四年级下期
第一讲加减混合运算的简算
例1计算：(1)3205＋8749－6749
(2)9143－6287＋5287
解：(1)观察发现,加数8749与减数6749的末三位数字相同,如果让这两个数先抵消一下,计算就会简便。因为加数大减数小,抵消后的数还是加数,所以
3205＋8749－6749
＝3205＋(8749－6749)
＝3205＋2000
＝5205
(2)观察发现,减数6287与加数5287的末三位数字相同,如果让这两个数先抵消一下,计算就会简便。因为减数大加数小,抵消后的数还是减数,所以
9143－6287＋5287
＝9143－(6287－5287)
＝6143－1000
从上面两题可以发现：加减混合运算,为了使计算简便而需要添上括号时,如果在加号后面添上括号,括号里面的数不必改变运算符号；如果在减号后面添上括号,括号里面的数必须改变运算符号,由加变成减,由减变成加。简单地说就是,在添上括号时：加号后面添括号,原来加减不变号；减号后面添括号,原来加减要变号。
有时,为了使计算简便,需要去掉括号,这条规则可以反过来用。简单地说就是,在去掉括号时：括号前面是加号,原来加减不变号；括号前面是减号,原来加减要变号。
例2计算：(1)1524＋(3476－1584)
(2)7369－(4369－1055)
解：(1)1524＋(3476－1583)
＝1524＋3476－1583
＝5000－1583
＝3417
(2)7369－(4369－1055)
＝7369－4369＋1055
＝3000＋1055
＝4055
上面的例题，再一次印证了认真观察、善于思考的重要性，希望同学们能有意识、有目的地养成这种好习惯。
练习一
1.在○里填运算符号,在横线上填数。
(1)564－496＋196＝564－(○)
(2)397＋748－548＝397＋(○)
(3)843－567＋967＝843＋(○)
(4)638＋293－593＝638－(○)
2.用简便方法计算下面各题。
(1)9043－5678＋1678(2)5867＋4492－3492
(3)6138－5476＋8476(4)3264＋2259－4259
3.在○里填运算符号,在横线上填数。
(1)374＋(526－312)＝374○○
(2)824－(324＋158)＝824○○
(3)579－(279－108)＝579○○
(4)384＋(495＋216)＝384○○
(5)607－(514－293)＝607○○
4.用简便方法计算下面各题。
(1)9473－(6473－2815)(2)3642＋(5307－1642)
(3)6382－(4143－2618)(4)4068＋(2932－1657)
(5)9364－(5364＋2989)(6)1625＋(4268＋2375)
第二讲乘除混合运算的简算
例1计算：(1)312×56÷7(2)9600÷25÷4
解：(1)算式的意义是把312先扩大56倍再缩小7倍。如果把扩大和缩小的倍数抵消一下,就相当于把312直接扩大56÷7＝8倍。
312×56÷7＝312×(56÷7)＝312×8＝2496
(2)算式的意义是把9600先缩小25倍,再缩小4倍。如果把缩小的过程合并成一次,相当于缩小25×4倍,因为25×4＝100,一个数缩小100倍,只需从末尾去掉两个0,计算就非常简便。
9600÷25÷4＝9600÷(25÷4)＝9600÷100＝96
从上面两题可以发现,乘除混合运算,为了使计算简便而需要添上括号时,如果在乘号后面添上括号,括号里面的数不必改变运算符号；如果在除号后面添上括号,括号里面的数必须改变运算符号,由乘变除,由除变乘。简单地说就是,在添上括号时：乘号后面添括号,原来乘除不变号；除号后面添括号,原来乘除要变号。
有时,为了使计算简便,需要去掉括号,这条规则可以反过来用。简单地说就是,在去掉括号时：括号前面是乘号,原来乘除不变号；括号前面是除号,原来乘除要变号。
例2计算。(1)25×(120÷75)(2)512÷(32÷15)
解：(1)25×(120÷75)＝25×120÷75＝3000÷75＝40
(2)512÷(32÷15)＝512÷32×15＝16×15＝240
同学们一定会发现,乘除混合运算添上或去掉括号的规则,与加减混合运算的情况非常相似。只要稍作改变就可以一起记住。
例3用简便方法计算下面各题。
68×269÷17(3)125÷16×8
解：(1)算式的意义可以理解为,把68先扩大269倍再缩小17倍。经验告诉我们:把一个数先扩大再缩小或者先缩小再扩大,结果是一样的。但是,一般地说,把一个数先缩小再扩大要比先扩大再缩小好算一些。于是
68×269÷17＝68÷17×269＝4×269＝1076
(2)这道题虽然是把125先缩小再扩大,符合计算方便的要求,但是125÷16有余数,往下无法进行。所以只好先扩大再缩小。于是
125÷16×80＝125×80÷16＝10000÷16＝625
于是,我们得到一个非常有用的结论：乘、除连在一起,乘数和除数可以带着运算符号交换位置。
练习二
带“”的是选作题。
1.在○里填运算符号,在横线上填数。
(1)564×36÷9＝564×(○)
(2)427×63÷7＝427×(○)
(3)320÷8÷4＝320÷(○)
(4)248÷6×3＝248÷(○)
2.用简便方法计算下面各题。
(1)423×18÷6(2)301×54÷9
(3)840÷21÷2(4)656÷41÷8
3.在○里填运算符号,在横线上填数。
(1)16×(25÷4)＝16○○
(2)96÷(16×2)＝96○○
(3)79÷(79÷8)＝79○○
(4)25×(4×37)＝25○○
4.用简便方法计算下面各题。
