|
小学奥数难题汇编13
在历史上，各种不同文明社会中的数学家都提出了他们对圆周率π，也就是圆周与直径比率的估算。
据莱茵德纸草文书(Rhind Papyrus)的记载，古埃及人用256/81作为圆周率，这个数字比旧约中犹太人所使用的粗略近似值3要好得多。古希腊人花费许多心思想要更准确地求出这个比率，而阿基米德以一个 (Ptolemy)则相信圆周率应该是： 显然他受到他所熟悉的数字60的影响。 还有其他亚洲的数学家也作了近似值的估算： 比较接近现代的莱昂纳多(Leonardo)在13世纪时提出圆周率为 1440/458.5，而16世纪的古萨(Cusa)则认为正确的数值应该是3 还有许多其他著名的数学家都曾经估算过π值，然而π这个符号却是在18世纪，欧拉(Euler)及其他数学家有鉴于它在分析及几何学上的重要性，才开始使用的。 π是无理数，即使在现代使用电脑能计算到小数点后数千位，但还是无法把π化成分数的形式。其中小数点后的前15位数是： 3.141 592 653 589 793 利用计算器比较一下历史上所出现的各种估计值，并依照准确性加以排列。 有位中国天文学家所提出的估计值是abb/cca，其中a、b、c各代表不同的数字，这个值准确到小数点以下6位。你能找出a、b、c是多少吗？ 分析与解答： 下列π值的估算，依其精确度排列。 但是历史上最精确的估计值是中国天文学家祖冲之的355/113＝3.141 592 9。
这个题目所要考虑的一系列曲线是阶梯状的，由等腰直角三角形ABC中的A到B(图1～图4)。第一条阶梯曲线有两个阶梯，接下来每次都把阶梯数加倍。如果AC的长度是1，那么稍作思考就可以明白，每一条阶梯曲线的总长度都是2。然而，系列中的第十条阶梯曲线阶梯数为210。这时曲线与直角三角形的斜边已经看不出太大的差异。到了第一百条阶梯曲线，会有1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000个阶梯，与AB几乎无法分辨。但是依照勾股定理，AB的长 由半圆形所形成的一系列“蛇形”曲线，也会产生类似的悖论(图5和图6)。
如果AB的长度是1的话，请证明每一条蛇形曲线的长度为π/2。当蛇形曲线的弯曲度不断增加时，它与线段AB也会愈来愈难以分辨，那么是否意味着π/2=1？ 分析与解答： 阶梯曲线和蛇形曲线只是“看起来”近似于直线。阶梯的长度永远是2，蛇形的长度也永远是π/2。
由等边三角形开始，可以形成两种有趣的系列曲线，如右图。将等边三角形的每一边三等分，再取中间那一等分作较小的等边三角形。然后在所形成的曲线的每一段直线上，同样作三等分，继续作更小的等边三角形。以此类推，就可以形成一系列的雪花曲线。 我们用非常类似的方法也可以作出反雪花曲线，只要在三等分的地方向内作等边三角形即可。 画出这种曲线最简单的方法是利用方格纸，并将一开始的等边三角形每边定为9个单位长。 如果开始的三角形周长是L个单位，那么系列中第一条曲线及第二条曲线的周长分别是4/3L及(4/3)2L。请说明为什么。 相对应的反雪花曲线的周长又是多少？ 这两种系列的第十条曲线，周长各是多少？ 研究一下雪花曲线与反雪花曲线的面积各是多少，以开始的三角形面积A来表示。
分析与解答： 雪花曲线是科克(von Koch)所发明的，他以此来证明一条曲线可以拥有无限的长度，但是却只包围有限的面积。 雪花形以及反雪花形曲线，两者由系列中的某条曲线改变到下条曲线时，它的周长会乘以4/3，因为每一段直线的中央1/3部分会被两段新的直线所取代，而它们的长度为原线段的1/3。
因此，互相对应的雪花形和反雪花形曲线的周长是一样的。系列中第十条曲线的周长是(4/3)10L，而第n条曲线的周长为(4/3)nL。 系列中前两条雪花曲线包围的面积分别是： 其通式为：
其中An表示第n条雪花曲线包围的面积。 前两条反雪花形曲线包围的面积分别是：
其通式为：
一个系列不断继续下去的极限观念是本题的特点，也是学习数学的基础。就是这些观念经常会激发那些未来将成为数学家的孩子的想象力。
