0:关于基本数学应用的问题: 1:正弦余弦曲线:更一般应用的正弦曲线公式为: A 为波幅(纵轴), ω 为(相位矢量)角频率=2PI/T,T为周期, t 为时间(横轴), θ 为相位(横轴左右)。 周期函数:正余弦函数可用来表达周期函数。
谐波数目递增的方波的加法合成的动画。
余弦函数的(通常是无限的)和;这是傅立叶分析的基础想法。例如,方波可以写为傅立叶级数: 在动画中,可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。 如果明白了上书基本原理,也就不难理解我所用的浮动频率合成曲线的道理。 2:指数函数:形如 y=kax 的函数,k为常系数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍,可以用来表达形象与刻画发展型的体系,比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。 特例:应用到值 x 上的这个函数可写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex,这里的 e 是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还叫做欧拉数。 即函数: 定义于所有的 a > 0,和所有的实数 x。它叫做底数为 a 的指数函数。注意这个 的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数 的存在。注意上述等式对于 a = e 成立,因为 指数函数可“在加法和乘法之间转换”,在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述: 它们对所有正实数 a 与 b 和所有实数 x 与 y 都是有效的。 3:幂函数:是形如f(x)=xa的函数,a可以是自然数,有理数,也可以是任意实数或复数。 下图是幂函数; 自上至下: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8 语言学中Zipf定律与经济学中的Pareto定律都是简单的幂函数,也称之为幂律 分布;还有其它形式的幂律分布,像名次——规模分布、规模——概率分布,这四种形式在数学上是等价的,幂律分布的示意图如图1右图所示,其通式可写成 y=c*x^(-r),其中x,y是正的随机变量,c,r均为大于零的常数。这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小,而只有少数事件的规模相当大。对上式两边取对数,可知lny与lnx满足线性关系,也即在双对数坐标下,幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。 幂率的另一层重要意义:理解幂律分布就是所谓的马太效应,二八原则,即少数人聚集了大量的财富,而大多数人的财富数量都很小。 4:对数函数曲线:群论对于对数的视角,是俺常用的:即从纯数学的观点来看,恒等式
在两种意义上是基本的。首先,其他算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。 5:均匀分布: 先看一下离散型均匀分布,在概率论中,离散型均匀分布是一个离散型概率,其中有限个数值拥有相同的概率。设随机变量X取n个不同的值,其概率分布为: P{X=xi}=1/n,
i=1,2...n; 这个东西表面看起来抽象,其实只需要记住一个例子就很好理解,赌博用的有6个面的骰子,6个面出现的几率是相等的,即为均匀分布。 连续型均匀分布,如果连续型随机变量具有如下的概率密度函数,则称服从上的均匀分布(uniform distribution),记作 概率密度函数: 期望值(即均值): 均匀分布具有下属意义的等可能性。若,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率: 只与区间[c,d]的长度有关,而与他的位置无关。 均匀分布可以代表信息极度贫乏的体系或无序状态的体系。而如果一个系统不属于均匀分布或随机游走,即均匀分布或随机游走的否定,就等于肯定了该系统具有信息,或者说具有某种程度的有序性。这个就是均匀分布的实际应用价值之一。 |
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