算子的运算

在讨论梯度、散度、旋度时，我们引进了算子

而 ， ，

在前面一些章节和习题中我们证明了不少有关梯度、散度、旋度的恒等式.例如：

（1）div ，

（2）rot , 等，

这些等式我们都是利用梯度、散度、旋度的表达方式进行计算而得到的，计算常较复杂，所得的结果也难于记忆，现在我们归结出几条 算子的运算法则，以供参考.

注意到 是一个符号矢量，又是一个微分算子，这就决定了 在运算中的二重性，既要当做一个矢量来进行矢量运算，又要进行微分运算.

1、加法规则

， ，

（其中 、 是常量）.

2、乘法规则

， ，

， ,

， .

这里记号“ ”表示 中的微分运算只作用在 上，同样规定记号 ， …的意义，例如

3、 的作用方式

一定要作用在一人数量函数或矢量函数时才有实际意义，其作用方式有三种：

，读作“ 乘 ”， ，读作“ 点乘 ”， ，读作“ 叉乘 ”

注意到“ ”的后面必需是数量函数，而“ ”“ ”后面必需矢量函数才有意义.不然，如 ， 或 是没有意义的.

实际上，加法规则中的三个等式，我们在习题中利用梯度、旋度、散度的表达式已证明过，对于乘法规则中的几个等式，在这里只证明其中的一个，其他的读者可自行证明之.

现在来证明

证明

可以看到，加法规则和乘法规则与导数的运算法则相似. 在 的运算中时常要用到下列公式： ， (3.1) , (3.2) (3.3)

这里举一个例子说明这些公式的用法.

例1 写出 的表达式.

可利用公式（7.1），注意到这公式右方第一项还可写成：

, , ,

但将这公式用到 上情况就不一样了，将所有可能采取的各种次序写在下面：

， ， ， ，

由于在 中， 要受到前面两个 的作用，因此只能写成 .对公式右边第二项情况也是类似的.于是有

， 即

另外为了方便起见, 我们定义算子：

，

并规定

由定义知， 和 的意义是完全不相同的.

例2

上述式子中，例如“ ”，因 只作用在 上， 看成常矢量而可提到 的前面来，又如“ ”因 只作用在 上就不必写成 了，记成 即可.

例3 求 ， ，并验证：

，

解 将公式（7.1）用到 上，在这里 只作用在 上，对 不起作用，因而得到的等式右方一项为 ，而第二项为 ，即有

（*）

同理

而 （**）

由（*）及（**）两式即有

例4 验证 ，其中a是常矢量，

证明 由斯托克斯公式 在其中取 ，即有

而 , 故有 ，

例5 验证

， （3.4）

(3.5)

证明 由高斯公式 ，在其中取 ，即有

， . 同理有 (3.4)减去(3.6)即得(3.5)式. (3.4)，(3.5)两式分别称为第一，第二格林公式，在数学物理方程中要用到.

现在将常用的一些公式写在下面以备查用（有些没有证明过的留待读者在习题中加以证明）.

, ，

，

， ， ，

，

，

， ，

， ，

, , .

高斯公式 .

斯托克斯公式 .

格林公式 .

其中 ，格林公式中的 是 平面上的封闭曲线.