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一次函数是学习函数的基础，以后还要学到学多的函数，都是要运用到一次函数进行相关的计算的，尤其是二次函数的部分，学不好一次函数，二次函数几乎就是学不会的，所以我们要进我们的最大的能力要在学习一次函数这部分下点工夫，多花点时间，这样在我们学以后的知识的时候才能不那么的吃力，其实在我看来一次函数的知识都是重点，但是这些重点都不是什么难点，还是比较容易理解的，但是要牢记还是必须要下工夫是，下面就给你弄了点相关的知识，在你的资料上应该是有的 函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了唯一一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。 当x=a时，函数的值叫做当x=a时的函数值。 定义与定义式 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx （k为任意不为零实数） 或y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数一次函数的性质 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b（k≠0) （k为任意不为零的实数 b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 形。取。象。交。减 正比例函数也是一次函数. 2． 性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（既b等于0，y与x成正比) 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限确定一次函数的表达式 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。 所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。上面的是你一定要会的， 重点与难点： 重点：一次函数（含正比例函数）的图象的画法及性质。因为函数图象是研究性质的前提，而函数性质又是研究其图象的基础。 难点： ①选取适当两点画一次函数y=Kx+b的图象； ②结合一次函数（含正比例函数）图象说出它们的性质。因为由函数图象归纳其性质对于学生是首次接触，没有思路，学生还缺乏思维的深刻性及完备性。 本节内容的重点是对一次函数与正比例函数概念的理解。即（是常数，）是一次函数，（是常数，）是正比例函数。 正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊情况。 一次函数关系是日常生活和社会实践中常见的一种函数关系，通过从实例中抽象出数学模型，创设了渗透数学建模思想的情景，也体现了数学的抽象性和广泛应用性。 一次函数也是本章的重点，这是因为学生对直角坐标系和函数概念的进一步认识，需要通过对具体函数的学习来完成，一次函数的学习提供了这样的条件； 另一方面一次函数的研究方法为研究其他函数提供了完整的研究范例，为今后的学习打下了基础。 本节内容的难点是：根据具体条件求一次函数与正比例函数的解析式。有的学生无法从实例中抽象出函数的解析式，揭示不出其中蕴涵的关系。学生第一次利用待定系数法求函数的解析式，在接受上有一些困难，不能归纳出求解析式就是求解析式中的与。 教学目标: 经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力. 理解一次函数和正比例函数的概念,能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的数学应用能力. 重难点分析: [教学重点] 从具体背景中列出相应的一次函数表达式,从而概括出一次函数概念. 弄清正比例函数与一次函数的关系. [教学难点] 会判别哪些函数为一次函数. 会根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 教学手段: 黑板板书形式 教材解析: 知识点回顾: <师>上节课我们学习了函数的概念和特点,现在我们不看书,回想一下上节课我 们是怎样定义一个函数的? 同学们都在下面小声嘀咕,但没人举手,教师点了学生甲回答. <学生甲>记不清楚概念了,但我可以举个例子.比如:y=5x. <师>同学们觉得甲同学举的这个例子对不对呢?先思考,然后再看老师举的这两 个例子是不是函数:m=n+5,y=3x+2-3x.y=6-x+z. 同学们先在座位上小声讨论了一会,然后大部分都举了手,教师点了学生乙回 答. <学生乙>我认为同学甲举的和老师举的第一个和第二个式子都是一次函数,老师 举的第三个不是.因为只能有两个未知数. <师>你们同意他的观点吗? 一部分学生回答同意,一部分学生不同意.教师点了一个不同意的学生作代表 回答. <学生丙>我不同意,我认为老师举的第二个不是,因为第二个式子化简后就没有x了,就只有一个未知数了,所以不对. 学生们都同意了丙的观点. <师>好,那我们一起通过上面的例子来回想函数的概念: 教师引导学生从变量的个数,变量间的关系来回想并加深记忆. 函数------一般地,在某个变化的过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中,x是自变量,y是因变量. (二)新课引入: [想一想,做一做] 某弹簧的自然长度是3厘米,在弹性限度内,所挂物体x的质量每增加1㎏,弹簧长度y增加0.5㎝. (1)填表: x/㎏ 0 1 2 3 4 5 y/㎝ 其中:x为物体质量,y为弹簧长度. (2)写出x与y之间的函数关系式. <师>分析:(1)因为x为物体质量,所以当x为0时就表示弹簧不挂物体,此时弹簧应为自然长度,所以此时y的值为3;当x为1时表示挂了1㎏的物体,所以弹簧长度y在原来3㎝的基础上增加了0.5㎝,即y=3+0.5=3.5; <学生>以此类推,当x=2时, y=3+0.5*2=4; 当x=3时, y=3+0.5*3=4.5 当x=4时, y=3+0.5*4=5; 当x=5时, y=3+0.5*5=5.5; (2)由上面的式子可以得出关系式为: y=3+0.5 x..- ① 2.