(1)256÷(64÷15)(2)125×(32÷25)
(3)780÷(26÷18)(4)375×(40÷75)
(5)936÷(36×13)(6)625×(16×87)
5.用简便方法计算下面各题。
51×399÷172700÷25÷2728×56÷7
900÷36×4910×86÷137800×92÷26
9600÷25÷24225×56÷75800÷72×90
11100÷25÷37800÷72×9011100÷25÷37
6.计算1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8)。
第三讲求等差数的和
例1计算123＋234＋345＋456＋567＋678。
解：观察发现，相邻两个加数的差相等,都是111。这就启发我们，如果根据加法交换律和加法结合律,先求出第一个加数与倒数第一个加数的和,第二个加数与倒数第二个加数的和,第三个加数与倒数第三个加数的和,那么3个和都相等。这样一来,就可以用乘法代替加法,使计算简便。
123＋234＋345＋456＋567＋678
＝(123＋678)＋(234＋567)＋(345＋456)
＝801×3
＝2403
例2计算1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075。
解：观察发现,相邻两个加数的差相等,都是5,一共有7个加数。中间的第四个加数1060,不仅是第三个加数与第五个加数的平均数,也是第二个加数与第六个加数的平均数,也是第一个加数与第七个加数的平均数。换句话说,所有7个加数的和等于第四个加数的7倍。于是,可以用乘法代替加法,使计算简便。
1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075
＝1060×7
＝7420
总结以上两种情况,几个数相加,当相邻两个加数的差相等时,就可以用乘法代替加法,使计算简便：
(1)如果加数的个数是双数,可以用首尾两个加数相加的和乘以加数个数的一半；
(2)如果加数的个数是单数,可以用中间那个加数乘以加数的个数。
试试看：(1)1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＋22＝?
(2)310＋320＋330＋340＋350＋360＋370＋380＋390＝?
练习三
1.用简便方法计算下面各题。
(1)1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
(2)992＋993＋994＋995＋996＋997＋998＋999
(3)1960＋1970＋1980＋1990＋2000＋2010
(4)111＋222＋333＋444＋555＋666＋777＋888＋999
(5)987＋876＋765＋654＋543＋432＋321
2.下面是一个“乘法三角形”,第一行表示:一一得一；第二行表示:一二得二,二二得四；……认真观察发现规律,把每一横行、从右上方到左下方每一斜行各数的和,填在相应的括号里。
1()
24()
369()
481216()
510152025()
61218243036()
7142128354248()
816243240485664()
91827364554637281()
()()()()()()()()()
3.游乐园有一座13层宝塔,每层檐角上都挂了一些风铃。从上到下分别是6只、12只、18只、……、72只、78只。这座宝塔一共有多少只风铃?
4.小华看一本故事书。第一天看了10页,从第二天起越看越快，每天都比前一天多看2页,结果,只用5天就把这本书看完了。这本故事书有多少页?
5.小明放学路过一条小巷,走着走着，他想检验一下自己的口算能力,于是，把一连10家的门牌号码(从小到大)加了起来,得105。你知道他是从几号开始加起的吗?
第四讲解决问题(一)
例1光华纺织厂,女职工的人数比男职工的3倍多102人,比男职工的4倍少75人,这个厂有男女职工各多少人?
解：这里是把男职工的人数当作一倍量,画出线段图
男职工人数102人75人
女职工人数
男职工的3倍
男职工的4倍
可以看出102＋75＝177(人)就是男职工人数，女职工有177×3＋102
＝633(人)，或，177×4－75＝633(人)。
例2一个养羊专业户,饲养山羊65只,养的绵羊比山羊多130只,绵羊的只数是山羊的多少倍?
解法一：先求出绵羊的只数,再与山羊的只数比较。把山羊的只数作为一倍,绵羊的只数里包含多少个山羊的只数,绵羊就是山羊的多少倍。
(65＋130)÷65＝195÷65＝3
解法二：先求出绵羊比山羊多的那一部分是山羊的多少倍,再加上与山羊同样多的那一倍,就是绵羊的只数是山羊的多少倍。
130÷65＋1＝2＋1＝3
练习四
1.选择算式填在括号里。
(1)业余体校有篮球23个,排球比篮球的2倍多5个,排球比篮球多多少个?()
(2)业余体校有篮球23个,排球比篮球的3倍多5个,再买多少个排球,排球就是篮球的4倍?()
(3)业余体校有篮球23个,排球比篮球的3倍少5个,排球比篮球的2倍多多少个?()
(4)业余体校有篮球23个,排球比篮球的3倍少2个,又买来5个排球,排球比篮球的3倍多多少个?()
(23＋523－55＋35－35＋25＋2)
2.同学们到游泳馆学游泳。已知游泳池里男同学的人数比女同学的3倍多24人,比女同学的4倍少8人。游泳池里有男、女同学各多少人?
3.一艘木船4小时航行76千米,一艘气垫船2小时航行114千米,气垫船的速度是木船的几倍?
4.时鲜果品店运来一批水果,其中,香蕉120千克,橘子的重量是香蕉的3倍。香蕉卖出了一些以后,橘子的重量变成了香蕉的5倍。卖出香蕉多少千克?
