第4讲盈亏问题
教学目标
本讲主要学习三种类型的盈亏问题：
理解掌握条件转型盈亏问题：
理解掌握关系互换性盈亏问题;
理解掌握其他类型的盈亏问题，
本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。
经典精讲
盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”“两亏”。
1.“盈亏”型
例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4粒就多9粒，，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15（位），糖果的粒数为：（粒）。
2.“盈盈”型
例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
分析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：（只），老猴子有7（个）桃子。
3.“亏亏”型
例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有7（人）书有（本）。
根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏)两次分得之差=人数或单位数
（盈-盈）两次分得之差=人数或单位数
（亏-亏）两次分得之差=人数或单位数
条件转化型的盈亏问题
这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。
军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？
【分析】每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少6（人），那么两次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50（间）房间。
【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间，住宿学生有多少人？
【分析】把“每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每间住14人，则少14（人）”这样两种方案就可以比较了。
第一种方案多出34人，第二种方案少56人，90（间），学生数为：12（人）
[例2]妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6人，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？
【分析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个，”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了4+4=8个：由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个。结果就少了12-2=10个，转变成了盈亏问题的一半类型,则：
全家的人数：（人）
橘子的个数：（个）
【铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种5棵还有3棵每人种；如果其中2人各种4棵。其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少少先队员参加植树，一共iozhong多少课树苗？
【分析】这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么，就可以多种树（6-4）（棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种;如果每人种6棵数树苗，还缺4棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？
人数：[3+(6-4)](人)，
棵树：（棵）或（棵）
【小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均分，然后解答。
学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
【分析】小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60米，如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走508=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50=10（米），就可以夺走600-400=200（米），从而可以求出小明由家道校所需时间。
（1）10分钟走多少米？（米），
（2）8分钟走多少米？（米）
（3）需要时间：（600-400）（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校。
（4）由家到校的路程：（米）或（米）.
【铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟夺走60-50=10（米），就可以夺走150+120=270（米），童童从家到学校所用时间是：270（分钟），加到学校的距离是：50（米）。
【例4】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如果增加一条船，正好每条船作6人；跑如果减少一条船，正好每条船坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生
【分析】先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6（名）同学。改为每条船9人，也就是说，每条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12（条）船，而全班同学的人数是9（人）。
【巩固】增加两条船，正好每条船坐6人，然后去掉四条船，就会余下（人），改为每只船9人，即每条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以现在船数为24（条），这个班的人数为9（人）。
【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟第一步分相似的题型，在运用公式计算。
关系互换型的盈亏问题
这种题型中会出现两种物品，一半两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据盈亏问题的解法计算。
【例5】（2004“走进美妙的数学花园”数学邀请赛）
幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分给小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2个小朋友这袋糖果共有多少粒？
【分析】如果大班增加2个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5粒缺16粒，每人4粒多4粒”的盈亏问题。小班有（人）。这袋糖果有（粒）。
【拓展】（2007年湖北省“创新杯”决赛）
四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。如果买芒果13千克，还差4元;如果买奶糖15千克，则还剩2元。已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，，辅导员老师带了_____________元钱.
[分析]这笔钱买了13千克芒果还差4元,若把13千克芒果换成奶糖就会多出13元，所以这笔钱买13千克奶糖会多出26-4=22元。而这笔钱埋15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为：（22-2）（元）。辅导老师共带了10（元）
【例6】（2004南京市少年数学智力冬令营）
乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量的信封，甲每封信用2张信纸信纸，乙每封信用3张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩20张信封，乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们每人各买了多少张信纸？
【分析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸。这是盈亏问题，盈亏总额为（20+30）张信纸，两次分配的差为（3-2）张信纸，所有的信封（20+30）（个），有信纸）（张）
【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一张信纸，乙写一封信用3张信纸。结果甲的信封用完时还剩50张信纸，乙的信纸用完时还剩50个信封，原来他们各自有信封多少个？信纸多少张？
