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2012年各地中考数学压轴题精选11~20_解析版
【11. 2012成都】
28． (本小题满分l2分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 ( 为常数)的图象与x轴交于点A( ，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且 ≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求 的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ， 两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）∵ 经过点（﹣3，0），
∴0= +m，解得m= ，
∴直 线解析式为 ，C（0， ）．
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
∵抛物线经过C（0， ），∴ =a?3（﹣5），解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x2+ x+ ；
（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF．如答图1，
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
又∵ ，∴△CAO≌△EFG，
∴EG=CO= ，即yE= ，
∴ = xE2+ xE+ ，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），
∴E（2， ），S?ACEF= ；
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（ +1， ），S?ACE′F′= ．
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0， ），∴直线BC解析式为y= x+ ，
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
∵y=kx+3﹣k，y= x2+ x+ ，
联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．
根据两点间距离公式得到：
M1M2= = =
∴M1M2= = =4（1+k2）．
又M1P= = = ；
同理M2P=
∴M1P?M2P=（1+k2）? =（1+k2）? =（1+k2）? =4（1+k2）． ∴M1P?M2P=M1M2，
∴ =1为定值．
【12.2012?聊城】
25．某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
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考点： |
二次函数的应用；一次函数的应用。 |
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分析： |
（1）根据每月的利润z=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．
（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（﹣2×32+100） |
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解答： |
解：（1）z=（x ﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）
=﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；
（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，
解这个方程得x1=25，x2=43
所以，销售单价定为25元或43元，
将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，
因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，
当25≤x≤43时z≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），
因此，所求每月最低制造成本为648万元．
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点评： |
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题． |
【13. 2012安徽】
23. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
23.解析：（1）根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h中即可求函数解析式；（2）根据函数解析式确定函数图象上点的坐标，并解决时间问题；（3）先把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h中求出 ；然后分别表示出x=9,x=18时，y的值应满足的条件，解得即可.
解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h
即2=a(0－6)2+2.6， ∴ ∴y= (x-6)2+2.6
（2）当h=2.6时，y= (x-6)2+2.6 x=9时，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43
∴球能越过网. x=18时，y= (18－6)2+2.6=0.2＞0 ∴球会过界
（3）x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得 ；
x=9时，y= (9－6)2+h ＞2.43 ①
x=18时，y= (18－6)2+h ＞0 ②
由① ②得h≥
点评：本题是二次函数问题，利用函数图象上点的坐标确定函数解析式，然后根据函数性质来结合实际问题求解.
【14. 2012?乐山】
26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），
直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），
连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
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考点： |
二次函数综合题。 |
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分析： |
（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可． |
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解答： |
解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，
得 x1=3，x2=﹣1．
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3…（1分）
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴ 解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．…（4分）
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ 解得： ，∴直线AB的解析式为 ．
∴C点坐标为（0， ）．…（6分）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，﹣x），
（i）当OC=OP时， ．解得 ， （舍去）．
∴P1（ ， ）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（ ，﹣ ）．
（iii）当OC=PC时，由 ，解得 ，x2=0（舍去）．
∴P3（ ，﹣ ）．
∴P点坐标为P1（ ， ）或P2（ ，﹣ ）或P3（ ，﹣ ）．…（9分）
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x， ）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ= DQ?OG+ DQ?GH= DQ（OG+GH），
= = ，
∵0＜x＜3，∴当 时，S取得最大值为 ，此时D（ ，﹣ ）．…（13分）
