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圆锥曲线的解题技巧

2012-10-11  香花供养
 馆友“香花供养”:
您好!您的文章“
圆锥曲线的解题技巧”深受广大馆友的喜爱,于2013年3月5日进入“阅览室”频道的“教育/学习”下“初中/中考”类别的精华区。360doc代表全体馆友感谢您的辛勤劳动和慷慨分享!
 

一、考查目标:
  1、熟练掌握三大曲线的定义和性质;
2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;
3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。
二、相关知识考查:
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等,也要注意斜率的存在与否)
  2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)
  3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)
  4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算
  5、了解线性规划的意义及简单应用
  6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
  7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)
  8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
三、常规七大题型:
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为,则有
(2)与直线相交于A、B,设弦AB中点为,则有
  (3)与直线相交于A、B设弦AB中点为,则有,即.
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。
(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
<1>可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。
 最值问题的处理思路
 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;
 2、数形结合,用化曲为直的转化思想;
 3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;
 4、借助均值不等式求最值。
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(5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程
(6)存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)
(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理或用向量的坐标运算来处理。
四、解题的技巧方面:
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
(3) 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。
(4)充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。
(5)线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型如的方程,方程的两根设为,判别式为△,则,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。
② 结合图形的特殊位置关系,减少运算
 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。
③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离



 


 
 

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