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| 直角三角形的性质 例题精讲与同步训练(含解答)- |
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直角三角形的性质
重难点
重点：直角三角形的性质定理及其推论：
①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;
②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.
难点：
1.性质定理的证明方法.
2.性质定理及其推论在解题中的应用.
讲一讲
例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，
∠A=30°，求BC，CD和DE的长
分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.
在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°∴
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，，
∴
例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证：.
分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点，
∴∴
∴.
例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.
求证：AB=BO.
分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA
由已知中等腰直角三角形的性质，可知。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.
证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E
∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD
∴
∵BC=AC∴
∵DF=AE∴
∴∠ACB=30°
∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°
∴∠OBA=30°
∴∠AOB=75°
∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO
练一练
1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。
2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC。
3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。
4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。
求证：AE=DF。
5.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
参考答案
1.取AB中点M，连接EM
∵AE平分∠CAB∴（角平分线意义）
∵∠BAC=2∠B∴∠2=∠B∴AE=EB
∴EM⊥AB
∴∠EMA=90°
∵AB=2ACAB=2AM
∴AC=AM
在△ACE与△AME中
∴△ACE≌△AME（SAS）
∴∠EMA=∠C=90°
在Rt△ACB中，∠1+∠2+∠B=90°
∵∠1=∠2=∠B∴∠1=30°
∴
即AE=2CE。
2.∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°
∴∠DCA=22.5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°
∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°
∴DE=DC
3.∵AD=9∴
∵BC=12∴BD=CD=6
∵∠BFD=∠EFAAF=FD∠FDB=∠FAE=90°
∴△AFE≌△DFB（ASA）
∴FE=FB
在Rt△BFD中，
∴BE=2BF=15
4.∵在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴且，∠2=∠3
∵DE∥CF∴∠1=∠2∴∠1=∠3
∴在△DEA与△DFC中
∴△EDA≌△DFC（SAS）
∴AE=DF
5.∵AD⊥BC且AB=AC
∴D为BC中点
∵E为AC中点
∴。
-1-
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