【分析】乙要想用完剩余的50个信封，还需再多503=150张信纸，也就是要用完同样多的信封，甲多50张信纸，乙少150张信纸。
信封的个数：（个）
信纸的张数：100+50=150（张）
【小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样多的信封，这就是“盈亏”的关联点，问题便于解决了。
【例7】体育中心将一些乒乓球分给若干人，每人5个还多余10个乒乓球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个乒乓球还缺少8个，问有乒乓球多少个？
【分析】考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给（个），每人给5个与给6个，总数相差10+8=18（个），所以原有人数18（人），乒乓球总数是（个）
【拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只大熊猫，那么每只大熊猫分2个还缺8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少课？
【注意】以上题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据普通盈亏问题的解法计算。
【例8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数是奶糖的2倍。如果每个小朋友分2个奶糖，就多余4个奶糖；如果每个小朋友分5个水果糖，则少2个水果糖。阿姨拿来了水果糖和奶糖个多少个？
【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者直接比较，如果本题中水果糖和奶糖一样多就好了。所以，我们可以假设水果糖和奶糖一样多，也就是假设奶糖是实际数量的2倍，那么，分给同样多的小朋友后，每个小朋友可以分到22=4个，而多余的奶糖是（个）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10个，原因是每个小朋友多分了5-4=1个，这样就可以求出小朋友的人数，然后根据太烫和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，然后根据奶糖和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，即：
（个）小朋友的人数
10(个)奶糖的个数
10（个）水果糖的个数
【注意】本题的解题关键在于通过假设，使两种糖的个数变得同样多在解答。
其他类型的盈亏问题
盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准，它是经过普通盈亏问题的变形和拓展，解答这类问题也要利用其本盈亏问题解答方法，根据不同的题型作出相应的应对。
【例9】幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8快，还剩10快；若没人分9块，左后一人分不到9块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？
【分析】最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块。根据盈亏计算公式，人数有（1+10）（9-8）=11（人），糖果最多有9（块）；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8+10）（人），糖果最多有9（块）；所以，这批糖果最多有154块。
【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则缺少5张。现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张。问共有小朋友多少人？
【分析】6060，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到8（张），现在时机每人得到60张，即每人需要退4张，其中要有4张式每人60张后多下来的，还有40张我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，44（人），说明有11人。
【例10】妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，，甲种卡每张1元，丙种卡片每张2元。用完这些钱买甲种卡要比乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张。妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？
【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种要比买丙种卡多买6张”所以盈亏总额是：（元），单价相加2-1=1（元），所以工可以买衣种卡（张），妈妈给红红的钱数是：（元），乙种卡每张：28=1元4角。
【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个;按钱数算，5分币比2分币多4角；另外，还有36个1分币。乐乐共花了多少钱？
【分析】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个二分币多3分，所以5分币有：84个
2分币有：28+22=50（个）
所以乐乐共存钱：5（分）。
巩固精炼
小明读一本书，如果每天读6页，还剩20页没有读完，如果每天读10也，书还少24页，这本书共有多少页，小明打算几天读完？
【分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改变，而第一种读法，书没读完，还剩20页；第二种读法，不仅可将余下的29页读完，如果书还有24页也能恰好读完。两种不同读法总页数相差20+24=44页，造成这个差异的原因就是每天多读天了10-6=4页。每天多读4页就要多读44页，因此打算毒的天数是44天，即：
（天）
（页）
阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果没车多坐5人，恰好多于一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生?
[分析]每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70（人），恰好多余一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人，因而原因问题转化为：如果没车坐65人，则多出5人无人乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数是（5+5+65）（辆）人数是65（人）或（5+65）（人）
王老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟500米，上课就要迟到3分钟；如果骑车每分钟600米，就可以比上课时间提前2分钟到校。王老师家到学校的路程是多少米？
【分析】迟到3分钟转化成米数：5003=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：6002=1200（米），（1500+1200）（600-500）=27（分钟）500（米）
王阿姨去买水果。如果买5千克橙子，就差10元钱；如果买6千克葡萄，则余2元钱。已知每千克橙子比每千克葡萄贵4元，每千克橙子和每千克葡萄个多少元？
【分析】本题涉及到两种水果，较难入手。但题中告诉我们每千克橙子比每千克葡萄贵4元，所以可以设法把两种水果转化为一种水果。
因为每千克橙子比每千克葡萄贵4元，所以将买5千克橙子换成买5千克葡萄，就要少用45=20（元），于是，“买5千克橙子差10元钱”就可以变成“买5千克葡萄余20-10=10元”，则题目乘为：王阿姨买水果，如果买5千克葡萄，就余下10元钱；如果买6千克葡萄就余2元钱，而每千克橙子比每千克葡萄贵4元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答这个问题就不难了。
每千克葡萄的价钱：（元）
每千克橙子的价钱：8+4=12（元）
妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱。问：妈妈带了多少钱？
【分析】（法一）“多买3袋，”这三袋洗衣粉多花（元）又因为花的钱总数一样多多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数（袋。）这样妈妈带的钱数是10（元）。
（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3（元），买碧浪洗衣粉的数量是：（袋）所以妈妈带的钱数是（元）
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