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点评： |
此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出． |
【15. 2012?衢州】
24．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于 点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
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考点： |
二次函数综合题。 |
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分析： |
（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（ ， ），使得四边形ABPM为等腰梯形；
（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味． |
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解答： |
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴ ，解得a= ，b= ，
∴抛物线解析式为y= x2+ x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t， ），∵点M在抛物线上，∴M（t， t2+ t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA﹣yM=2﹣（ t2+ t）= t2﹣ t+2，BH=PN= ．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴ t2﹣ t+2= ，
化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2= ，
∴点P的坐标为（ ， ）∴存在点P（ ， ），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT= ，∴点Q的坐标为（a， ） ．
解法一：设AB与OC相交于点J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴ =
∴HT= = =2﹣a，
KT= A′T= （3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣ =3﹣ a．
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ= KT?A′T﹣ A′Q?HT
= ? ?（3﹣a）﹣ ?（3﹣ a）?（﹣a+2）
= a2+ a﹣ = （a﹣ ）2+
由于 ＜0，
∴在线段AC上存在点A′（ ， ），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为 ．
解法二：
过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得 ①
由△RKH∽△A′O′B′，得 ②
由①，②得KH= OH，OK= OH，KT=OT﹣OK=a﹣ OH ③
由△A′KT∽△A′O′B′，得 ，则KT= ④
由③，④得 =a﹣ OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，
所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK= ?OT?QT﹣ ?OK?RH
= a? a﹣ （1+ a﹣ ）?（a﹣1）
= a2+ a﹣ = （a﹣ ）2+
由于 ＜0，
∴在线段AC上存在点A′（ ， ），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为 ．
解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB= ，
∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=（﹣a+3）? = a+ ，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（ a+ ）= a﹣ ，
过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH= =2，∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH= = = ，
∴2RH=OK+KH= a﹣ + RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），
∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A ′RQ= ?KT?A′T﹣ A′Q?（xQ﹣xR）
= ? ?（3﹣a）﹣ ?（3﹣ a）?（﹣a+2）
= a2+ a﹣ = （a﹣ ）2+
由于 ＜0，
∴在线段AC上存在点A′（ ， ），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为 ．
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点评： |
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力． |
【16. 2012绍兴】
25．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线 经过A，B两点。
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒 7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）由抛物线 知：当x=0时，y=﹣2，
∴A（0，﹣2）。
由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；
当 时， ，解得 ，
∴B（4，﹣2），
∴AB=4。
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为 。
当Q点在OA上时，即 ， 时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴ ，即 ，∴ 。 ∵ ，∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时，即 ， 时，
如图2，过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。
若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，∴ ，即 ，∴ 。
∵ ，∴ 符合题意。
当Q点在BC上时，即 ， 时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，则QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，此时PQ不与AC垂直。
综上所述，当 时，有PQ⊥A C。
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴ ，
∴ ，解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC。
此时AP=2，BQ=CQ=1，∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，有∠H1OQ=∠POQ，∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ= ，
∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3= OQ×PM，
∴PM= ，∴PP′=2PM= ，
∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′ ∴ ，
∴ ， ，∴P′（ ），∴直线OP′的解析式为 ，
∴OP′与NP的交点H2（2， ）。∴当 时，∠HOP＞ ∠POQ。
综上所述，当 或 时，∠HOQ＞∠POQ。
【17.2012. 南充】
22.如图，⊙C的内接⊿AOB中，AB=AO=4,tan∠AOB= ,
抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)与点（-2，6）
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时,求运动时间t的值
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当⊿ROB面积最大时，求点R的坐标.
