2012年高中数学联赛江苏省复赛解题报告
江苏省兴化中学罗云刃
事隔四五十天回忆,难免疏漏,解法也不敢称善,只是抛砖引玉,不妥之处,请多指教!
平面几何
如图,交于点、,过作直线交两圆于点、,过这两点分别作所在圆的切线,设在这两条切线上的射影分别为、,证明:直线与以为直径的圆相切.
证: 设交与点,有故、、、共圆,
设在直线上的射影为,由Simson定理,、、共线,
由、、、共圆及切于有,故直线与外接圆相切,
而故此圆以为直径,证毕.
不等式
给定,证明:区间内的实数,必满足.
证: 时平凡,以下设.
令,易见取最大值时.
设中有个、个,则
证毕.
数论
数列满足且,求所有的,使恰等差.
一证: 令,易见是严格递增的正整数数列,故是正整数数列,
有
且
故非严格递增.
直接计算得前七项为前六项为
故时,必有不等差,
从而,直接验证得
二证(一中校长马德尧):
记,则,
有
又且为整数列,故.
由有故,
结合单调性及其前七项检验知
组合
已知,其中为素数,为小于的自然数且.
令,求.
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