5.公园里养了9只大猴子,比小猴子的只数少27只,小猴子的只数是大猴子的多少倍?(用两种方法解)
6.新华小学组织四年级同学，对学校附近居民拥有家电的情况进行了一次调查,结果如下：252户有彩电,36户没有彩电；72户没有洗衣机,比有洗衣机的少144户。
(1)有彩电的户数比没有彩电的户数多多少倍?
(2)有洗衣机的户数是没有洗衣机的户数的多少倍?
第五讲解决问题(二)
例1一台黑白电视机468元,彩色电视机的价钱比黑白电视机的5倍还贵180元。买一台黑白电视机比买彩色电视机便宜多少元?
解法一：先求出一台彩色电视机的价钱，再拿黑白电视机的价钱和彩色电视机相比较。
468×5＋180－468＝2340＋180－468＝2052(元)
解法二：画出线段图
468元
黑白电视机的价钱180元
彩色电视机的价钱
从图上可以看出：彩色电视机的价钱比黑白电视机贵的部分,相当于黑白电视机价钱的5－1＝4倍多180元。因此,不必求出彩色电视机的价钱,也能求出黑白电视机比彩色电视便宜多少元。
468×(5－1)＋180＝468×4＋180＝2052(元)
例2新华书店四月份售出儿童读物12800本,比三月份多售出2200本。五月份售出的等于三、四两个月售出总和的一半,五月份售出多少本?
解法一：先求出三月份售出多少本，三、四两个月一共售出多少本，再求五月份售出多少本。
(12800－2200＋12800)÷2＝23400÷2＝11700(本)
解法二：用线段图表示出三、四月份售书本数之间的数量关系
12800本
四月份售书本数
三月份售书本数2200本
从图上可以看出：三、四月份售出的总数比四月份的2倍少2200本。因此,不必求出三月份售出多少本,可以先直接求出三、四月份售出的总数,再求出五月份售出多少本。
(12800×2－2200)÷2＝23400÷2＝11700(本)
练习五
1.畜牧场养了两种羊,黑羊1048只,白羊的只数比黑羊的3倍少59只。白羊比黑羊多多少只?(用两种方法解)
2.服装厂去年上半年生产童装1054箱,下半年生产的童装比上半年的2倍还多98箱,下半年比上半年多生产多少箱?
3.果园里有桃树204棵,梨树的棵数比桃树的3倍少57棵,两种果数共有多少棵?
4.学校图书室有科技书430本,故事书的本数是科技书的3倍,但是比连环画还少79本。连环画比科技书多多少本?
5.水果店上午卖出桔子15筐,下午卖出的比上午的2倍少4筐。每筐桔子25千克,每千克售价2元,一共卖了多少钱?
6.和平路小学有学生1250人,幸福路小学的学生人数比和平路小学多548人,健康路小学的学生人数等于这两所小学总人数的一半,健康路小学有学生多少人?(用两种方法解)
第六讲鸡免同笼问题
例1笼子里关着鸡和兔子一共36只,一共100只脚,鸡和兔子各多少只?
解：这就是有名的“鸡兔同笼问题”,解答这类问题，通常采用“假设法”。
解法一：假设全都是鸡,应该有2×36＝72(只)脚,比实际少了100－72＝28(只)脚。用一只兔子换一只鸡,可以增加4－2＝2(只)脚。增加28只脚，需要换28÷2＝14(只)兔子，也就是说实际有12只兔子,其余的36－14＝22(只)是鸡。
解法二：假设全都是兔子,应该有4×36＝144(只)脚,比实际多了144－100＝44(只)脚。用一只鸡换一只兔子,可以减少4－2＝2(只)脚。减少44只脚，需要换44÷2＝22(只)鸡，也就是说实际有22只鸡,其余的36－22＝14(只)是兔子。
在我国古代，解这类鸡兔同笼问题，采用一种非常特殊的方法，它的特别之处在于，脚不用“只”而用“双”做单位。古人是这样想的：免子有2双脚,鸡有1双脚，1只兔子比1只鸡多1双脚。现在共有50双脚,比头数多14,说明有14只兔子,其余的36－14＝22(只)自然是鸡。这种方法真是妙不可言。
例2一次考试共有10道题,评分标准是：答对一题得3分；答错一题扣2分；不能不答。小明得了15分,他一共答对了几道题?
解：可以这样想：假设10道题全都答对了,应该得3×10＝30(分),答错一题不仅不能得分还要扣分,等于少得3＋2＝5(分),小明少得了30－15＝15(分),说明答错了15÷5＝3(道),答对了10－3＝7(道)。
练习六
1．笼子里共有鸡和兔子51只，共有脚172只，鸡和兔子各多少只？
2.广场上停了16辆自行车和三轮车,两种车共有38个轮子,有几辆自行车,几两三轮车?
3.张老师带同学们到游乐场去玩,买了20张门票，一共用了76元。门票有两种,甲种票每张5元,乙种票每张3元,两种票各买了多少张?
4.搬运站给客户运250箱玻璃,商定每箱运费20元,如果损坏一箱,不仅不付运费,还要赔偿100元。结果共得运费4400元,损坏了几箱?
5.一次知识竞赛,共20题,答对一题得10分,答错一题扣5分,不答不得分也不扣分。小英得了155分,她答对了几题?答错了几题?
6.松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天采12个,它一共采了112个松子,平均每天采14个,这些天当中有几天下雨?
