初探小学数学解题策略20世纪80年代以来，解题策略的研究已成为国际数学教育的一种潮流。把问题解决应用于教学的代表人是美国教育家杜威。杜威认为，教学的目标不在于传授知识，而在于主动的探求并思索，明智的驾驭实践的态度和方法，掌握有效的、适当的解决处理问题的态度。解题策略教学作为教学的一般模式，首先出现于20世纪50年代的医学教学中，近几十年来，解题策略教学模式逐步应用到知识学科的教学中，尤其在数学教学中的应用更为广泛。一、解题策略的研究背景
什么是解题策略？“解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法”。[1]其方法是有层次性的，解题策略是最高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识。与解题方法相比较，程序性弱，不易于复制，且应用面宽。小学数学常用的解题策略有：熟悉化策略、简单化策略、具体化策略、找规律策略、分类策略、整体策略等，这些策略大都优于一般方法、技能和规则，对学习活动有明显的改进作用。当学生对数学知识、数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界。只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题，因此在教学中要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力。
（一）国内外解题策略的现状
近年来，美国小学数学中一项重要的改革就是加强解决问题策略的教学。80年代初，美国全国数学教师协会曾提出问题解决是中小学数学教学的重点，同时也提出数学的基本技能应包括比计算能力更多的内容，其中就有关于解题策略的问题。1988年在第六届国际数学教育会议上也提出使学生学会使用解题的策略。80年代末，美国新拟订的《中小学数学课程和评价标准》中，对这方面进一步加以强调，每个学段的第一条标准就是学习解决问题的策略。此后陆续在美国小学数学教科书中编入了有关解题策略的内容。
建国以来，我国小学数学应用题的教学做了不少改革，但是还很不够，特别是还没有跳出传统应用题教学的框框。应用题教学的内容，基本上还局限在原来的范围之内，只是做了一些简化和较为合理的安排。在解题思路方面开始有所重视，在课本中也有所体现，但是还缺乏系统的安排。同美国的解题策略的教学相比，存在一定的差距。小学数学课本中对解题策略的教学，同其他内容一样，也十分注意合理的安排。
（二）解题策略的重要性
新的数学课程标准提出了解题策略的问题，重视解题策略的教学就成了数学教师研究的课题之一。[4]解题策略就是寻找解决问题思路的指导思想。它既是使用方法的方法，又是创造方法的方法。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果你所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么就需要创造性思维，需要正确地选择一种解题策略来帮助实现这一创造过程。
为什么中国如此重视解题策略的教学呢？这是为了适应现代社会发展的需要。中国数学教育工作者认为，中国已经进入信息社会，需要能处理信息的人，能用数学思想方法解决问题的人，需要开拓、创新型的人才。这与过去小学数学中侧重培养学生解决实际问题的能力有很大不同。过去的小学数学中解问题的教学目的，只限于了解实际问题和能够解决一些简单的实际问题本身。而现在除了要达到上述目的以外，还要使学生掌握解决问题的各种策略，培养一般的解题能力，开发学生的智力，使学生能够适应不断变化的社会，即使遇到新的问题也能够应用已掌握的解题策略予以解决。因此，使学生掌握解决问题的一些基本策略即解题策略就成了小学数学教学必不可少的内容。
二、小学数学解题策略的培养
（一）培养学生探索的能力