一位板球选手击出球，或是小孩向空中掷出石头，球和石头行进路线所呈的曲线，就近似抛物线(图1)。 吊桥上的钢缆也是呈抛物线形(图2)。 在家中也经常可以找到呈抛物线的曲面，如有些电热炉的反射器，或是手电筒的反光板，可以将位于焦点的热源或光源所产生的热或光反射出去。这种特性也被应用在下列的设计中：各种大小的雷达天线、接收人造卫星信号的大型碟形接收器、光学天文望远镜的反射镜面等等(图3)。
除了直线和圆之外，抛物线是学校中最常画到的曲线，因为它是y＝x2，也是任何二次方程式的形状。不过，我们在这里要用其他方法产生抛物线。 画出抛物线的第一种方法，如图4所示，是以A点为圆心，画出半径分别为1cm、2cm、3cm、4cm、…9cm的一组圆。然后画出一组平行线，彼此间隔1cm，并分别与这些圆相切。如图4所示，将直线与圆加以标示(从1到9)，然后仔细把第n条直线与第n个圆的交点(Pn与Qn)标示出来。把这些点连成一条平滑的曲线，这就是抛物线，而圆心A就是它的焦点。 焦点有个非常特殊的性质。如果把灯泡置于一块抛物线形镜面的焦点，那么所有的光线都会以平行于镜面对称轴AB的方向反射出去。相反，如果光线以BA的方向射向镜面，那么所有光线反射后都会经过焦点。望远镜、雷达、探照灯等的反射面都是利用这种特性设计的。
画出抛物线的第二种方法，对喜好编织的人来说，一定不会陌生(图5)。 由某一点，以某个夹角画出两条等长的直线(如10cm)。在每一条直线上标出10个等分点，然后连接一条直线上的第n点与另一条直线上的第(11-n)点，也就是10→1、9→2、8→3，以此类推。
不论两条直线之间的夹角为多少，所画出的直线会形成抛物线形的包络线。 第三种方法也是要产生抛物线形的包络线。在纸的左边画一条垂直的直线MN，并在直线的中点附近标出一点A，如图6所示。接着用三角板的直角部分与直线接触，而且直角的一边须接触到A点。再沿着直角的另一边画出直线PQ。把三角板移动到不同位置，但保持直角与直线接触，直角的一边与A点接触，这样画出许多直线之后，就会出现抛物线形的包络线。 由于受到重力的作用，许多物体被抛掷时，都会沿着抛物线形的路径行进，如被掷出的石头、被运动员推出的铅球、跳远选手跳起之后的路线、喷泉的水流轨迹等等。看看你还能观察到哪些现象。 分析与解答 由于第三种以编织方法产生抛物线形的包络线的方法相当容易理解，因此在内文中并没有多作讨论。然而，由n→11-n画线，如果其中n只取1、2、…10，那么这个做法可能会使人误认为抛物线会趋向于原有的两条直线，其实抛物线的方向是趋近
于对称轴的方向。要观察这一点，n的值必须包括正数与负数，如图所示，其中原来的两条直线则画成互相垂直。
可以实际做个实验，以了解抛物线形的碗状物是如何将太阳所放出的热辐射集中到焦点上。用硬纸板做一个呈抛物线形的物体，再贴上铝箔纸，就形成一个抛物线反射器。将一个试管装满水，悬吊在反射器的焦点上，再观察试管内水温上升的现象。
第一种画椭圆的方法如图1所示，先画出两条平行线，标上刻度，再利用对应x→1/x的直线，例如1→1、2→0.5、3→0.33、4→0.25、5→0.2、10→0.1，就可以形成椭圆包络线。这两条平行线距离越远，椭圆就越长。如果能找到适当的线距，以及相对应的刻度，也可以形成一个圆形。请研究一下。
第二种方法是把椭圆放入一个长方形。画出一个长方形ABCD，长是宽的2倍，例如16cm与8cm。再画两条直线ST和VW，把大长方形平均分割成4个小长方形。把直线ST、AD、BC都8等分，并如图2所示加以标示。 由W经过OS上标示为1的点画一条直线，由V与AS上标示为1＇的点连一条直线。这两条直线的交点就是椭圆上的一点。 接着，由W经过OS上标示为2的点，以及由V与AS上标示为2＇的点，分别画出直线。同样地，这两条直线的交点也会在椭圆上。继续以这种方式完成各象限的直线，然后用平滑的曲线连接各个交点。 由于长方形的长宽比例以及等分的点数使得直线的数目很少，因此以少数交点就难以精确绘出椭圆形。但如果等分点太多，也容易出错。