第七讲找规律
例1先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
(1)2，5,11,23,47，()，（）；
(2)13，16,18,31,23,46，()，()；
(3)8,15，11,13，15,10，20，6，()，()；
(4)8,3，9,4，10,5，()，()。
解：(1)观察发现：后项＝前项×2＋1。应该填47×2＋1＝95，95×2＋1＝191。
(2)观察发现：单数项依次加5，应该填23＋5＝28；双数项依次加15，46＋15＝61。
(3)观察发现：单数项依次加3、4、5，应该填20＋6＝26；双数项依次减2、3、4，应该填6－5＝1。
(4)观察发现：逐项依次减5，加6，应该填5＋6＝11,11－5＝6，
例2下面的数是由自然数1、2、3、……排列而成的，第10行最左边的数是多少？最右边的数是多少？
1
34
56789
10111213141516
171819202122232425
……
解：这道题实际上是求数列1,2，5,10,17，…和数列1,4，9,16,25，…的第10个数分别是多少。
在数列1,2，5,10,17，…中，相邻两个数的差依次为1,3，5,7，…第10个数是1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝1＋(1＋17)×9÷2＝82。
在数列1,4,9,16,25，…中，第几个数等于几自乘的积，第10个数是10×10＝100。
练习七
带“☆”的是往届全国小学数学奥林匹克竞赛题。
1．找出下面各数列的规律，并按所找到的规律在括号里填上合适的数。
(1)25,3，22,3，19,3，()，()；
(2)8,1，10,2，12,3，()，()；
(3)12,14,17,21,26，()，()；
(4)1,3，9,27,81，()，()；
(5)1,2，5,4，9,6，13,8，()，()；
(6)8，15,29,57，()，()；
(7)2,3，5,9，17，()，()；
(8)2,3，8,8，14,13,20，()，()。
2．找出下面数表的规律，然后再接下去写两行，并把每行各数的和填在右边的括号里。1()
11()
121()
1331()
14641()
()
()
3．找出下面算式的规律，再计算1＋2＋3＋…＋1999＋2000＋1999＋…＋3＋2＋1＝()
1＋2＋1＝4
1＋2＋3＋2＋1＝9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25
4．找出下面算式的规律，再求出1＋3＋5＋…＋99＝()
1＝1
1＋3＝4
1＋3＋5＝9
1＋3＋5＋7＝16
5．一只母鸡生蛋很有规律，总是连着两天每天生一个蛋，然后就要歇一天。已知“五·一”节这天没有生蛋，那么五月份一共生了()个蛋。
☆6.下面三个方框内的数有相同的规律,请你找出它们的规律,先确定B、C,再确定A,那么A是多少？
91202A3
2334BC
第八讲数正方形
例1图中有多少个正方形？
解：图中有许多大大小小的正方形。为了在数的时候做到既不重复又不遗漏，最好先分类，再一类一类地数。
(1)由两个小三角形组成的最小的正方形有8个；
(2)由4个小三角形组成的稍大一些的正方形有4个；
(3)由4个小正方形组成的更大一些的正方形有3个；
(4)由16个小三角形组成的最大的正方形只有1个。
所以，图中共有8＋4＋3＋1＝16(个)正方形。
例2图中有多少个正方形?
解：图中的小正方形共有4行，每行有4个。这些小正方形可以组成许多更大的正方形，仍然按照从小到大的顺序来数：
(1)小正方形有4×4个；
(2)由4个小正方形组成的正方形有3×3个；
(3)由9个小正方形组成的正方形有2×2个；
(4)由16个小正方形组成的正方形有1个。
共有16＋9＋4＋1＝30(个)。
由此猜想：假如中的小正方形共有5行，每行5个，是不是总共有5×5＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1个正方形呢？小正方形共有6行，每行6个，是不是总共有6×6＋5×5＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1个正方形呢？要是7行，每行7个呢？……请你验证一下好吗？你是否发现了这样一个规律：
如果图中的小正方形共有n行，每行有n个，计算正方形的总数，可以从n×n开始，然后每个因数都逐次减1，直到1×1为止，再把这些积相加。
例3图中有多少个正方形？
解：图中的小正方形共有4行，每行7个。这些正方形可以分为4类：1×1的、2×2的、3×3的、4×4的。分别有：
(1)1×1的正方形有4×7＝28(个)；(2)2×2的正方形有3×6＝18(个)；
(3)3×3的正方形有2×5＝10(个)；(4)4×4的正方形有1×4＝4(个)。
共有4×7＋3×6＋2×5＋1×4＝28＋18＋10＋4＝70(个)。
这就再次触发我们的猜想：如果图中的小正方形共有m行，每行n个，计算正方形的总数，是不是可以从m×n开始，然后每个因数都逐次减1，直到有一个因数出现1为止，再把这些积相加就行了呢？