“学源于思，思源于疑”，学习是从认识到“有问题”开始的。[8]教师应该精心创设问题情境，把问题情景故事化、活动化、生活化，以增加课堂的趣味性，从而吸引学生积极主动的参与课堂的学习，参与问题的发现及分析的过程，使学生在宽松的气氛中学习。如在教学数学五年级上册《梯形面积的计算》这一课时，教师精心创设小猫建池塘，要求学生帮助小猫设计池塘的形状并计算出面积，这样一个学生很感兴趣的问题情境，一下子就激发了学生对本节课的兴趣。在情境中，学生很快复习完了长方形、正方形、平行四边形、三角形面积的计算方法后，剩下一个梯形的面积，学生无法求出它的面积。由于已学过平行四边形、三角形的面积计算方法的推导，学生跃跃欲试，一下子就进入到学习新知识的状态。这时教师不失时机地抛出问题:想一想你能用什么方法来求梯形的面积？这样，就把问题定位在学生知识的最近发展区，让学生在旧知识的基础上展开新的问题探索的思维空间，既创设了问题情境，又为学生解决新问题提供了探索情境。
（二）培养学生解决实际问题的能力
数学知识源于生活，又用于生活。培养学生运用数学知识解决实际生活问题的能力是数学教学的根本目标，也是提高学生数学素质的需要。在课堂教学中联系生活实际，有助于学生进行进一步理解、掌握数学知识，形成学生独立思考和探索创造性解决问题的能力。因此，在问题解决策略中，我们应注意加强学生运用数学知识解决实际问题能力的培养；注意充分挖掘教材中与生活实际有联系的因素，尽可能让学生利用已掌握的数学知识，解决生活中的数学问题；引导学生认识生活实际和社会实践中的数学问题，是学生对课本知识能活学活用，进而培养学生创新及实践动手能力。如“小东家有10000元钱，准备把它存入银行。爷爷要储存三年期，爸爸要储存一年期，两个意见不统一”，教师让全班同学一起讨论究竟哪种储存方法能得到较多的利息？让学生们充分感知了如何在现实生活中运用数学知识解决问题，以及数学知识与现实生活的密切联系。通过训练培养了学生运用数学的眼光、数学的思维，创造性的看问题，创造性的解决问题，体现了数学与生活密切联系，也体现了在实践中的创新。
（三）培养学生的逻辑思维能力
培养学生的解题策略，常常需要抽象思维、形象思维和直觉思维等几种思维的同时参与，只不过在具体问题中表现的程度有所不同。为了提高学生的解题策略，在教学中必须全面培养学生的思维能力。特别是逻辑思维，在数学中尤其显得重要。逻辑思维是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是小学生数学能力的核心。因此，在小学数学教学中必须着力培养学生的逻辑思维能力。
教学中，教师应引导学生运用同一概念、规律去分析和处理多种问题，通过知识的迁移和思维的分散，培养学生思维的变通性、灵活性和敏捷性，引导学生有意识的对数学概念、数学问题进行概括总结。特别是在课堂上，教师应提供感性材料，组织从感性到理性的抽象概括。从具体的感性表象向抽象的理性思考启动，是小学生逻辑思维的显著特征、随着学生对具体材料感知数量的增多、程度的增强，逻辑思维也渐次开始。因此，教学中教师必须为学生提供充分的感性材料，并组织好他们对感性材料从感知到抽象的活动过程，从而帮助他们建立新的概念。例如教学循环小数时，可先演算小数除法试题，使学生初步感知“除不尽”，然后引导学生观察商和余数部分，他们会发现商的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，与此同时使之领会省略号所表示的意义，这样，他们可在有效数字后面想象出若干正确的数字来。这种抽象概括过程的展开，完全依赖于“观察----思考”过程的精密组织。而在积极迁移，将旧知识向新知识转化的过程中，应挖掘各种因素，沟通其联系，指导学生将已知迁移到未知、将新知同化到旧知，让学生用已获得的判断进行推理，再获得新的判断，从而扩展他们的认知结构。这样，小学生通过组织、迁移、强化训练等将概念、判断、推理融会贯通，达到很好的提高学生的逻辑思维能力。
总之，解题策略的培养，就是把学习的主动权交给学生，教师通过创设情境，引导学生发现问题、分析问题，学生通过动手实践分析解决问题，并在实践中应用问题的结论。在该策略的实施过程中，培养了学生的创新能力及实际动手能力。
三、解题策略的应用
问题是数学的心脏。掌握数学意味着善于解题。面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，只要学生具备一定的数学思想方法和一定高度的谋略以致遇到问题时得到更好的迁移，那么就很容易达到解决问题的目的。基于以上的认识，我在教学实践中进行了对学生解题策略指导的尝试探索，获得了一些初步的有关小学数学教学中应渗透几种数学思想方法的体验。
（一）熟悉化策略的应用[9]
