω 的电阻,求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This 的题目则是,分别考虑五种正多面体,如果每条棱上各有一个 1Ω 的电阻,则相邻两顶点的等效电阻是多少?巧妙地利用对称性,这几个问题都可以迅速被秒杀。
这是一个非常有趣的问题。问题的本质就是,绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。容易想到,绳子被拉紧,意味着绳圈从 A 点出发,将沿最短路径绕过山尖一周,再回到 A 点。如果把圆锥的侧面展开成扇形,绳圈其实就像下面这样(图中的 A 点和 A' 点在圆锥上是同一个点)。
显然,当这个扇形的顶角小于 180 度时,这样的绳圈才可能存在;而当这个扇形的顶角大于 180 度时,拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。据此不难推出,所求的临界情况就是,圆锥的高与母线的夹角为 30 度。
这是一个非常经典的问题。传统的答案是,把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘,把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘,把这三块木板的重心放在第四块木板的右边缘??利用杠杆原理可以推出,如果每块木板都是单位长,那么 n 块木板可以伸出桌面 (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) / 2 个单位的长度。由调和级数的性质,我们立即可以得知,只要木板数量足够多,木块伸出桌面的长度是没有上界的,想伸出去多长就能伸出去多长。但同时,这个增长速度也非常缓慢?? 20 块木板只能伸出大约 1.79887 个单位的长度, 1000 块木板也只能伸出大约 4.8938 个单位的长度。
不过,采用一些其它的方案(比如拿几块木板在后方作为“配重”),我们可以让木板伸出的长度更远。下面是一篇非常经典的论文,总结了目前对这个问题的研究结果: http:///abs/0707.0093 。 上楼时,人克服重力做功,需要耗费很多能量。但是,在平地上行走时,人并没有做功。那么,为什么我们走路时还要耗费能量呢? 1999 年 3 月的 Scientific American 上说到,其实在步行时,我们也是要克服重力做功的。这是因为,在步行的过程中,人的重心会一上一下地摆动。当两腿一前一后着地时,人的重心偏低;而单腿着地迈步时,人的重心会升高大约 3cm 。我们走路的能量主要就消耗在了这里。 橄榄油的沸点是 300℃ ,锡的熔点是 231.9℃ 。为什么我们能在锡锅里炸东西? 答案:橄榄油并没有沸腾,沸腾的其实是食物里的水。而且,正是食物里的水才让橄榄油和锡锅都保持在 100℃ 。如果食物里的水被烧干了,食物就会被烧焦,锡锅当然也会被烧毁。 在晃动的火车车厢上,把一瓶水放在小桌子上。如果想让这瓶水放得更稳,有一个极其简单的方法。这个方法是什么? 答案:喝掉一部分水,让整瓶水的重心下降。 12 节 1V 的电池首尾相接,然后将一块电压表如图连接。电压表的示数是多少?
有时候,方言的力量真是强大。看到这个题目后,我脑子里闪过的第一个形容词就是重庆话“想得出来”,但始终没找到合适的普通话替代词。总之,这题可以说是非常具有想象力了。 为什么跳蚤、蚱蜢、人和狮子,尺寸差异那么大,但能跳起的最高高度都是 1 米左右(最多相差一个不超过 2 的系数)? 看到这个问题之后,我在 Google 里搜了一下,竟然真是这样。猫猫狗狗老鼠老虎,可以跳起的高度都在 1 米这个尺度左右——猫猫和狗狗都能跳 1 米左右,老鼠能跳 40 厘米,老虎能跳 2 米。你以为袋鼠牛 B 吗?其实袋鼠也只能跳 2 到 3 米高。注意,这里的跳起高度并不是指“手能摸到的高度”,而是生物让自己重心升高的高度。 一个空心正方体的内部有六面墙。能否让一个小球在每一面墙上都各反弹一次,最后又回到出发点(假设没有重力)?
