[思路点拨]本题给定的条件较多：(1)月球绕地球运动，(2)同步卫星绕地球运动，(3)地球表面的重力加速度．应用万有引力提供向心力列方
程均可求得地球质量．[课堂笔记](1)上面的结果是错误的．地球的半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：得M＝(2
)方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由方法二：在地面重力近似等于万有引力，由G＝mg得M＝[答案]见
课堂笔记(1)由式中M为中心天体的质量，绕行天体(或卫星)的质量不能求得．(2)由M＝
πR3·ρ得：ρ＝，此时应注意R与r的区别，只有环绕星体沿中心天体的表面运行时，r
＝R，才有ρ＝如图4－4－1所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通
信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q做圆周运动的速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，
则下列判断正确的是()A．v1＞v2＞v3B．v1＜v2＜v3C．a1＞a2＞a
3D．a1＜a3＜a2图4－4－1[思路点拨]p、q均为地球的卫星，其所受万有引力提供
其做圆周运动所需的向心力，但e是赤道上的山丘，其受到的万有引力并不全部用来提供其做圆周运动所需的向心力，但其转动的角速度与同步卫星
的角速度相同[课堂笔记]v2、v3均为卫星的在轨运行速度，由G＝m可得v＝
，所以轨道半径越大，线速度越小，故v2＞v3.q是同步卫星，其角速度与e相等，所以由v＝ωr可知v3＞v1.因此v2＞
v3＞v1，A、B均错．由G＝ma可知半径大的向心加速度小，故a3＜a2.根据a＝ω2r可知a1＜a3.因此a1
＜a3＜a2，C错，D正确．[答案]D比较同一中心天体的不同轨道上星体的v、ω、T、a等的大小关系时，由
万有引力提供向心力推导出对应结果比较即可．但地球表面上的物体是随地球自转的，其所受万有引力并不全部用来提供其做圆周运动所需的向
心力，因此上述规律不再适用，此时应用控制变量法比较大小，如赤道上的山丘和同步卫星具有相同的角速度，再结合v＝ωr和a＝ω2r
就可比较v、a的大小．(12分)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时
间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G.求该星球的质量M.[思路点拨]根据平抛运动规律求出
小球的加速度，也就是该星球表面的重力加速度，再结合“黄金代换”关系即可求出该星球的质量．[解题样板]如图4－4－2所示，
设抛出点的高度为h，第一次时平抛的水平射程为x，则有x2＋h2＝L2┄┄┄┄①(2分)由平抛运动的规律可知，当抛出的初速度增大到
原来的2倍时，其水平射程应增大到2x，可得(2x)2＋h2＝(L)2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄②(2分)由①②解得
：h＝L┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)图4－4－2设该星球表面的重力加速度为g，由平抛规律可得h＝
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄③(2分)又因为＝mg┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
┄┄┄┄④(2分)由③④得M＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)[答案]
本题属于万有引力与平抛运动相结合的题目，应抓住问题的切入点：平抛小球的加速度就是该星球表面的重力加度．类似问题还可以结
合自由落体、竖直上抛、单摆振动等．1．(2010·杭州模拟)2009年8月25日韩国用运载火箭“罗老号”将一颗
近地科学技术卫星送入太空，卫星未能进入预定轨道已坠毁；我国于2009年8月31日发射的“帕拉帕—D”同步卫
星，于2009年9月1日在近地点进行了成功变轨，则关于两卫星的说法正确的是(
)A．“帕拉帕—D”近地点变轨前后，其轨道半长轴的三次方与周期的二次方比值不变B．两卫星的设计轨道半长轴的
三次方与设计周期二次方比值相同C．韩卫星坠毁过程中，卫星所受万有引力大于其做圆周运动所需向心力
D．“帕拉帕—D”近地点变轨前后，万有引力对卫星做负功，卫星机械能不变解析：由开普勒行星运动定律易知A、B正确
；韩卫星在坠毁过程中，卫星做向心运动，则卫星所受万有引力大于其做圆周运动所需向心力，C正确；“帕拉帕—D”近地点变轨过程中，
万有引力对卫星做负功，机械能增加，D错误；综上所述只有D项不正确．答案：ABC2．2008年9月25日21时10分“神舟”七
号载人飞船发射升空，进入预定轨道自西向东做匀速圆周运动，运行轨道距地面343千米．绕行过程中，宇航
员进行了一系列科学实验，实现了我国宇宙航行的首次太空行走(图4－4－3)．在返回过程中，9月28日
17时30分返回舱主降落伞打开，17时38分安全着陆．下列说法正确的是
()图4－4－3A．飞船做圆周运动的圆心与地心重合B．载人飞船的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度
C．载人飞船绕地球做匀速圆周运动的速度略大于第一宇宙速度7.9km/sD．在返回舱降落伞打开后至着地前，宇航员
处于失重状态解析：由于万有引力提供向心力，飞船轨道的圆心与地心重合，A选项正确．地球同步卫星的轨道高度是一定
的，约为3.6×104km，飞船距地面的高度是343km，故B选项正确．第一宇宙速度是近地卫星的最大环绕速度，由v＝
可知，载人飞船绕地球的线速度不可能大于第一宇宙速度，C选项错误．在返回舱降落伞打开后至着陆前，宇航员和返回舱一起做
减速运动，加速度方向向上，宇航员处于超重状态，故C、D均错．答案：AB3．(2009·广东高考)发射人造卫星是将卫星以一定的
速度送入预定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图4－4－4所示．这样选址的优点是，在赤道附近(
)A．地球的引力较大B．地球自转线速度较大C．重力加速度较大D．地球自转角速
度较大图4－4－4解析：为了节省能量而沿自转方向发射，卫星随地球自转而具有的动能在赤道附近最大，因而使发射更节能．B项正
确．答案：B4．(2010·杭州七校联考)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站
在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球
引力加速度，FN表示人对秤的压力，下列表达式中正确的是()
A．g′＝0B．g′＝C．FN＝0
D．FN＝m解析：做匀速圆周运动的飞船及其舱内的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故F
N＝0，C正确，D错误；对地球表面的物体＝mg，宇宙飞船所在处＝mg′，可得g′
＝，A错误，B正确．答案：BC5．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面的重力加速度是地球
表面的重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的
()A.