请你给m、n设一些不同的数，验证一下好吗？
练习八
1.下面3个图形中各有多少个正方形？
2．左下图中有多少个正方形？
3．右上图中有多少个正方形？
4．右图是一个黑白相间的8×8国际象棋盘，其中有许多正方形，在这些正方形中,黑白格子各占一半的正方形有多少个？
第九讲乘法分配律的妙用
运用乘法分配律有时会使复杂的计算变得非常简单。乘法分配律的运用巧妙、灵活,处处闪耀着智慧的光芒。
例1计算72×126＝？
解：我们以前做过72×125这样的题目,是把72变成9×8,然后让8和125相乘。这就启发我们,可以把126先变成125＋1。于是
72×126＝72×(125＋1)＝72×125＋72＝8×9×125＋72
＝9×(8×125)＋72＝9×1000＋72＝9000＋72＝9072。
当然，上面写的是全部思考过程，其中许多步骤都是可以省略的。
例2计算999×999＋1999＝？
解：算式中999×999是求999个999的和,观察发现,还有1个999隐藏在后面的加数1999里面。于是
999×999＋1999＝999×999＋999＋1000＝999×(999＋1)＋1000
＝999×1000＋1000＝(999＋1)×1000＝1000×1000＝1000000。
例3计算49×16＋17×48＝？
解：运用乘法分配律的条件是：两个积必须有一个相同的因数。这里的两个积中,49和17不可能成为相同的因数,只有寄希望于16和48。观察发现,48＝16×3,其中有一个因数是16，这正是我们所要找的。于是
49×16＋17×48＝49×16＋17×(16×3)＝49×16＋(17×3)×16
＝49×16＋51×16＝(49＋51)×16＝100×16＝1600。
练习九
1.用乘法分配律使下面的计算变得简便。
(1)172×108－172×873×26＋73×75－73
(2)125×88404×25
(3)48×2548×2648×24
(4)56×12556×12656×124
2.用简便方法计算下面各题。
4×(25×26＋25×174)(2)264×97＋264×4
(3)37×15＋21×45(4)94×18－21×72
(5)72×24＋15×28＋9×28(6)11×9×11＋11×11
(7)235×27＋86×235－235×13(8)99＋11×11－11×19
☆3.计算：19961997×19971996－19961996×19971997＝___________。
第十讲除法各部分的关系
在四则运算中，除法的计算最为复杂，并且，除法还与分数的关系非常密切，因此，为了给以后学习分数打好基础，弄清除法各部分之间的关系就显得十分必要。
被除数、除数、商和余数之间存在以下关系：
在没有余数的除法中，被除数＝商×除数。
在有余数的除法中，被除数＝商×除数＋余数。
例1两个数相除,商8余16,被除数、除数、商和余数的和是463。被除数和除数各是多少?
解：先从463里面减去商8和余数16,得463－8－16＝439,439就是被除数与除数的和。而“被除数＝除数×商＋余数”,也就是说,被除数等于“除数的8倍”与“余数”的和,所以,如果从439里面再减去一次余数16,剩下的439－16＝423里面就只有“除数的8倍”和“除数”,也就是除数的8＋1＝9倍,于是,除数是423÷9＝47。被除数是8×47＋16＝392。
答：被除数是392，除数是47。
例2两个数相除，商9余4。如果被除数、除数都扩大3倍，那么被除数、除数、商、余数之和等于2583。原来的被除数、除数各是多少？
解：被除数、除数都扩大3倍以后，商不变仍然是9，而余数相应地也扩大了3倍，变成4×3＝12，所以，扩大后的被除数、除数之和是2583－9－12＝2562，于是，原来的被除数、除数之和是2562÷3＝854。因为原来的商是9，余数是4，说明原来的被除数比除数的9倍多4，所以，原来的除数是(854－4)÷(9＋1)＝85，被除数是854－85＝769。
答：被除数是796，除数是85。
因为除法和乘法是互逆关系，所以，有些由乘法产生的问题也要用除法来解决。
例3小马在计算两个整数相乘时，错把一个因数个位上的5看成了8，算出的积是5632；小虎错把同一个因数十位上的8看成了6，算出的积是4160。这道题正确的积应该是多少？
解：对于同一个因数，小虎比小马少算了(80－60)＋(8－5)＝23，因此积少算了5632－4160＝1472，说明那个正确的因数是1472÷23＝64。所以小马把另一个因数错当成5632÷64＝88，可见，另一个因数是85，这道题正确的积应该是64×85＝5440。
答：这道题正确的积应该是5440。
练习十
1．一个数除以最大的三位数,商比除数多1,余数比除数少1，这个数是多少？
2．一个整数除法算式的商是236,余数是47,被除数最小是多少?
3.两个数相除,商9余24,被除数、除数、商和余数的和是787。被除数是多少?
4.一个数除以10，商比被除数小567没有余数。这个数是多少？
5.小明在计算一道加法式题时,没有认真审题，把加号当成除号了,结果，除得的商和余数都是18。如果这道题的正确得数是531,那么这两个加数各是多少?