可以。这是由 Hugo Steinhaus 首先发现的。注意,每反弹一次,只会让速度中的其中一个分量变为相反数,因此六次反弹后,速度向量会和出发时相同。为了让六次反弹后还能回到出发点,我们只需要再让各段路程的长度都相同就行了。上图中的方案里,每段路程都是一个小立方体的对角线,因而最后就正好能回到原点。 一个物块从高度为 h 的光滑斜面顶端开始下滑,下滑到底端后沿光滑水平面以速度 v 匀速直线运动下去。初始时,物块的重力势能为 mgh ;到了斜面底部后,重力势能为0,完全转化为了动能 (1/2)mv2。由此我们可以解出, v = √2gh 。
这是一个非常漂亮的问题,大家不妨多想一想。简单地说,就是在新的参照系下,物体并不是沿着直线下滑,斜面也对物体做功了。不过,这只能解释一部分“消失”的机械能。具体答案在http://star./QUIZ/99/A07.99.html。
有一段横截面是等边三角形的木头,密度为 0.5g/cm3 。它在水中漂浮时,哪头会朝上?
答案:如图所示,漂浮时,它的其中一条中线一定和水面重合。这是因为,通过计算可知,此时整个物体的重心 G1 和浸入水中的部分的重心 G2 (也就是浮力的作用点)正好在同一竖直线上,并且高度差达到最小值。 20 世纪初,一本名为 Power 的杂志上曾经登载了这样一个永动机模型。如图,把光滑绳圈套在滑轮上,绳圈右侧浸在水中。于是,绳圈右侧将持续受到一个竖直向上的浮力,绳子便逆时针转动了起来。
答案:废话,当然不可行。可是,这个模型错在哪儿呢?注意,浮力其实是物体上下表面的液体压强差产生的。因此,浮力只会出现在完全浸入液体,或者漂浮在液体表面的物体上。在这个例子中,绳子并不会受到浮力。如果你把绳子想像成是一片片圆盘拼成的,每个圆盘都只受到侧面来的液体压强,在绳子的方向上是不可能有力产生的。
秤上放着一个玻璃瓶子,瓶盖是密封的。一只苍蝇飞在瓶子中,没有挨着瓶子。秤的示数等于瓶子的重量,还是大于瓶子的重量?如果苍蝇靠栓在身上的一个小氢气球浮在瓶子中呢? 这是一个经典问题了。对于前一个问题,秤的示数应该大于瓶子的重量,多的这点重量正好就是苍蝇自身的重量。这是因为,苍蝇要想飞起来,必须要给空气一个等于自身重量的向下的力(从而获得一个等于自身重量的向上的力)。空气将会把这个力传到瓶底,也就是对瓶底施加一个相同的力。 云是由小水滴组成的。水的密度是空气密度的 800 多倍。为什么云不会掉下来? 我操,这个问题太有型了!我在反省自己,为什么小时候听说“云是由小水滴组成的”的时候,没有提出过这个问题呢? 利用蹦床一次,你可以跳到多高? 答案:两倍原地起跳的高度。蹦床自己既不会消耗能量,也不会提供能量,因而你跳到蹦床上以后,蹦床储存的弹性势能只能把你弹回到一次起跳的高度。你在蹦床上再跳一次,便能跳到两倍高。 大家在电影的各种爆炸场面里都会看见这样一个情景:一个正在倒下的烟囱,在倒下的过程中,会自己断成两截。断裂处将出现在烟囱的什么位置?
这个问题很漂亮。在断裂之前,整个烟囱显然以一个相同的角速度在下落。考虑烟囱的顶部,由于自身重力的影响,它本来应该下落得更快,但却被强行地“扳”回到一个和烟囱下部相同的角速度。这使得烟囱最终发生断裂。计算可知,断裂将发生在烟囱的 2/3 处。更技术的分析请看http://star./QUIZ/96/A07.96.html 。 为什么床单、被罩、桌布上的污渍都是这种形状?
