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彩虹背后的数学 Marianne Freiberger 当伟大的数学家艾萨克?牛顿解释彩虹的颜色与折射时，诗人约翰?济慈吓坏了。济慈抱怨（当然通过诗），数学解释打劫了这些魔幻般的“所有规则和线条的奥秘”的自然奇观。但是，正如我们下面将看到的，数学解释只需要基本的几何线条和圆圈，漂亮的数学原理和彩虹本身是一样的优雅。 因折射而弯曲 彩虹的颜色是因光折射而分裂成的一个结果，就像光线通过棱镜照射时所发生的那样。从太阳上来的白光是不同频率电磁波的组合。当这些频率的组合在同一时间到达你的眼睛时，你就能看到白色，当你的眼睛捕捉到其它的波时，你就会感知另一个特定的颜色。 约670至780兆赫频率之间的光波被视为紫罗兰色调，光谱的另一端是波频率在约400至480赫兹之间，它给出了不同深浅的红色知觉。而所有其它颜色均来自这两个频段之间的频率。一般来说，人眼不能感知所有频率的电磁波。 当一缕阳光碰到一个球形水滴，它的一部分将从液滴的表面反射，但另一部分将进入它。当进入时，光线会弯曲或折射，这是将吸管插进一杯水时看到的同样现象。然后光线将继续行进直到液滴的后部。这时有些光线会离开水滴出去，但有些将被反射回来到液滴的另一边，并在这一过程中再次折射。（见图1） 折射是一缕光线从一种介质传递到另一种介质而速度放缓的一个结果。一个非常粗略的类比是想象将一个购物推车以某种角度从路上推向草地：推车因为撞击草地将首先放缓，然后改变方向。 当太阳光通过一个真空（很好的近似是通过空气），所有频率以每秒约30万公里的相同速度c
。因此，彩虹根据折射率顺序来嵌套排列颜色序列，也就是说，按它们的频率顺序排列：从最顶的红色往下直到最底的紫色。 这种解释也说明为什么背朝太阳站着时你只看到一道彩虹：这是你可以捕捉来自于液滴的彩虹光线的唯一途径。这也解释了为什么彩虹下面的天空显出比上面的更明亮。由于绝大多数的光线离开液滴后高于彩虹线（见图6），你不会捕捉到彩虹“上面”来自水滴的任何光线（即位于各种颜色的锥的外面）。所以你看不到任何源自这些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到来自水滴彩虹“下面的”的反射光（位于锥体内的水滴）；鉴于此，彩虹下面的天空显得更亮，它以白光出现，因为从不同的水滴来的不同颜色的非彩虹光线混合在一起会成为白光，并进入你的眼睛。 彩虹几何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也仅仅是你的，虽然站在你旁边其他人也会看到彩虹，但它一般会来自不同的水滴，因此这将是一个不同的彩虹。 如果你是幸运的，有时候你可能会在略高于主彩虹处看到暗淡一点的第二个彩虹。这个副虹是水滴内光线两次反射的一个结果。在这种情况下，各种颜色的彩虹角度约为51度，这是为什么副虹在天空看上去高一点的原因。双反射也意味着副虹的颜色以相反的顺序出现，底部为红而顶部为紫。下面是笛卡儿所作的原始草图，他天才地首先解释了彩虹的形状，包括主虹和副虹。与副虹相关的双反射由红线跟踪。 甚至有可能在理论上（尽管实际中鲜有发生）看到来自水滴内三、四个或更多的反射产生的彩虹。但我把这些计算留给读者们。
课堂问题：在连续色谱上，人类如何产生了离散的颜色知觉？
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