???熟悉化策略就是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个熟悉的数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题，或已经解决的问题，或易于解决的问题。
例：狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳跃米，黄鼠狼每次可向前跳跃米。它们每秒钟都只跳一次。比赛途中从起点开始，每隔米就设一个陷阱，当它们之中有一个跳进陷阱时，另一个跳了多少米？
这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每次所跳距离（或）米的整倍数，又是陷阱间隔米的整倍数，也就是（或）的“最小公倍数”（或和的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉进陷阱，问题就基本解决了。
上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个已经熟悉的数学问题，这种熟悉化策略正是数学能力的表现之一。
???（二）具体化策略的应用
抽象的问题总是难以理解，因而也难以解决，如果将抽象的问题具体化，或将抽象的语言转化为具体、直观的语言或图形，则问题的数量关系和空间形式就容易暴露出来，也就容易制订解题方案，简捷解题
???数形结合思想就是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。
例：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？
此题若把五次所喝的牛奶加起来，即就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位1，由图可知，就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了类比的思想。
运用图形把抽象问题具体化、直观化，从而学生能迅速地搜寻到解题的途径。怪不得前苏联心理学家克鲁切茨对天才儿童研究发现，许多天才儿童是借助画图解决问题，而数学上能力较差的学生在解决问题中不依靠形象图形，最主要的是他们不知道如何依靠。因而，对学生进行画图策略的指导显得犹为重要。
???（三）简单化策略的应用
???复杂问题的特征是式子结构复杂，逻辑推理严谨，问题中的未知量较多，运算量较大等。解题时把复杂问题转化为简单问题，或考虑它的简单情形，有利于问题的顺利解决。
???例：求的和。
仔细观察这些分母，不难发现：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的方法，考虑和式中的一般项
于是，问题转换为求和的形式
原式=
=（）+（）+（）+（）+……+()
=
=
此问题就是将一个比较复杂的问题,通过巧妙的拆分,转化为比较好计算的形式,一下子将问题简单化,这样不仅避开繁琐的解题步骤,还节省了不少的时间。
（四）找规律策略的应用
例：有一个大正方形，如果将其各棱长5等分，并在六个面上把所有的等分点按横、竖方向连起来，那么现在一共可数出正方形多少个？[17]
此题是数立体图形的问题，应注意构成正方体的个数特征，由1个、8个、27个、64个、125个……即由(n≥1整数)个小正方体可构成大正方体，可通过分类讨论方法求解。
解：一共可以数出不同的正方体225个。图如
按构成正方体的大小分类计数。列表
棱长 1 2 3 4 5 正方体个数 1 构成正方体的小正方体个数???1??8??27?64?125
构成的正方体数??????合计（225）
因而，一共可以数出225个正方体。
表中按构成正方体的大小分类计数。正方体的棱长为1时，有?(个)正方体；正方体的棱长为2时，有(个)正方体；正方体的棱长为3时，有(个)正方体；正方体的棱长为4时，有(个)正方体；正方体的棱长为5时，只有一个正方体。所以总共有++++=225(个)正方体。
从表中你还发现什么规律？若把一个正方体各棱长n等分，再把6个面上所有等分点按横、竖方向连接起来，那么一共可以数出多少个正方体？你做做看。是否是这样的规律：+++……+=
寻找规律是解决数学问题最常用有效的方法。碰到较为复杂的问题可以先退到简单特殊的问题，通过分析研究，找出一般规律，然后用得出的一般规律去指导问题的解答。善于从特殊到一般，发现规律，找到解题方法，可以举几个例子看一看，找找其中的隐藏规律。