第三种方法需要用到三角板。先画出一个大圆(如半径5cm)，并在接近圆周的位置画上一点A，如图3所示。然后把三角板放在纸上，使三角板的直角刚好在圆周上，其中一边要与A点接触，顺着另一边画出一条弦PQ。移动三角板到许多不同位置，保持直角的一边接触A点而且直角在圆周上，你很快就可以发现一条椭圆包络线正逐渐成形。
完成一个椭圆形之后，试着把A点放在不同位置，看看结果如何。A是椭圆的焦点。另一个焦点在哪里？ 第四种方法是用圆来形成椭圆包络线，如图4所示。画出一个圆，如直径5cm。画一条直径AOB，再每隔1cm画出垂直于AOB的弦。然后取其中一条弦PQ，以其中心R为圆心画圆，并通过 P点和 Q点(即PQ为这个圆的直径)。以同样的方式用其他垂直的弦为直径画圆，最后就会出现一个能令你满意的椭圆形。 以靠近A和B的弦为直径所画出的圆，会完全在椭圆形之内，因此它们不属于包络线的一部分。
分析与解答 如果你是爱钻研的人，请试着证明用这些方法画出的图形是椭圆形或是椭圆包络线。这是有趣的课外功课。 在数学上，“包络”(envelope)是指一系列的直线(或曲线)包围出一个形状的情形。如图1中的直线组成一个圈，然而实际上我们并没有“画”这个圆，这时就把这个圆称作是包络线。 要想画出类似的包络线，首先要画出一个大圆(例如直径10cm)，并把圆周分成36等分，用量角器每10°作一点即可。 把第n点与第n＋10点连线，就可画出如图1的圆形包络线。如果n＋10大于36，则须减去36。例如当n=29时，n＋10＝39，减去36之后得到3，所以第29点是与第3点连线。
如果以n与n＋5，n与n＋15，n与n＋25等方式连线，会得到怎样的包络线？ 以其他方式连线会得到更多有趣的包络线。 连接1与2、2与4、3与6、4与8、5与10、…n与2n(图2)，所形成的包络线称作“心脏线”(cardioid)。 连接1与3、2与6、3与9、4与12、5与15、…n与3n(图3)，所形成的包络线称为“肾脏线”(naphroid)。 试试以其他规则所能产生的效果。
分析与解答 为了节省时间，最好是先用复印机或其他方式复制几张标记有36个点的圆。这个有趣的题目说明了数字形式与几何图形之间的关系。对于那些喜好编织艺术的人，这个题目应该能带给他们一些新的灵感。
这是两个人玩的游戏。首先准备一些筹码(火柴棒、硬币或回形针都可以)。 有人在研究圣经并运用电脑经过长时间计算之后发现，等到某个世纪的第一天正好是星期天时，世界末日就到了。 请问距离世界末日还有多久？ 分析与解答 一个世纪的第一天，永远不可能是星期天、星期二或是星期四，听起来很令人意外吧！为了使历法更精确，教皇葛里高利十三世(Gregory ⅩⅢ)在1582年下令，每4年置一闰年，但不能将400整除的世纪元年不是闰年。因此，2000年是闰年，但2100、2200、2300年虽然可以被4整除，却不是闰年。 为了解这个历法对于每个世纪的第一天(即世纪日)是星期几有何影响，首先必须知道由这个世纪的世纪日到下个世纪的世纪日总共有几天。一世纪是100年，通常会有25个闰年，所以一世纪有36 525天，相当于5 217个星期再加6天。因此，如果没有葛里高利教皇的历法修正，由这个世纪到下个世纪，世纪日的星期序会往后推6天。然而这只适用在世纪元年可以被400整除的那个世纪。其他的情形，一个世纪只会有24个闰年，因此世纪日的星期序只会向后推5天。经过计算之后知道，2000年的第一天是星期六。那么： 年份： 2000 2100 2200 2300 2400 2500 世纪日：星期六 星期五 星期三 星期一 星期六 星期五 这样的循环周而复始，因此世纪日绝不可能出现在星期天、星期二或星期四。所以根本不会有世界末日！
找出3个数字填入三角形顶点的圆圈中，使每一边的数字和相等。 有许多解答，它们彼此之间的关系如何？ 分析与解答 最简单的答案就是把对边中间的数字填入顶点的圆圈中。每一边会包含3个数字10、17、45，其和为72。其他可能的答案就是将这些数字同时加上一个相同的数字d，因此通解的形式如下： 上顶点： 17＋d 左顶点： 45＋d 右顶点： 10＋d 每一边的总和成为72＋2d。当然d可以是正数或负数。
