? 第九届华杯赛决赛试题答案
2008年01月20日星期日10:50
一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分）
题目
1
2
3
4
5
6
答案
1989．5
9
728
18．84
2．4;2．1
1680
二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）：
7．解答：李家和王家各养了300头和221头牛．
算术解法：
①李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头．
②王家的牛群中有是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头．
代数解法：
①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程
100x+13y=521．…………………………………（）
②x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=13．或者解同余方程（）．
（）式两边除13，
-4x=1，Mod（13）．…………………………（）
x=3是（）式的解，得到y=13．
8．解答：M是3．
，
①把最简分数写成循环小数：，
，
②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求．
9．解答：小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法一：
①买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．
②高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14(支)
③类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法二：
①设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：2x+3y+4z=31，……………………()
②分析等式（）的奇偶性，y必须是奇数．因为x，y，z≥1，3y=31-2x-4z≤25，y≤7．列下表：
y=1
x12108642
z123456
y=3
x13579
z54321
y=5
x246
z321
y=7
x13
z21
从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
方法三：
①因为x，y，z≥1，所以从()式，2x+2y+2z=31-y-2z≤31-3=28，得到x+y+z≤14．
②取x=12，y=1，z=1满足()式，且x+y+z=14．小丽最多能买14支圆珠笔．
③类似，4x+4y+4z=31+2x+y≥31+3=34，≥．
取x=2，y=1，z=6满足()式，并且，x+y+z=9．小丽最少可以买9支圆珠笔．
10．解答：不同类型的涂法有3种，如下图A．
说明：
①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．
②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
11．解答：60
说明：
①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．
④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60．
12．解答：多面体的表面积是358．
①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13(1)
②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为(x-1)个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个，而从每个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个，应当有下面关系式：
4×(x-1+y-1+z-2)=84，x+y+z=25．(2)
分析(1)和(2)，既然x，y，z只取正整数，验证x=13，z=7，y=5是唯一解．
③计算表面积：
方法一：如右图B，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×(11×5+11×3+5×3)=206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×(11+3+5)=152．
方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么)．所以，2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358．
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