☆6.两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数等于415，则被除数是多少？
第十一讲三角形与角(一)
例1我们伟大祖国的国旗是五星红旗。在中国少年先锋队队旗上也有一颗耀眼的五角星。如果不用量角器，你能算出五角星的一个角是多少度吗？
解：观察发现，五角星的中心是一个正五边形。我们知道，一个n边形可以分成n－2个三角形，而无论什么样的三角形，内角和都是180°，所以，n边形的内角和等于180×(n－2)度。通常，把边和角分别相等的多边形叫做正多边形。因为正n边形的内角和等于180×(n－2)度，所以，它的一个内角等于180×(n－2)÷n度。
五角星的中心是一个正五边形，于是它的一个内角是180×(5－2)÷5＝108度。五角星的每个角都是一个等腰三角形的顶角，而这个等腰三角形的一个底角是180o－108o＝72o，所以五角星的一个角是180o－72o×2＝36o。
例2如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACD＝120o，∠AEB＝()o。
解：通常，把∠ACD这样的角称为三角形的外角。因为∠ACD与∠ACB的和等于180o，而三角形ABC的三个内角的和也等于180o，所以∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，也就是是说，
三角形的一个外角，等于不相邻的两个内角的和。
这是三角形中一个非常重要的数量关系。因此，∠BAC＋∠ABC＝∠ACD＝120o。又因为已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以，∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即，∠1与∠3的和等于∠BAC与∠ABC的和的一半，是120o÷2＝60o。在三角形AEB中，∠AEB＋∠1＋∠3＝180o，所以，∠AEB＝180o－(∠1＋∠3)＝180o－60o＝120o。
练习十一
1．菱形(图1)的内角和是多少度？常见的六角形螺丝帽(图2)的一个角是多少度？正十边形的一个角是多少度？
(图1)(图2)
2.左下图中∠1、∠2、∠3一共是多少度?
1
25
2
13
4
3
3．右上图中∠1、∠2、∠3、∠4、∠5一共是多少度?
4．如图，∠BAC＝20°,∠BDE＝60°,∠DEC＝25°,求∠ACE。
A
B
C
DE
5.图中∠ADE＝90°,∠A＝45°,∠C＝25°,∠AFB＝？
A
D
E
BFC
6．如图，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝100°，那么∠A＝？
第十二讲三角形与角(二)
例1下图是一个五角星形。连接A、B、C、D、E,得到一个正五边形,这个正五边形中，一共有多少个三角形?其中锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形各有多少个?
解：(1)与△ABE相同的有5个；
(2)与△ABG相同的有5个；
(3)与△AGF相同的有5个；
(4)与△ABF相同的有5个；
(5)与△AGE相同的有5个；
(6)与△ACD相同的有5个；
(7)与△BIE相同的有5个。
总共有5×7＝35(个)三角形。其中：
(1)与△ABE、△ABG、△BIE相同的15个是钝角三角形；
(2)与△AGF、△ABF、△AGE、△ACD相同的20个是锐角三角形。
在这35个三角形中,除了与△ABF、△AGE相同的10个不是等腰三角形以外,其余25个都是等腰三角形。
答：图中一共有35个三角形，其中有20个锐角三角形，15个钝角三角形，25个等腰三角形?
例2图中ABCD是正方形，EBC是正三角形，∠EAD＝？
AD
E
BC
解：因为EBC是正三角形，所以∠EBC＝60°，∠ABE＝90D°－60°＝30°。因为AB＝BE，ABE是等腰三角形，所以∠BEA＝(180°－30°)÷2＝75°，于是，∠EAD＝90°－75°＝15°。
练习十二
1．一个等腰三角形,顶角是70°,它的一个底角是多少度？
2．一个直角三角形，两个锐角相差12°，这两个锐角分别是多少度？
3．下图是由一个正方形ABCD和一个正三角形CDF组成的，那么，∠AFB是多少度？
AD
F
BC
4．如图，在三角形ABC中，BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠BAC＝。
A
BDEC
5．图中有两个三角形。已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝50°，∠D是多少度？(第十届“中原之星”数学竞赛题)
6．图中的∠1是多少度？(第七届“中原之星”数学竞赛题)
第十三讲小数和小数加减法
例1计算5.5＋5.6＋5.7＋…＋7.3＋7.4。
解：观察发现：相邻两个加数的差都是0.1，因此，这些加数是等差数。因为首尾两个加数相差7.4－5.5＝1.9，而1.9里面含有19个0.1，所以总共有19＋1＝20个加数。根据求等差数的和的方法，
5.5＋5.6＋5.7＋…＋7.3＋7.4
＝(5.5＋7.4)×10
＝12.9×10(根据小数的性质，只需把小数点向右移动一位。)
＝129。
例2小华储蓄了28.5元,买练习本用去7.9元,爸爸又给他10元,他现在有多少钱?
解法一：买练习本以后还有28.5－7.9＝20.6(元),爸爸给他钱以后他总共有20.6＋10＝30.6(元)。
解法二：如果爸爸先把钱给他,他总共有28.5＋10＝38.5(元),买练习本以后还剩38.5－7.9＝30.6(元)。
解法三：如果买练习本用的是爸爸给的钱,能剩10－7.9＝2.1(元),连原有的储蓄总共有28.5＋2.1＝30.6(元)。
你喜欢用哪种解法?
练习十三
1.在○里填运算符号,在横线上填适当的数,使等式成立。
7.8○＝78010.78○＝107.8
0.47○＝0.0476.4○＝0.064
0.0415＝41.5○100＝0.01○
○100＝5.3○10＝0.49
2.小数加减法的运算性质与整数加减法完全相同。你能像计算整数加减法那样，用简便方法计算下面各题吗？
(1)7.6＋9.9(2)2.5－1.98
(3)8.6－1.35＋1.4－0.65(4)12.56＋8.73－4.73
(5)31.87＋6.54－0.87(6)84.67－(14.67＋15.3)
(7)1.72＋(0.594＋3.28)(8)15.04＋(9.27－5.04)
3.一只篮球64.8元,足球比篮球便宜12.5元,比排球贵9.2元,一只排球多少元?
4.甲乙二人买同一种杂志,甲买一本差2.80元,乙买一本差2.60元,而他们的钱合起来买一本还剩2.60元。这种杂志每本多少元?