某辆汽车油箱中原有汽油100升,汽车每行驶50千米耗油9升. (1)完成下表: 汽车行驶路程x/千米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余的油量y/升 (2)写出x与y之间的关系式. <师>分析:(1)当x=0时,说明汽车没有行驶,所以油箱中的油没有用,此时y=100; 当x=50时,汽车正好行驶50千米,耗油9升,此时油箱剩余的油量 y=100-9=91; 当x=100时,汽车正好行驶100/50即2个50千米,耗油9*2升,此时 油箱剩余的油量y=100-9*(100/50)=82; 当x=150时,汽车正好行驶150/50即3个50千米,耗油9*3升,此时 油箱剩余的油量y=100-9*(150/3)=73; <学生>同理可得, 当x=200时, y=100-9*(200/50)=64;当x=300时, y=100-9*(300/50)=46. (2)由上式可以推出x与y之间的关系式为: y=100-9*( x/50)=100-(9 /50)* x.. ② [观察发现] 观察①②两个式子,不难发现:1.它们都是y关于x的函数; 2.它们都可以写成y=k x+b(其中k,b为常数,且k≠0) 的形式. <师>我们观察上面这种形式的函数的未知数的次数都是一次,像这样的函数我们就称它为一次函数,这就是我们今天要学的内容: 都可以写成y=k x+b(其中k,b为常数,且k≠0)的形式,具有这种形式的函数我们称y是x的一次函数.(x------自变量,y-----因变量) 特别地,当b=0时, y=kx(k为常数,且k≠0)称y是x的正比例函数. <师>我们也可以从"一次函数"这四个字的字面意思,用自己的语言来定义它."一次"指什么? "函数"又说得什么意思呢?请同学们举手回答. 同学们都纷纷举起了手,老师点了一位同学回答. <学生A>可以分两层意思来说.首先,它必须是一个函数,我们可用函数的定义来判断;其次,它的未知数的次数必须为一次. <师>说得很好.那么有哪位同学可以根据这两个特点来用自己的语言给它一个定义呢? <学生B>未知数都是一次的函数我们就称之为一次函数. <师>很好 .对于一次函数,我们还要注意以下几点: [注]1.一次函数解析式的结构特征:k x+b是关于x的一次二项式; b可以为任意实数; k一定要为非零实数. 2.b=0,而k≠0时,y=kx仍是一次函数,也称正比例函数. 3.当k=0时,y=b,称为常数函数. 4.关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0,b≠0)可转化为一次函数y=-(a/b)x-c/b,其中k=-a/b. 例1.下例函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数? (1)y=-x/3+1; (2)y=-8/x; (3)y=5x2+x(1-5x); (4)y=5+8x+x2. 分析:判断一个函数是不是一次函数,首先通过恒等变形,看能否转化为y=k x+b(k≠0)的形式.而判断一个函数是不是正比例函数,就要看它能否转化成y=k x(k≠0)的形式. 那么,我们先将这四个式子变形: (1)y=-x/3+1=-(1/3)x+1; (2)y=-8/x=-8x-1; (3)y=5x2+x(1-5x)=5x2+x-5x2=x; (4)y=5+8x+x2. 从上面四个变形的式子,我们很容易看出: <同学们一起回答>一次函数有:(1)y=-x/3+1; (3)y=5x2+x(1-5x). 正比例函数有:(3)y=5x2+x(1-5x). 例2.写出下列各题中x与y之间的函数关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的关系. (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系. (3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米). 注:此题比较简单,老师引导学生从所学过的路程与时间,面积与半径等关系出发去思考,先列出关系式,再判断它为什么函数. 解(1):因为路程=速度*时间,所以y=60x,y为x的一次函数,也是x的正比例函数. (2)因为圆的面积=π*半径2,所以y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数. (3)y=50+2x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 例3.我国现行个人工资,薪金所得税征收办法规定:月收入低于1600元的部分不收税;月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税-------如某人月收入1960元,他应缴个人工资,薪金所得税为(1960-1600)*5%=18元. (1)当月收入大于1600元而又小于2100元时,写出应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式. (2)某人月收入为1760元,他应缴所得税是多少元? (3)如果某人本月缴所得税19.2元,那么此人本月工资,薪金是多少元? 分析:(1)当月收入x大于1600元而又小于2100元时,应缴所得税y只要收超 出部分的5%,所以我们先算超出的部分,也就是x-1600,所以y=(x-1600)*5%. (2)某人月收入为1760元,也就是x=1760,求此时的应缴所得税y. 当x=1760,y=(1760-1600)*5%=8 (3)题目已知某人本月缴所得税19.2元即y=19.2,求本月工资,薪金是多 少元即求月收入x .19.2=(x-1600)*5%,解得x=1984. (三)随堂练习: 1.某种大米的单价是2.2元/千克,当购买x千克大米时,花费为y元.y是x的一次函数吗?是正比例函数吗? 2.如图,甲,乙两地相距100千米,现有一列火车从乙地出发,以80千米/时的速度向丙地行驶. v=80千米/时 甲 乙 丙 设x(时)表示火车行驶的时间,y(千米)表示火车与甲地的距离,写出x,y之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数. <答案>1.y=2.2x,y是x的一次函数,也是正比例函数. 2.y=100+80x,y是x的一次函数,但不是正比例函数. (四)小结: 1.一次函数与正比例函数的判别方法:先通过恒等变形再根据定义判断. 2.一次函数与正比例函数的关系:正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数. 3.会根据实际问题中的条件写出函数关系式并判断. (五)作业: 课本186面的习题6.2. [回顾反思] 本节课重点要掌握的内容是根据实际问题中的条件与出函数表达式并会判别它是否为一次函数和正比例函数.解决这类问题的基本思路为:先从实际问题中获取各种有用的信息,然后认真分析,探究这些有关的信息,在此基础上构建出数学模型,并解决这个数学问题 |
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