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算法详解--汉诺塔

2013-01-21  天涯旅人...

From Gossip@caterpillar

Algorithm Gossip: 汉诺塔算法详解

 说明

河内之塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)于1883年从泰国带至法国的,河内为越战时北越的首都,即现在的胡志明市;1883年法国数学家 Edouard Lucas曾提及这个故事,据说创世纪时Benares有一座波罗教塔,是由三支钻石棒(Pag)所支撑,开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小 至大排列的金盘(Disc),并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒,且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则,若每日仅搬一个盘子,则当 盘子全数搬运完毕之时,此塔将毁损,而也就是世界末日来临之时。

解法

如果柱子标为ABC,要由A搬至C,在只有一个盘子时,就将它直接搬至C,当有两个盘子,就将B当作辅助柱。 

 
 

如果盘数超过2个,将第三个以下的盘子遮起来,就很简单了,每次处理两个盘子,也就是:A->B、A ->C、B->C这三个步骤,而被遮住的部份,其实就是进入程式的递回处理。
 
 

事实上,若有n个盘子,则移动完毕所需之次数为2^n - 1,所以当盘数为64时,则所需次数为:

264- 1 = 18446744073709551615

为5.05390248594782e+16年,也就是约5000世纪,如果对这数字没什么概念,就假设每秒钟搬一个盘子好了,也要约5850亿年左右。 

演算法

Procedure HANOI(n, A, B, C) [
IF(n == 1) [
PRINT("Move sheet " n " from " A " to " C);
]
ELSE [
HANOI(n-1, A, C, B);
PRINT("Move sheet " n " from " A " to " C);
HANOI(n-1, B, A, C);
]
]

实作

  • C
#include <stdio.h>

void hanoi(int n, char A, char B, char C) {
if(n == 1) {
printf("Move sheet %d from %c to %c\n", n, A, C);
}
else {
hanoi(n-1, A, C, B);
printf("Move sheet %d from %c to %c\n", n, A, C);
hanoi(n-1, B, A, C);
}
}

int main() {
int n;
printf("请输入盘数:");
scanf("%d", &n);
hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
return 0;
}
  • Java
import java.io.*;

public class Hanoi {
public static void main(String args[]) throws IOException {
int n;
BufferedReader buf;
buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

System.out.print("请输入盘数:");
n = Integer.parseInt(buf.readLine());

Hanoi hanoi = new Hanoi();
hanoi.move(n, 'A', 'B', 'C');
}

public void move(int n, char a, char b, char c) {
if(n == 1)
System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c);
else {
move(n - 1, a, c, b);
System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c);
move(n - 1, b, a, c);
}
}
}

解释如下:【From:http://zhidao.baidu.com/question/10992444

Hanoi塔问题, 算法分析如下,设A上有n个盘子。
如果n=1,则将圆盘从A直接移动到C。
如果n=2,则:
(1)将A上的n-1(等于1)个圆盘移到B上;
(2)再将A上的一个圆盘移到C上;
(3)最后将B上的n-1(等于1)个圆盘移到C上。
如果n=3,则:
A)将A上的n-1(等于2,令其为n`)个圆盘移到B(借助于C),步骤如下:
(1)将A上的n`-1(等于1)个圆盘移到C上。
(2)将A上的一个圆盘移到B。
(3)将C上的n`-1(等于1)个圆盘移到B。
B)将A上的一个圆盘移到C。
C)将B上的n-1(等于2,令其为n`)个圆盘移到C(借助A),步骤如下:
(1)将B上的n`-1(等于1)个圆盘移到A。
(2)将B上的一个盘子移到C。
(3)将A上的n`-1(等于1)个圆盘移到C。到此,完成了三个圆盘的移动过程。

从上面分析可以看出,当n大于等于2时, 移动的过程可分解为三个步骤:第一步 把A上的n-1个圆盘移到B上;第二步 把A上的一个圆盘移到C上;第三步 把B上的n-1个圆盘移到C上;其中第一步和第三步是类同的。 当n=3时,第一步和第三步又分解为类同的三步,即把n`-1个圆盘从一个针移到另一个针上,这里的n`=n-1。

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