5.妈妈买来一块布，给小明做裤子用了1.9米,做上衣比裤子少用0.16米,还剩下1.06米,这块布全长多少米?
6.计算1991＋199.1＋19.91＋1.991＝？
第十四讲趣味数学题
1．图中有11个小黑点和1个大黑点。如果从一个小黑点开始，按顺时针方向数到200，正好是大黑点，你能指出是从哪个小黑点数起的吗？
2．下图是用火柴摆成的图形。
要求：
拿掉2根火柴，使图形变成两个正方形；
移动3根火柴，使图形变成3个正方形；
移动4根火柴，使图形变成3个正方形。
你能做到吗？画图表示出来。
3．你能用只1、2、3、4、5、6、7七个数字和一些加号，使计算结果等于100吗？
4．把下面这张方格图，沿格子线分成形状相同大小相等的两块。据说，德国著名数学家高斯，七岁的时候就找到了6种不同的分法。你也来分分试试好吗？
把你找到的分法画在下面：
5．啤酒店规定3个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒。如果买10瓶啤酒，按照这个规定最多可以喝到多少瓶啤酒？
6．在一个正方体木块的六个面上，分别写着1、2、3、4、5、6六个数，并且相对的两个面上的数之和都是7。如图，按箭头方向翻动木块，当翻动到最后一格时，木块上面的数是几？
第十五讲考考你自己
填空。
(1)2.08是由()个百分之一组成的。
(2)0.01<()<0.02
2.填空。
(1)两条直线相交形成四个角,其中一个角是30°,另外三个角分别是(°)、(°)、(°)。
(2)4:00的时候,钟面上时针与分针所成的角是(°)。
在圆圈里填上适当的运算符号,使计算简便。
5384－3196＋2196＝5384○(3196○2196)
4.在圆圈里填上适当的运算符号,在横线上填上适当的数,使计算简便。
7200×49÷36＝7200○○
5.在圆圈里填上适当的运算符号,在横线上填上适当的数,使计算简便。
12.56－3.71－6.29＋7.44＝(○)○(○)
6.用12除24与36的积,商比50多多少？
7.体育用品商店有一种运动服,上衣48.5元,比裤子贵8.5元。买一套这样的运动服,付给售货员100元,应该找回多少元?
8.一个数分别与18和15相乘,所得的两个积相差36,这个数是多少?
9.有一批画片,平均分给10个同学,每人可以分6张,后来又增加了几个同学,这样一来,每人只能分5张,增加了几个同学?
10.有一盒火柴,从中取出了10次,分别是1根、3根、5根、7根、9根、11根、13根、15根、17根、19根,恰好取完。这盒火柴共有多少根?
参考答案
第一讲加减混合式题的简算(略)
第二讲乘除混合式题的简算
1．至5.(略)。
6.原式＝1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8＝1÷2×8＝1×8÷2＝4
第三讲求等差数的和
1．2.(略)。
3.总层数13是单数，中间的那层是第7层，有7×6＝42(个)风铃。
4．第三天看了10＋2×2＝14(页)，这本故事书有14×5＝70(页)。
5.10是双数，第1家与第10家门牌号数的和是105÷(10÷2)＝21。第10家的门牌号数比第1家大9，如果把第10家的门牌号数减9，这两家的门牌号数的和21－9＝12，就是第1家门牌号数的2倍，所以他是从12÷2＝6号加起的。
第四讲解决问题(一)
1.(1)23＋5。(2)23－5。(3)23－5。(4)5－2。
2.女同学24＋8＝32(人)，男同学32×3＋24＝120(人)。
3.114÷2÷(76÷4)＝3倍。
4.120－120×3÷5＝48(千克)。
5．解法一：(9＋27)÷9＝4倍。解法二：27÷9＋1＝4倍。
6.(1)252÷36－1＝6倍。(2)144÷72＋1＝3倍。
第五讲解决问题(二)
1．解法一：1048×3－59－1048＝2037(只)。解法二：1048×(3－1)－59＝2037(只)。
2.1054＋98＝1152(箱)。3.204×(3＋1)－57＝759(棵)。
4.430×(3－1)＋79＝939(本)。
5.2×25×[15×(1＋2)－4]＝2050(元)。
6.解法一：(1250＋1250＋548)÷2＝1524(人)。解法二：(1250×2＋548)÷2＝1524(人)。
第六讲鸡兔同笼问题
1．鸡16只，兔子35只。
2．自行车：(3×16－38)÷(3－2)＝10(辆)。三轮车：(38－2×16)÷(3－2)＝6(辆)。
3．甲种票：(76－3×20)÷(5－3)＝8(张)。乙种票：(5×20－76)÷(5－3)＝12(张)。
4．(250×20－4400)÷(20＋100)＝5(箱)。
5、错了(20×10－155)÷(10＋5)＝3(题)，对了20－3＝17(题)。
6.112÷14＝8(天)，如果这8天全是晴天，应该采20×8＝160(个)，实际少采160－112＝48(个)，雨天比晴天少采20－12＝8(个)，这些天中有48÷8＝6(天)下雨。
第七讲找规律
1．(1)16,3；(2)14,4；(3)32,37；(4)243,729；(5)17,10；(6)113,225；(7)33,65；(8)18,26。
2．(略)。3.2000×2000＝4000000。4.50×50＝2500。
5.2007年是平年，365÷3＝121……2，前3×121＝363(天)生2×121＝242(个)蛋，最后两天，第一天不生蛋，第二天生1个蛋，全年一共生242＋1＝243(个)蛋。