考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数最值的应用；三角函数和勾股定理的应用；待定系数法求二次函数解析式。
专题：计算题；代数几何综合题。
分析：（1）点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得：
16a+4b=0 a=
4a-2b=6 解得： b= -2 从而求出解析式。
（2）先得到∠ OAD=∠AOB ，作OF⊥AD于F，再算出OF的长，t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD 则FQ=OP= t
DF=DQ-FQ= t ⊿ODF中，t=DF= = =1.8（秒）
（3）先设出R(x, x2-2x) ，作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I，则RG= x OG= x2+2x 再算出IR、HI的长，从而求出RH的长 ( x- )2+
当x= 时，RH最大。S⊿ROB最大。这时： x2-2x= ×( )2- 2× =-
∴点R( ,- )
解答：
（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得：
16a+4b=0 a=
4a-2b=6 解得： b= -2
∴抛物线的函数解析式为：y= x2-2x
（2）连AC交OB于E
∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO ∴ AB=AO
∴AC⊥OB ∴m∥OB ∴∠ OAD=∠AOB
∵OA=4 tan∠AOB= ∴OD=OA·tan∠OAD=4× =3
作OF⊥AD于F OF=OA·sin∠OAD=4× =2.4
t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD 则FQ=OP= t
DF=DQ-FQ= t ⊿ODF中，t=DF= = =1.8（秒）
（3）令R(x, x2-2x) (0＜x＜4) 作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I
【18. 2012?梅州】
23．如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2 ）、D（0，3 ），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是 （6，2 ） ；②∠CAO= 30 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 （3，3 ） ；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
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考点： |
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；梯形；解直角三角形。 |
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专题： |
代数几何综合题。 |
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分析： |
（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案． |
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解答： |
解：（1）①∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2 ），∴点B的坐标为：（6，2 ）；
②∵tan∠CAO= = = ，∴∠CAO=30°；
③如下图：当当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3 ），∴PE=3 ，∴AE= =3，
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3 ）；
故答案为：①（6，2 ），②30，③（3，3 ）；
（2）情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°，
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合，∴点P与D重合，∴此时m=0，
情况②，如图 AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；
MJ=MQ?sin60°=AQ?sin60°=（OA﹣IQ﹣OI）?sin60°= （3﹣m）= AM= AN= ，
可得 （3﹣m）= ，解得：m=3﹣ ，
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG= ，
∴QK= = =3，GQ= = ，
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5，∴OK=2，∴m=2，
（3）当0≤x≤3时，
如图，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得 ，EF= （3+x） ，
此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形= （EF+OQ）?OC= （3+x），
当3＜x≤5时，S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣ AH?AQ= （3+x）﹣ （x﹣3）2，
当5＜x≤9时，S= （BE+OA）?OC= （12﹣ x），
当9＜x时，S= OA?AH= ．
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点评： |
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． |
【19. 2012?扬州】
27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A (－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点 ： |
二次函数综合题。 |
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专题： |
综合题；分类讨论。 |
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分析： |
(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解． |
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解答： |
解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得：
，解得： ∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．
(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：
，解得： ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；
当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．
(3)抛物线的解析式为：x＝－ ＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：
MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝± ；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1， )(1，－ )(1，1)(1，0)．
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点评： |
该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． |
【20. 2012?连云港】
26．如图，甲、乙两人分别从A(1， )、B(6，0)
两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙
沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，
乙到达N点．
(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，
设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，
并求甲、乙两人之间距离的最小值．
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考点： |
相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。 |
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分析： |
(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明；
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题． |
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解答： |
解：(1)因为A坐标为(1， )，所以OA＝2，∠AOB＝60°．
因为OM＝2－4t，ON＝6－4t，当 ＝ 时，解得t＝0，
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；
(2)因为甲达到O点时间为t＝ ，乙达到O点的时间为t＝ ＝ ，所以甲先到达O点，所以t＝ 或t＝ 时，O、M、N三点不能连接成三角形，
①当t＜ 时，如果△OMN∽△OAB，则有 ＝ ，解得t＝2＞ ，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②当 ＜t＜ 时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；
③当t＞ 时， ＝ ，解得t＝2＞ ，所以当t＝2时，△OMN∽△OBA；
(3)①当t≤ 时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°，
所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)× ＝ (1－2t)，
OH＝0Mcos60°＝(2－4t)× ＝1－2t，所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，
所以s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
②当 ＜t≤ 时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MNH中，MH＝ (4t－2)＝ (2t－1)，NH＝ (4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，
所以s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
当t＞ 时，同理可得s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28，
综上所述，s＝[ (1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28．
因为s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，
所以当t＝1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2 km．
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点评： |
此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大． |
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