第八讲行程问题（二）
教学目标：
能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；
能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；
变速变道问题的关键是如何处理“变”；
掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．
知识精讲：
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：
当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
，这里因为时间相同，即,所以由
得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比
当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
，这里因为路程相同，即，由
得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
模块时间相同速度比等于路程比甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？
两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4:3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程．所以A、B两地相距(千米)．
B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟
所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
同理先追及甲需要时间为120分钟
、两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟行米，出发一段时间后，两人在距中点的处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了分钟，两人将在距中点的处相遇，且中点距、距离相等，问、两点相距多少米？
甲、乙两人速度比为，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比为，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了，所以、两点的距离为(米)．
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？
两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为，所以甲到达B地时，乙又走了，距离A地，所以A、B两地的距离为(千米)．
早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
从题中可以看出小王的速度比小张块．下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米．由下午3点开始计算，小王再有1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了153045((千米，故小张的速度是45÷3=15千米/时，小王的速度是15＋30=45千米/时．全程是45×3=135千米，小张走完全程用了135＋15=9小时，所以他是上午10点出发的。
从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。那么甲乙两地相距多少千米？
⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为小时，其余的小时在走上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了15千米，而小时的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时，所以在第一小时中，有小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的．
因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时．
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是．那么下坡路的速度为千米/时，平路的速度是每小时千米，上坡路的速度是每小时千米．
那么甲、乙两地相距(千米)．
模块路程相同速度比等于时间的反比
地出发到地，经过3小时，甲先到地，乙还需要1小时到达地，此时甲、乙共行了35千米．求，两地间的距离．
甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为，那么在3小时内的路程之比也是；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为千米，即，两地间的距离为20千米．
在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？
由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.
上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点几分．
甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10×3=30分钟，所以前后两段路程的比为20:30=2:3，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分．
小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？
设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是，因此，走上坡路需要的时间是，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为，所以，上坡速度是平路速度的倍．
时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？
当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下分钟的路程；修理完毕时还剩下分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为，因此每分钟应比原来快米．
小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．
(“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发小时后因故停车小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时．若出发小时后又前进公里因故停车小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚小时，那么整个路程为________公里．
如果火车出发小时后不停车，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为，所以原计划要花小时，现在要花小时，若出发小时后又前进公里不停车，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为，所以原计划要花小时，现在要花小时．所以按照原计划公里的路程火车要用小时，所以火车的原速度为千米／小时，整个路程为千米．
王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，于是提前1小时40分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84×15=1260(千米)．
一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？
车速提高20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为小时；如果按原速行驶一段距离后再提速30%，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为小时．所以前面按原速度行使的时间为小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？
车速提高，速度比为，路程一定的情况下，时间比应为，所以以原速度行完全程的时间为小时．
以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高，速度比为，所用时间比应为，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要小时，所以以原速行驶120千米所用的时间为小时，甲、乙两地的距离为千米．
甲火车分钟行进的路程等于乙火车分钟行进的路程．乙火车上午从站开往站，开出若干分钟后，甲火车从站出发开往站．上午两列火车相遇，相遇的地点离、两站的距离的比是．甲火车从站发车的时间是几点几分？
［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知．由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比．
根据题意可知，甲、乙两车的速度比为．
从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为，而相遇点距、两站的距离的比是．说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车个小时所走路程的．也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分钟．所以甲火车从站发车的时间是点分．
模块、比例综合题
；那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．
甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．
甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定
所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，
所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米
、、三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后小时车出了事故，和车照常前进．车停了半小时后以原速度的继续前进．、两车行至距离甲市千米时车出了事故，车照常前进．车停了半小时后也以原速度的继续前进．结果到达乙市的时间车比车早小时，车比车早小时，甲、乙两市的距离为千米．
【分析】如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，因为车后来的速度是车的，即两车行小时的路车比车慢小时，所以慢小时说明车后来行了小时．从甲市到乙市车要行小时．
同理，如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，说明车后来行了小时，这段路车需行小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的．
故甲、乙两市距离为(千米)．
甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后小时，乙从同地同路同向出发，步行小时到达甲于分曾到过的米，经过小时追速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？倍；
乙加速之后步行小时的路程等于甲步行小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为．加速后乙的速度是甲的速度的倍；
由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为米/小时．
甲、乙两人分别骑车从地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12分钟后丙也骑车从地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？
丙的速度为千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了千米后与甲、乙同时出发．
如图所示，相当于甲、乙从，丙从同时出发，丙在处追上甲，此时乙走到处，然后丙掉头走了3千米在处和乙相遇．
从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了千米，故为千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了千米，因此速度为(千米/小时)．
甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，
说明甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2倍，
就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。
两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。甲一共走了1+1/2=1.5（小时）
米处．一列火车以每小时千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？
【分析】设铁路桥长为米．
在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；
在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；
两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了米，火车一共走了米；
因为是的倍，所以火车速度是小狗速度的倍，所以小狗的速度为(千米/时)；
因为火车速度为小狗速度的倍，所以，解此方程得：．
所以铁路桥全长为米，小狗的速度为每小时千米．
如图，点分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距米的、两地顺时针方向沿长方形的边走向点，甲点分到后，丙、丁两人立即以相同速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形的面积为平方米．
【分析】如图，由题意知，丙从到用分钟，丁从到用分钟，乙从经到用分钟，说明甲、乙速度是丙、丁速度的倍．因为甲走用分钟，所以丙走要用(分钟)，走用(分钟)．
因为乙走用分钟，所以丙走用(分钟)．
因为长米，所以丙每分钟走(米)．于是求出
(米)，(米)，(米)．
(平方米)．
如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？
甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第2008次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米？
甲、乙速度之比是3：7，所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第2007次相遇时甲总共走了3×（2007×2-1）=12039份，第2008次相遇时甲总共走了3×（2008×2-1）=12045份，所以总长为120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300米.
、两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是，他们第一次相遇后甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有千米，那么、两地的距离是多少千米？
【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为，相遇后，甲、乙两人的速度比为；到达地时，即甲又行了份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是，即乙的路程为．乙从相遇后到达还要行份的路程，还剩下(份)，正好还剩下千米，所以份这样的路程是(千米)．
、两地有这样的(份)，因此、两地的总路程为：(千米)．
小明和小刚进行米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)．当小刚跑了米时，小明距离终点还有米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？
【分析】当小刚跑了米时，小明跑了米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程之比，为；在小刚跑完剩下的米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程之比等于相应的速度之比，则可知小明这段时间内跑了米，还剩下米．
客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，322千米，已知货车与客车的，甲、乙两地相距多少千米，相同时间内所行路程的比也为，那么客车走的路程为(千米)，为全程的一半，所以全程是(千米)．
甲、乙两人从，两地同时出发，相向而行．甲走到全程的的地方与乙相遇．已知甲每小时走千米，乙每小时走全程的．求，之间的路程．
相同的时间内，甲、乙路程之比为，因此甲、乙的速度比也为，所以乙的速度为千米/时．两地之间的路程为：千米．
|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页
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