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小学奥数难题汇编10 衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。
〔一〕今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？ 荅曰： 大夫得一鹿、三分鹿之二。 不更得一鹿、三分鹿之一。 簪裹得一鹿。 上造得三分鹿之二。 公士得三分鹿之一。 术曰：列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。 〔二〕今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：「我羊食半马。」马主曰：「我马食半牛。」今欲衰偿之，问各出几何？ 荅曰： 牛主出二斗八升、七分升之四。 马主出一斗四升、七分升之二。 羊主出七升、七分升之一。 术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。 〔三〕今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？ 荅曰： 甲出五十一钱、一百九分钱之四十一。 乙出三十二钱、一百九分钱之一十二。 丙出一十六钱、一百九分钱之五十六。 术曰：各置钱数为列衰，副并为法，以百钱乘未并者，各自为实，实如法得一钱。 〔四〕今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？ 荅曰： 初日织一寸、三十一分寸之十九。 次日织三寸、三十一分寸之七。 次日织六寸、三十一分寸之十四。 次日织一尺二寸、三十一分寸之二十八。 次日织二尺五寸、三十一分寸之二十五。 术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法，以五尺乘未并者，各自为实，实如法得一尺。 〔五〕今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？ 荅曰： 北乡遣一百三十五人、一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。 西乡遣一百一十二人、一万二千一百七十五分人之四千四。 南乡遣一百二十九人、一万二千一百七十五分人之八千七百九。 术曰：各置算数为列衰，副并为法，以所发傜人数乘未并者，各自为实，实如法得一人。
〔六〕今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？
荅曰： 大夫出一斗、四分斗之一。 不更出一斗。 簪褭出四分斗之三。 上造出四分斗之二。 公士出四分斗之一。 术曰：各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列衰，副并而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。 〔七〕今有禀粟五斛，五人分之，欲令三人得三，二人得二。问各几何？ 荅曰： 三人，人得一斛一斗五升、十三分升之五。 二人，人得七斗六升、十三分升之十二。 术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者，各自为实。实如法得一斛。 返衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。 〔八〕今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？ 荅曰： 大夫出八钱、一百三十七分钱之一百四。 不更出一十钱、一百三十七分钱之一百三十。 簪褭出一十四钱、一百三十七分钱之八十二。 上造出二十一钱、一百三十七分钱之一百二十三。 公士出四十三钱、一百三十七分钱之一百九。 术曰：置爵数各自为衰，而返衰之，副并为法。以百钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。 〔九〕今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？ 荅曰： 甲二升、一十分升之七。 乙四升、一十分升之五。 丙一升、一十分升之八。 术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰、而返衰之，副并为法。以九升乘未并者各自为实。实如法得一升。 〔一0〕今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？ 荅曰：五斤八两一十二铢、三分铢之四。 术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。
〔一一〕今有丝一斤价直三百四十三。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？
荅曰：一百六十一钱、三十二分钱之二十三。 术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数，乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。 〔一二〕今有缣一丈价直一百二十六。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？ 荅曰：六百三十三钱、五分钱之三。 术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实，实如法得钱数。 〔一三〕今有布一匹，价直一百二十三。今有布二丈七尺，问得钱几何？ 荅曰：八十四钱、分钱之三。 术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实，实如法得钱数。 〔一四〕今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？ 荅曰： 术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。 〔一五〕今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？ 荅曰：三十二斤八两。 术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实，实如法得缣数。
〔一六〕今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？
荅曰：一百六十三两四铢半。 术曰：以一斤展十六两为法，以七两乘今有丝两数为实，实如法得耗数。 〔一七〕今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？ 荅曰：一十三斤一十一两十铢、七分铢之二。 术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。 〔一八〕今有田一亩，收粟六升、太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟几何？ 荅曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。 术曰：以亩二百四十步为法，以六升、太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。 〔一九〕今有取保一岁，价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？ 荅曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。 术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实，实如法得日数。 〔二0〕今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？ 荅曰：六钱、四分钱之三。 术曰：以月三十日，乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。
少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。
〔一〕今有田广一步半。求田一亩，问从几何？ 荅曰：一百六十步。 术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。 〔二〕今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。 术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。 〔三〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：一百一十五步、五分步之一。 术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。 〔四〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。 术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。 〔五〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。 术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。
〔六〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？
荅曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。 术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。 〔七〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。 术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。 〔八〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。 术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。 〔九〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。 术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。 〔一0〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？ 荅曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。 术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。
〔一一〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？
荅曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。 术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。 〔一二〕今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？ 荅曰：二百三十五步。 〔一三〕又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？ 荅曰：一百五十九步。 〔一四〕又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？ 荅曰：二百六十八步。 〔一五〕又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问为方几何？ 荅曰：七百五十一步半。
〔一六〕又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？