相信大家都曾经遇上过这样的现象吧。这个问题要解释起来,还真不容易——网上提出此问题后,无一人答对。很多人都说,液体中含有什么什么,布料里含有什么什么等等。其实,这种现象是很普遍的,它与布料、溶剂、溶质都没关系。这种现象真正的原因,是和液体蒸发的模式有关的。如果液体表层蒸发了,液体会向外展开,填充刚刚流失的部分。其结果就是,液体会不断地向边缘涌去,造成了边缘痕迹堆积。
对几种不同的蒸发模式进行模拟,可以看到不同的污渍形状,进而很好地说明了上述推测的正确性。
为什么水渍是深色的? 这是个好问题呀!我们每天都会遇上这样的事情,已经习以为常,却从来没有想过为什么。真要问个为什么,嘿,还真不好回答。 你现在正位于赤道,此时太阳刚刚升起。你要用一把激光炮轰炸太阳中心。你应该瞄准什么地方? 你应该瞄准太阳的中心。有人会说,不对呀,阳光不是会被大气层折射吗?但是,你射出的激光也会被折射,由于光路是可逆的,因而你就该瞄准你看到的太阳。有人会说,还是不对呀,太阳光射到地球需要 8 分钟,你看到的太阳是 8 分钟前的太阳,现在太阳已经不在原来的位置了呀?你又被坑了——太阳是不动的,动的其实是地球。 用天平测量物体的重量(准确地说,是质量)时,如果砝码有磨损,那么测量结果会偏大还是偏小?仔细想想吧,这题很容易答错。 这是初中物理最阴险的陷阱题目之一。绝大多数人会认为,既然砝码被磨损了,没有它标识的那么重了,那么测量结果一定是偏小了。答案恰恰相反,如果砝码有磨损,测量结果应该偏大了。 正因为砝码没有它标识的那么重,所以我们才需要在天平上添加更多的砝码让它保持平衡。因此,测量出来的结果会更大一些。 用一盆水,一张纸,一台电子秤,如何测量一个给定排球击打在地上对地的作用力有多大? 首先把纸张铺在地上,在排球上蘸水,然后对着地上的纸击打。这样一来,纸上便留下了一个圆形的水印。然后,把印有水的纸铺在电子秤上,把排球放在纸上,一点一点向下挤压排球,直到排球的下底面与水印重合。此时,电子秤上的示数也就是排球击打在地上时的作用力了。 一个人站在湖里的一艘船上,把一颗石子扔进湖里。湖水的水位将会发生怎样的变化? 答案:湖面将会变低。这是一个非常经典的初中物理问题。由浮力公式,物体所受的浮力等于它排开水的重力。初始时,船、人、石子都在水面上静止,他们的总浮力(也就是总的排开水重量)等于总重力;但石子投入水中后将会沉底,它所受到的浮力小于它的重力,因此船、人、石子的总浮力(同样即为排开水的总重)小于他们总重力。也就是说,排开水的总量减少了,因而水位将会下降。 两根一模一样的金属棒,一根是磁铁,一根是普通的金属棒。没有其他工具,怎样把他们区别开来? 把他们摆成一个 T 字形。如果相吸,竖着的就是磁铁;如果没有相吸,横着的就是磁铁。 为什么镜子里的东西是左右颠倒的,不是上下颠倒的? 这是一道经典智力题了,镜子问题、羊与车问题和 0.9999… = 1 的问题可谓是引发口水战的三大法宝。哪个论坛想要增加人气的话,把这三个问题挨着发一遍就行了。问题的答案是,镜子里的东西既不是左右颠倒,也不是上下颠倒,而是前后颠倒的。不过,人们似乎并不喜欢接受“镜像”的概念,总爱拿镜子里的东西跟实际的东西来比。但是,两个镜像的东西怎么转都不能完全重合,于是纠结的事情就发生了。如果你想象镜子里的东西水平转 180 度转回去,这并不能和实际物体重合,每个东西都左右颠倒了。如果你想象镜子里的东西竖直方向转 180 度,这样也不能和镜子前的物体重合——左右倒是没问题,但上下就颠倒了。不过,人们生活在一个水平面上,人本身的对称轴正好又是竖直方向上,因此人总是习惯性地采用了前一种思维。 |
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