☆6.前两个方框中,右上角、左下角、右下角三个数都是连续自然数,所以B是4,C是5。前两个方框中,左上角的数都等于右上角与左下角两个数的和乘右下角的数所得的积,所以C＝(3＋4)×5＝60。
第八讲数正方形
1．10、18、15。2．385个。3．130个。
4．边长是2的倍数的正方形中，黑白格子各占一半：2×2的有7×7＝49(个)；4×4的有5×5＝25(个)；6×6的有3×3＝9(个)；8×8的有1×1＝1(个)。共有49＋25＋9＋1＝84(个)。
第九讲乘法简算
1．(略)。
2．(1)原式＝4×25×(26＋174)＝100×200＝20000。
(2)原式＝264×(96＋4＋1)＝264×(100＋1)＝26400＋264＝26664。
(3)原式＝37×15＋21×3×15＝15×(37＋63)＝15×100＝1500。
(4)原式＝94×18－21×18×4＝18×(94－84)＝18×10＝180。
(5)原式＝72×24＋28×(15＋9)＝72×24＋28×24＝(72＋28)×24＝2400。
(6)原式＝11×11×(9＋1)＝1210。
(7)原式＝235×(27＋86－13)＝235×100＝23500。
(8)原式＝11×9＋11×11－11×19＝11×(9＋11－19)＝11×1＝11。
☆3.原式＝(19961996＋1)×19971996－19961996×(19971996＋1)＝19961996×19971996＋19971996－19961996×19971996－19961996＝19971996－19961996＝10000。
第十讲除法各部分的关系
1.(999＋1)×999＋(999－1)＝999998。
2．236×48＋47＝11328＋47＝11375。
3．除数是(787－9－24－24)÷(9＋1)＝73，被除数是9×73＋24＝681。
4.被除数是商的10倍,比商多9倍，所以这个数是567÷9×10＝630。
5.因为这两个数的和是531，在小明的错误中，531也就是被除数与除数的和。所以除数是(531－18)÷(18＋1)＝27，被除数是531－27＝504，也就是说，这两个加数分别是27和504。
☆6.除数＝(415－4－8－8)÷(4＋1)＝79，被除数＝79×4＋8＝324。
第十一讲三角形与角(一)
1．360°，144°，120°。
2．因为这三个角的和等于三个180°减去一个三角形三个内角的和，所以，∠1＋∠＋∠3＝180°×3－180°＝360°。
3．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝180°×5－180°×(5－2)＝360°。
4．因为△DBE的内角和是180°,所以,∠DBE＝180°－∠BDE－∠CED＝180°－60°－25°＝95°,进而求出∠ABE＝180°－∠DBE＝180°－95°＝85°。同理,∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－20°－85＝75°,进而求出∠ACE＝180°－∠ACB＝180°－75°＝105°。
5．∠AFB＝∠C＋(90°－∠A)＝25°＋45°＝70°
6．因为∠2＋∠4＝180°－100°＝80°，∠1＋∠3＝80°，所以∠B＋∠C＝160°，于是，∠A＝180°－160°＝20°。
第十二讲三角形与角(二)
1．55°。
2．一个锐角＝(90°＋12°)÷2＝51°,另一个锐角＝(90°－12°)÷2＝39°
3．30°。4．120°。
5．∠2＋∠3＝(180°－50°)÷2＝65°,∠D＝180°－65°＝115°。
6．∠1＝180°－［48°＋(90°－30°)］＝72°。
第十三讲小数和小数加减法
1．2.(略)。3.43.1元。
4．买2本还差2.8＋2.6＝5.4(元)，买1本还剩2.6元，所以每本杂志2.6＋5.4＝8(元)。
5．4.7米。
☆6.观察发现4个加数分别接近2000、200、20、2，所以它们的和接近2222，再减去多算的9.999，也就是先减10再加0.001，就得到原式的和2212.001。
第十四讲趣味数学题
1．总共有大小12个黑点，200÷12余8，倒过来想，从大黑点开始按逆时针方向数到8的那个小点就是要找的小黑点。
2．
3．1＋2＋34＋56＋7＝1001＋23＋4＋5＋67＝100等
4．这6种分法是：
5．喝完10瓶后，用9个空瓶换回3瓶；喝完这3瓶后，再用3个空瓶换回1瓶；喝了这1瓶后，连原来还剩下的1个空瓶共2个空瓶，设法临时借1个空瓶，凑够3个空瓶，再换回1瓶，喝了以后把瓶子还给人家。总共可以喝到10＋3＋1＋1＝15(瓶)啤酒。
6．向右翻转两次后，左面是4；再向前翻转3次，左面一直是4；所以，再向右翻转一次后，上面是4。
第十五讲考考你自己
1．(1)208。(2)答案不惟一。2．(1)30°，150°，150°。(2)120°。
3．－，－。4．÷36×49。5．(12.56＋7.44)－(3.71＋6.29)。
6．24×36÷12－50＝22。7．100－(48.5－8.5＋48.5)＝11.5(元)。
8．36÷(18－15)＝12。9．10×6÷5－10＝2(人)。
10．(1＋19)÷2×10＝100(根)。
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