B．4倍C．
16倍D．64倍解析：设该星球的质
量为M，在星球表面有mg′＝，将M＝ρ·πR3代入得该星球表面的重力加速度g′＝
ρGπR，因该星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的4倍，所以该星球的半径是地球半径的4倍，再由M＝ρ·
πR3可知该星球的质量是地球质量的64倍．故选项D正确．答案：D一、开普勒行星运动定律定律内容图示
开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕运动的轨道都是，处在椭圆的一
个焦点上.开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.开普勒第三定律(
周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.＝k.太阳椭圆太阳二、万有引
力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的
成正比，与它们之间距离r的成反比．2．公式：F＝G
，其中G＝，叫引常量．
乘积二次方6.67×10－11N·m2/kg23．公式适用条件：此公式适用于间的相互作用．当两物
体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是间的距离
．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到间的距离．质点两球
心质点三、三种宇宙速度宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度(环绕速度)7.9这是物体绕地球做圆周运动的最
小发射速度，若7.9km/sv＜11.2km/s，物体绕运行第二宇宙速度(脱离速度)11.2这是物体挣脱地球
引力束缚的最小发射速度，若11.2km/sv＜16.7km/s，物体绕运行第三宇宙速度(逃逸速度)16.7这
是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v16.7km/s，物体将挣脱
，飞到太阳系外地球太阳太阳引力的束缚1．三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为运行速度．2．第一宇宙速度
既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．四、关于同步卫星的五个“一定”1．轨道平面一定：
轨道平面与共面．赤道平面24h相同相同2．周期一定：与地球自转周期
，即T＝..3．角速度一定：与地球自转的角速度．.4．高度一定：由
同步卫星离地面的高度h＝
≈3.6×107m.5．速率一定：v＝≈3.1×1
03m/s.1．开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时都是不同的椭圆轨道，且太阳在椭圆的一个焦点上．2．开
普勒第二定律说明行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近
日点运动时速率变大3．开普勒第三定律(1)表达式：＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T为公转周期，k是与
太阳质量有关而与行星无关的常量．由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似的计算中，可以认为行星都是以太阳为圆心
做匀速圆周运动，在这种情况下，a可代表轨道半径．(2)开普勒第三定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此
时＝k′，比值k′是由行星的质量所决定的另一常量，与卫星无关．1．已知地球近地卫星的周期约为84mi
n，地球的半径为6400km，再根据其他的常识和知识，可以估算出地球和月球之间的距离为
()A．3.6×104kmB．4.2×104km
C．3.8×106kmD．3.8×105km?解析：近地卫星的周
期T1≈84min，轨道半径r1＝R地＝6400km，而月球绕地球做圆周运动的周期T2≈27d，月、地之间的距离设为r2.由
开普勒第三定律得即月球和地球之间的距离r2＝R地≈
3.8×105km，D正确．答案：D1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆
周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：G＝mω2r
＝m()2r.(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即mg＝
，gR2＝GM.2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于
＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即
得出中心天体质量M＝②若已知天体的半径R，则天体的密度③若天体的卫星在天
体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的
周期T，就可估算出中心天体的密度．不考虑天体自转，对在任何天体表面的物体都可以认为mg＝
，从而得出GM＝gR2(通常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．
2．2009年10月，美国的“半人马座”火箭以9000公里的时速撞向月球，原先设想应当产生高达10km
的尘埃，而实际撞击扬起的尘埃高度只有1.6km.若航天飞行控制中心测得火箭在离月球表面176km
的圆轨道上运行的周期为T1＝125min.火箭变轨后，在近月(高度不计)圆轨道上运行的周期为T2＝
107.8min，且尘埃在空中只受月球的引力，则可以估算出
()A．月球半
径RB．月球表面重力加速度gC．空中尘埃存在的时间D．引力常量G解析：由万有引力提供向心力可得：
综合以上两式可得：故可求出月球半径；而月球表面的重力加速
度为：g＝上升的尘埃可认为做竖直上抛运动，故：H＝所以空中尘埃存在的
时间：t＝2t下．所以A、B、C三项可以估算出来．答案：ABC1．卫星的各物理量随轨道半径变化而变化的规律2．卫星的稳定运
行与变轨运行分析(1)圆轨道上的稳定运行：若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动，即
＝mrω2＝mr(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或
空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运动．①当卫星的速度v增大时，所需向心力m
增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．②当卫星的速度v减
小时，所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做近心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径
变小．卫星进入新轨道运行时，由v＝知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这
一原理)1．卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．2．a、v、ω、T
均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．3．卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的
大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度的变化，由v＝判断．3．(2009·宁夏高考)地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看做是圆形的．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为()A．0.19B．0.44C．2.3D．5.2解析：根据公式可得到线速度与轨道半径之间的关系：答案：B已知引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果． |
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