荅曰：六万三千二十五步。 开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。 〔一七〕今有积一千五百一十八步、四分步之三。问为圆周几何？ 荅曰：一百三十五步。 〔一八〕今有积三百步。问为圆周几何？ 荅曰：六十步。 开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。 〔一九〕今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？ 荅曰：一百二十三尺。 〔二0〕今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问为立方几何？ 荅曰：一十二尺半。 〔二一〕今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？
荅曰：三十九尺、八分尺之七。 〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？ 荅曰：一百二十四尺、太半尺。 开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。 〔二三〕今有积四千五百尺。问为立圆径几何？ 荅曰：二十尺。 〔二四〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？ 荅曰：一万四千三百尺。 开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。 〔一〕今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？
荅曰： 为坚七千五百尺。 为壤一万二千五百尺。 术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。 城、垣、堤、沟、?、渠，皆同术。 术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。 〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？ 荅曰：一百八十九万七千五百尺。 〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？ 荅曰：六千七百七十四尺。 〔四〕今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？ 荅曰：七千一百一十二尺。 冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？ 荅曰：一十六人、一百一十一分人之二。 术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。 〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？ 荅曰：四千三百七十五尺。 春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问用徒几何？ 荅曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。 术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。
〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？
荅曰：一万九百四十三尺八寸。 夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问用徒几何？ 荅曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。 术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。 〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？ 荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。 秋程人功三百尺，问用徒几何？ 荅曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。 一千人先到，问当受袤几何？ 荅曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。 术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。 〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？ 荅曰：三千八百四十尺。 术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。 〔九〕今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？ 荅曰：二千一百一十二尺。 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。 〔一0〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？ 荅曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。 术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
〔一一〕今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？
荅曰：五百二十七尺、九分尺之七。 术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。 〔一二〕今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？ 荅曰：七千四十七尺。 术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。 〔一三〕今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？ 荅曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。 术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 〔一四〕今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？ 荅曰：四万六千五百尺。 术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。 〔一五〕今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？ 荅曰：九十三尺、少半尺。 术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。
〔一六〕今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？
荅曰：二十三尺、少半尺。 术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。 〔一七〕今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？ 荅曰：八十四尺。 术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。 〔一八〕今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？ 荅曰：五千尺。 术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。 刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。 术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。 〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？ 荅曰：二万六千五百尺。 〔二0〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？ 荅曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。
〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？
荅曰：七万六百六十六尺、太半尺。 负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到、积尺、用徒各几何？ 荅曰： 人到二百四尺。 用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。 术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。 〔二二〕今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几何？ 荅曰：五万二千尺。 载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？ 荅曰： 人到二百一尺、五十分尺之十三。 用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。 术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。 〔二三〕今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？ 荅曰： 积八千尺。 为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。 〔二四〕今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？ 荅曰： 积三百五十尺。 为菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。 〔二五〕今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？ 荅曰： 积三十五尺、九分尺之五。 为米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。 委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。 程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸、五分寸之一。其菽、荅、麻、麦一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。
〔二六〕今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？
荅曰：三尺、五分尺之三。 术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，余即下广。 〔二七〕今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？ 荅曰：二丈。 术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。 〔二八〕今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。问周几何？ 荅曰：五丈四尺。 术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。
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