（五）分类策略的应用
分类就是按照一定标准把研究对象分成几个部分或几种情况，来加以研究、讨论。
例：1＋2＋3＋4＋…＋2134+2135这个算式的和是偶数还是奇数？
分析：观察这一列数，可分为两类，一类是偶数、一类是奇数，我们就把这列数分成两类来研究。2＋4＋6＋…＋2134
这个偶数列的总和还是偶数，1＋3＋5＋…＋2135，这列数中有多少个奇数呢？答有1068个，偶数个奇数的和是偶数。所以这个数列的和为偶数。
(六）整体策略的应用
?同学们在考虑问题时，通常会从局部因素入手，尽可能地分散难点，各个击破，以便将问题逐一解决。但是有些问题，从局部条件入手相当复杂，站在全局的角度来看，就会有新的发现。
例：甲班和乙班共83人，乙班和丙班86人，丙班和丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？
?分析：如果分别求出四个班各有多少人？再求甲班和丁班共多少人？显然很困难，所以，可以从整体看，甲、乙、乙、丙、丙、丁，要求甲、丁，可以把甲、乙、丙、丁加起来，再减去乙、丙。
通过对问题的研究，我们大致把问题分为三类：1、是实际问题：问题的提出要联系学生的生活实际，这类问题可以让学生一看到问题就有似曾相识的感觉，这样可以利用学生的丰富想象力来达到的很好的迁移。2、是探究性问题:通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫探究性问题。这类问题可以充分开发学生的智力和思维能力，学生可以在博览群书的情况下研究问题的性质，既可以拓展知识面，还可以多角度多方位的考虑问题。3、是开放性问题：即在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度，它不一定只有一种答案，可以有多种答案，只要在自己设定的条件范围内成立就是正确的。这类问题设计要遵循可行性，要选择在学生能力的“最近发展区[1]”内的问题既要让学生对此问题有一定的基础知识，又不能满足学生的需要，充分调起学生强烈想要解决问题的渴望。问题设计也要有层次性，要由浅入深，由易到难。问题解决教学要通过创设情境来激发学生的求知欲望，它强调把学习设置到有挑战性的、有意义的情境中，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程，通过学生的合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，并对数学知识形成深刻的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决的策略，从而培养使用数学的意识、探索精神和实际操作的能力。
解题有法而无定法，这正说明了数学问题的纷繁复杂，解题技巧的灵活多变。一个数学问题摆在面前，其思维的触须是多端的，以上所述的几种解题策略只是平时常用的导引途径，为了能够更有效地提高解题能力，还要学生在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。
?
?
参考文献：
[1]王凯成，赵喜民.解题策略初探[J].陕西教育，1996，(12)
[2]郭燕.浅谈小学解题策略[J].渭南师范学院学报，1996，(12)
[3]牛锦萍，任晖.数学解题策略研究[J].数学教育研究，2003，(7)
[4]刘兼，孙晓天主编.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[5]王凯成.要重视解题策略的教学[J].陕西教育，2004，(11)
[6]王延文，齐建华.“问题解决”及其研究综述[J].数学教育学报，1995，(3)
[7]吴伟华.实施问题“解决策略”培养学生创新能力[J].教育评论，2002，(4)
[8]杨斌.培养学生开放性问题解决能力的策略[J].安徽教育，2004，(7)
[9]曹荣誉.问题解决策略及其在教学中的应用[J].北华教育学报，2004，(4)
[10]方元山.关于课堂教学改革研究[M].福建教育出版社，2005.
[11]黄小平.主体教育与课堂教学改革[M].北京教育出版社，2003.
[12]陈爱苾.自然而然走进新课程的有效策略——倡导“问题解决”教学的意义[J]．北京教育,2004，(1)
|
|