找出A、B、C分别代表什么数字，使这个加法算式能够成立。 分析与解答 运用试误法，首先试着找出一些可能为A的数字，再找出可能为B的数字，很快就能得到答案 A＝1，B＝4，C＝8。除A＝B＝C＝0之外，这是唯一的答案。
长方形ABCO的一个顶点位于圆心O，另一个顶点A距离圆周2cm。A与C的距离为7cm。 圆的半径是多少？ 分析与解答 这个问题一点儿都不难，除非你受到多余条件的误导。因为ABCO是长方形，OB＝AC=7cm，因此圆的半径就是7cm。AD的长度有什么用？
某镇的教堂所唱的赞美诗久负盛名，他们也竭尽所能地来维护这项荣誉。每次做礼拜时，管风琴师的妻子会将一组号码牌挂在唱诗板上，这样参加聚会的人都可以一目了然，知道下面要唱的是哪一首赞美诗。 但用了许多年之后，号码牌由于磨损而变得很不雅观。到最后甚至没有足够的号码牌来显示牧师所挑选的赞美诗，因此管风琴师威胁着要辞职。 教堂的管理委员会于是召开紧急会议，会上他们同意订制一组新的号码牌。他们估计唱诗板上有15个位置，每个位置需要10张不同数字的号码牌，所以总共需要150张号码牌，可是他们负担不起这笔花费。然而，管风琴师的妻子却说，依照她的经验，6可以当作9，只要上下颠倒就可以了，而且不同的数字可以写在号码牌的两面。她相当自信地表示，她可以设计出一组不到100张的号码牌，就足以将教堂诗集里984首赞美诗中的任何5首的号码挂在唱诗板上。为了满足这个要求，最少需要几张号码牌？ 分析与解答 只需要51张号码牌。 因为可能会有人挑选下面5首赞美诗： 966 699 696 669666 所以6(9)这个数字必须出现在15张不同的号码牌上。 因为可能会有人挑选类似下面5首赞美诗： 888 881 882 883884 因此8、7、5、4、3、2、1所有的数字都必须出现在11张不同的号码牌上。 0这个数字出现次数最多的情形是在有人挑选类似下面5首赞美诗时： 100 200 300 400 500 因此0必须出现在10张不同的号码牌上。 这样总共需要102张号码牌，但是经过仔细的配对，这些数字可以写在51张号码牌的两面，并且符合所有的要求。答案如下： 各2张 (6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，7)(6，8) 1张 (6，0) 4张 (0，8) 5张 (8，7) 5张 (7，5) 5张 (5，4) 4张 (4，3) 5张 (3，2) 4张 (2，1) 5张 (1，0)
8枚硬币，正面(H)与反面(T)交错，一个接着一个地排成一直线，如图所示。每次移动时，须同时移动两枚相邻的硬币，但不改变两者的次序，可以移到两端或适当的空位。请证明只需4次移动，就可以将硬币排成TTTTHHHH，每枚硬币都互相接触排成一直线。 分析与解答 开始 H T H T H T H T 第一次移动 T H H T H T H T 第二次移动 T H H T H H T T 第三次移动 T T H H H H T T 第四次移动 T T T H H H H 从扑克牌中挑出所有的J、Q、K、A，排成4×4的阵列，而且每一行和每一列这4种牌只能出现一次。排法有许多种附图只是其中之一。
请找出一种排法，使对角线也和各行、各列一样，4种牌只出现一次。 但真正的难题是找出一种排法，使每一对角线、每一行和每一列都是由不同花而且不同大小的牌组成。总共有 72种排法，快排排看！ 分析与解答 一种排法是： Ah Kc Qd Js Qs Jd Ac Kh Jc Qh Ks Ad (s代表黑桃，h代表红心， Kd As Jh Qc d代表方块，c代表梅花)它能满足所有条件。 这个谜题的历史相当悠久，在18世纪初的刊物中就有记载。著名的数学家欧拉(Euler)曾提出一个36位军官的类似谜题，也就是6个不同军团各有6名军官。但这个谜题后来证明无解。如果你想试试另一个同类型而且有解的问题，请参考下例。 有5个车队A、B、C、D、E参加汽车大赛，每个车队又有5辆编号为1、2、3、4、5的汽车。所有的车子在起跑区排成5×5的阵列。为了公平起见，这个阵列的每一行、每一列以及对角线都只能有一辆某个车队、某个编号的车。请找出适当的车辆起跑配置。 |
|
|
